Hvordan forstår man Ruban-løsningen og dens generaliseringer i kosmologiens kontekst?

Space er inhomogen langs r-retningen, og den elektriske feltkomponenten eksisterer kun i r-retningen. Radiusen af cylinderen udvikler sig ifølge (19.99). Delcasen Q = 0, ε = +1 af denne løsning, det vil sige tilfælde af nul elektrisk felt og sfærisk symmetri, blev fundet af Ruban i en tidligere artikel (Ruban, 1968) og diskuteret på en oplysende måde i endnu en artikel (Ruban, 1969). Denne diskussion vil blive gennemgået senere. Den videre delcase Λ = 0 optrådte i en artikel af Datt, der blev publiceret allerede i 1938 (Datt, 1938), men forfatteren afviste det vilkårligt som værende af "lille fysisk betydning". I denne delcase kan de eksplicitte formler for R og eA/2 gives. Løsningen for R(t) er den samme som for k = +1 Friedmann-modellen, mens def √ eA/2 = 2X(r)(1− Z cotZ) + Y (r) cotZ, Z = arcsin R/(2M). (19.105)

Fra (19.102) og (19.104) ses det, at Ruban-løsningen bliver rumligt homogen (ϵ,r = 0), når X/Y = C = konstant. Derefter, ved transformationen r′ = Y (r)dr, gøres faktoren eA/2 uafhængig af r, hvilket viser, at der i dette tilfælde eksisterer et ekstra Killing-felt. Dette er metrikken med Kantowski–Sachs symmetri, som blev introduceret i Sektion 10.7. Når videre, C = 0, bliver løsningen vakuum og svarer til den del af Schwarzschild-mangfoldigheden, der ikke dækkes af krumningens koordinater, dvs. inde i begivenhedshorisonten, som nævnt i Sektion 14.4.

Nu kommer vi til fortolkningen af den sfæriske symmetriske Ruban-løsning, ε = +1. Bemærk, at materietætheden i denne løsning, (19.104), afhænger af r og er overalt positiv, hvis X > 0. Derfor afhænger mængden af hvilemasse inde i en sfære r = r0 = konstant af værdien af r0 og er en stigende funktion af r. Ikke desto mindre, som set fra (19.99), er den aktive gravitationelle masse M, der driver udviklingen, konstant. Det ser ud som om al materie, der tilføjes kilden, mister sin evne til at gravitere, og den aktive gravitationelle masse er kun en parameter for rummet, hvor indfaldende materie ikke har nogen indflydelse.

Ruban (1969) fortolkede denne egenskab på følgende måde: den gravitationelle massedefekt af enhver materie, der tilføjes, opvejer præcist dens bidrag til den aktive masse. Ligning (19.99) med Q = 0 er den samme, der styrer Friedmann-modellerne, ligning (17.28). Bemærk, at konstanten ε = ±1, 0 i (19.99) og (19.102), der bestemmer typen af symmetri, fastlægger typen af udvikling. Så med ε = +1 (sfærisk symmetri) er modellen nødvendigvis den rekollapsende (k = +1). Sammenlign nu (19.99) med L–T modellens lov, (18.14) – Datt–Ruban (D–R) modellen har E = −1/2 og R,r = 0 permanent. Derfor opfører den sig som en hals i L–T modellen.

Endelig, tag (19.99) med Q = 0 og sammenlign det med Schwarzschild-løsningen i Lemâıtre–Novikov koordinaterne, (14.120) – (14.121). Det er klart, at de to løsninger kan matches på tværs af r = rb, hvis E(rb) = −1/2 og m = M, se Øvelse 7 og Fig. 19.1. I det specielle tilfælde Q = Λ = 0 eksploderer D–R modellen ud af en singularitet ved R = 0 ved t = tB, udvider sig indtil R = 2M er nået ved t = tB + πM og kollapser derefter tilbage til R = 0 ved t = tB + 2πM (Øvelse 8). Så den hypersurface, hvorpå D–R modellen matches med Schwarzschild-løsningen, ligger inde i Schwarzschilds begivenhedshorisont, bortset fra ved det øjeblik, hvor maksimal udvidelse er opnået, og D–R sfæren rører Schwarzschild-horisonten indefra.

D–R modellen og dens generaliseringer har ingen analoger i den Newtonske teori og fremgår ikke i lineære tilnærmelser til Einsteins teori. Krasiński og Giono (2012) forsøgte at bruge den ladede Ruban-løsning som en kilde for den maksimalt udvidede R–N løsning, men var igen uden succes. Matching af de to metrikker virker kun i en begrænset tid, og skaldetekrænkninger tillader ikke, at Ruban-sfæren passerer gennem tunnelen mellem asymptotisk flade regioner af R–N.

Hvordan spiller Christoffel-symboler og kovariant afledning en rolle i kontinuumteori og relativistisk hydrodynamik?

