Was ist das Problem mit den zusätzlichen Zuständen im Feynman-Gauge?

Zunächst einmal wird die Zwei-Punkte-Funktion für $t_x > t_y$ direkt aus dem Ausdruck für $\Delta_{\mu \nu}^F$ berechnet. Es ergibt sich:

wobei $\omega_p = \sqrt{\mathbf{p}^2 + m^2}$. Die Fourier-Transformation des Vektorfeldes in den Raum liefert:

Wenn nun $\mu = \nu$ gesetzt wird, erhalten wir den Zustand:

der ein Teilchen mit Nullmasse beschreibt. Dies führt zu einer weiteren Transformation, und wir finden, dass die Matrixelemente im Fall $\mu = \nu = 0$ einen negativen Beitrag liefern, was auf einen Zustand mit negativer Norm hinweist. Diese Situation ist offensichtlich problematisch, da sie gegen die Prinzipien der Quantenmechanik verstößt, insbesondere da sie zu negativen Wahrscheinlichkeiten führen würde.

Im weiteren Verlauf werden wir untersuchen, wie die Invarianz unter diesen Transformationen das Problem der zusätzlichen Zustände im Feynman-Gauge löst. Für jedes $q$ können vier Polarisationen definiert werden: Zwei transversale Polarisationen, eine longitudinale Polarisation und eine zeitliche Polarisation, die jeweils mit den Vektoren $\varepsilon_1$, $\varepsilon_2$, $\varepsilon_3$ und $\varepsilon_0$ korrespondieren. Diese Polarisationen ermöglichen es uns, verschiedene Typen von Photonen zu beschreiben, darunter transversale, longitudinale und zeitliche Photonen.

$$|\gamma; q, r \rangle = \varepsilon_\nu^r (q) A^\dagger_\nu(q, 0) | 0 \rangle$$

beschreiben, wobei die Feynman-Diagramme und die S-Matrix-Berechnungen von entscheidender Bedeutung sind, um die Wechselwirkungen zwischen den Feldern und den Teilchen zu verstehen.

$$L_I = e A_\mu(x) J^\mu(x)$$

Zur Untersuchung der Wechselwirkung zwischen zwei Teilchen, die durch die Übertragung eines virtuellen Photons beschrieben wird, betrachten wir die Amplitude der Transition von Zustand $A$ nach Zustand $B$, unter der Annahme eines einfachen Experiments mit einem Sender und einem Empfänger. Die Transition wird im Rahmen der Störungstheorie zu zweiter Ordnung durch die Integralformulierung der Wechselwirkung dargestellt, wobei die Feynman-Diagramme die virtuelle Photonenaustausch zwischen den Strömen der Teilchen darstellen. Die Berechnungen liefern die endgültige Ausdrucksform der Amplitude, wobei der Einfluss des virtuellen Photons in der Wechselwirkung mit dem Elektromagnetismus hervorgehoben wird.

Wie die Feynman Pfadintegrale die Quantenmechanik erklären

Die Quantenmechanik ist in der Lage, die Übergangswahrscheinlichkeiten von Systemen auf eine Weise zu beschreiben, die weit über klassische Konzepte hinausgeht. Eine der beeindruckendsten Methoden, die in der modernen Quantenfeldtheorie verwendet wird, ist das Feynman-Pfadintegral. Diese Methode ermöglicht es, Übergangsamplituden und Green’sche Funktionen auf der Basis von Pfaden zu berechnen und liefert eine tiefere Einsicht in die Funktionsweise der Quantenwelt. In diesem Abschnitt wird der Grundgedanke des Feynman-Pfadintegrals und seine Anwendung auf die Quantenmechanik und Quantenfeldtheorien untersucht.

Die Berechnung der Übergangsamplitude in der Quantenmechanik erfolgt typischerweise durch die Lösung der Schrödinger-Gleichung, doch Feynman ging einen Schritt weiter, indem er die Vorstellung von Quantenobjekten als Pfaden einführte, die das System durchlaufen kann. Dabei geht es nicht mehr nur um eine einzelne mögliche Trajektorie, sondern um die Summe über alle möglichen Wege, die das System von einem Zustand in einen anderen führen kann. Dies wird als „Summe über Pfade“ bezeichnet, und die Berechnung der Übergangsamplitude erfolgt durch die Integration über alle diese möglichen Wege.

Das grundlegende Konzept von Feynman’s Methode ist, dass jeder Pfad, den ein System nehmen kann, eine bestimmte Wahrscheinlichkeit hat, die durch eine Phasenfaktor gegeben ist. Dieser Phasenfaktor ist proportional zum klassischen Aktionsintegral entlang des Pfades. In der einfachsten Form, bei einem System mit einer einzigen Freiheitsgrad, beschreibt die Übergangswahrscheinlichkeit die Summe über alle möglichen Trajektorien, die das System von einem Startzustand zu einem Endzustand führen können. Dies wird durch die Formel der Übergangsamplitude ausgedrückt:

$$\langle q_2 | e^{ -i H T} | q_1 \rangle = \int Dq(t) \, e^{i S[q(t)]}$$

Die Methode des Pfadintegrals bietet eine elegante Möglichkeit, die Quantenmechanik in komplexeren Systemen zu behandeln, und sie zeigt ihre Stärke insbesondere in der Quantenfeldtheorie. In klassischen Theorien, wie der Elektrodynamik, wird die Wechselwirkung zwischen Feldern und Teilchen durch eine Lagrange-Dichte beschrieben. In der Quantenmechanik jedoch, wo Wechselwirkungen quantisiert sind, ist es notwendig, alle möglichen Wechselwirkungswege zu berücksichtigen. Das Feynman-Pfadintegral umfasst nicht nur die klassischen Bahnen, sondern auch die „unmöglichen“ oder weniger wahrscheinlichen Pfade, die zu einer realen Übergangswahrscheinlichkeit beitragen.

Ein weiteres bemerkenswertes Konzept in der Theorie der Pfadintegrale ist die Wahl der Darstellungsform. In der Quantenmechanik gibt es zwei häufig genutzte Darstellungen: die Schrödinger- und die Heisenberg-Darstellung. Für die Arbeit mit Feynman-Pfadintegralen ist die Heisenberg-Darstellung besonders nützlich, da hier die Operatoren eine explizite Abhängigkeit von der Zeit haben. In dieser Darstellung können die Pfadintegrale direkt berechnet werden, wobei die Übergangsamplituden durch das Aufsummieren der Phasenfaktoren über alle möglichen Wege des Systems hinweg berechnet werden.

Obwohl die Methode des Feynman-Pfadintegrals in der klassischen Elektrodynamik nicht zwingend erforderlich ist, ist sie besonders nützlich und bevorzugt, wenn man die Standardtheorie mit ihren nicht-Abelschen Symmetrien beschreibt. Dies liegt daran, dass die Feynman-Darstellung durch ihre Flexibilität und Klarheit besonders geeignet ist, die komplexen Wechselwirkungen in Quantenfeldtheorien zu behandeln.

Ein weiterer wichtiger Punkt ist, dass Pfadintegrale nicht nur auf die Quantenmechanik von Teilchen anwendbar sind, sondern auch auf Felder und Quantenfelder in der Quantenfeldtheorie. Die Berechnung von Green’schen Funktionen, die in vielen quantenmechanischen Systemen eine zentrale Rolle spielen, kann auf ähnliche Weise durch die Feynman-Pfadintegrale durchgeführt werden. In der Quantenfeldtheorie können wir die Verknüpfung von Feldern über die Summe über alle möglichen Feldkonfigurationen durchführen, was uns eine vollständige Beschreibung der Wechselwirkungen und des Verhaltens des Systems liefert.

Es ist auch wichtig zu beachten, dass der Übergang von der klassischen Mechanik zur Quantenmechanik in der Form des Pfadintegrals gut nachvollzogen werden kann. Wenn wir den Übergang zur klassischen Theorie betrachten, ergibt sich die klassische Bewegung durch die Minimierung der Aktion, was bedeutet, dass der dominante Beitrag zum Pfadintegral aus den klassischen Bahnen stammt. In diesem Fall führen die unzähligen „unmöglichen“ Pfade zu einem Phasenfaktor, der die Gesamtamplitude nahezu vollständig auslöscht.

Es ist von großer Bedeutung, die Konzepte der Symmetrien und ihrer Rolle im Pfadintegral formal zu verstehen, da diese nicht nur die mathematische Struktur der Theorie beeinflussen, sondern auch direkte physikalische Konsequenzen haben. Die Wahl der Darstellungsform, die Behandlung von Zeit und die Verwendung von Pfadintegralen sind daher Schlüsselelemente, die den Unterschied zwischen den verschiedenen Theorien ausmachen, die unser Verständnis der Quantenwelt prägen.