Christoffel-symboler er fundamentale i differentialgeometrien og udgør hjørnestenen for formuleringen af afledninger på en differentiabel mangfoldighed. I en Newtonsk eller relativistisk beskrivelse af et kontinuum er det ikke tilstrækkeligt at anvende partielle afledninger alene, da disse ikke bevarer den tensorielle karakter af størrelser ved koordinattransformationer. I stedet introduceres den kovariante afledning, hvor netop Christoffel-symbolerne kompenserer for krumningen og koordinatafhængigheden, hvilket sikrer, at afledte tensorfelter forbliver tensorer.

I hydrodynamik, både Newtonsk og relativistisk, beskriver man væsken ved hjælp af et strømningsfelt, typisk som en fire-vektor i relativistisk sammenhæng. For at kunne formulere bevarelseslove og dynamik på en geometrisk konsistent måde, anvendes den kovariante afledning af energi-impulstensoren. Her træder Christoffel-symbolerne i karakter, især i udtryk som ∇_μ T^μν = 0, hvor ∇_μ betegner den kovariante afledning, og T^μν er energi-impulstensoren. Christoffel-symbolerne dukker op i udregningen af denne afledning og afhænger af rummets metriske tensor, g_μν.

Kovariant differentiering spiller også en afgørende rolle i formuleringen af geodætisk afvigelse, som karakteriserer hvordan nærtliggende frie partikler bevæger sig i forhold til hinanden i et krummet rum. Den geodætiske afvigelsesligning involverer netop kovariante afledninger og Riemann-tensoren, hvor sidstnævnte selv udtrykkes gennem derivater af Christoffel-symbolerne og deres ikke-lineære kombinationer.

I kontinuumteorien er det ligeledes nødvendigt at formulere konserveringslove og materialeegenskaber i geometrisk form. Feltet for stofmængde, impuls og energi må udtrykkes tensorielt, og deres transport samt konservering kræver brugen af kovariant afledning. Især i den relativistiske formulering, hvor rum og tid behandles på lige fod, kan man ikke undvære en præcis forståelse af, hvordan kovariant afledning adskiller sig fra den sædvanlige.

Christoffel-symbolerne i sig selv er ikke tensorer, hvilket ofte skaber forvirring. Deres transformationsegenskaber under koordinatskifte viser tydeligt, at de kun har betydning i relation til en given basis. Deres eksistens skyldes nødvendigheden af at definere en afledning, der respekterer rummets geometri, og som derfor afhænger af metrikken. For et givet koordinatsystem og metrik kan man direkte udregne disse symboler, som indeholder førsteordens afledninger af metrikken.

Et vigtigt aspekt, som læseren må forstå, er forskellen mellem kovariante og kontravariante komponenter af vektorer og tensorer. Afhængigt af indeksets position ændres deres transformationsegenskaber, og i kombination med Christoffel-symbolerne bestemmes, hvordan disse komponenter ændres under parallel transport. Dette er særligt vigtigt i formuleringen af dynamiske ligninger i generel relativitet, hvor korrekte kombinationer af kovariante og kontravariante størrelser sikrer invarians.

Forståelsen af kovariant afledning er ikke blot teknisk nødvendighed, men en konsekvens af at bevæge sig fra flad til krummet geometri. Den traditionelle intuition fra klassisk mekanik må suppleres af geometrisk tænkning, hvor begreber som krumning, parallel transport og geodætisk bevægelse er fundamentale.

Ud over det allerede nævnte er det centralt, at man i relativistisk hydrodynamik ofte

Hvordan Fermi-koordinater bruges til at beskrive geodetiske bevægelser i relativitetsteorien

I relativitetsteorien er beskrivelsen af frie bevægelser og geodetiske kurver fundamentalt for forståelsen af gravitationens natur. En vigtig del af denne beskrivelse involverer koordinater, der gør det muligt at undersøge lokale egenskaber af rumtiden omkring en given geodetisk bane. Et væsentligt redskab i denne sammenhæng er Fermi-koordinater, som blev introduceret af Fermi i 1922. Disse koordinater muliggør en lokal inertial ramme, hvor Christoffelsymbolerne forsvinder langs en given timelike geodetisk.

For at definere disse koordinater skal vi først vælge et punkt på geodesien, som vi betegner som p. Vi opretter derefter en ortonormal basis i tangentplanen til geodesien, som vi betegner ved $e^\alpha_i$. Denne basis er

Hvordan man forstår den maksimale udvidelse af Reissner–Nordström metrik

I det reissnersk nordstrømske rumtid, kan vi beskrive singulariteterne, som opstår i forbindelse med de ekstreme værdier af de radiale koordinater, ved hjælp af et konformt diagram. Dette diagram hjælper med at forstå, hvordan disse singulariteter er relateret til både tidslige og rumlige uendeligheder. Der er i dette tilfælde tale om både spuriøse og virkelige singulariteter, som opstår ved specifikke værdier af de koordinater, der er blevet transformeret fra de oprindelige (p, q) koordinater.

I en Reissner–Nordström (R-N) metrik opdeles rumtiden i flere sektorer, som hver repræsenterer forskellige fysiske og geometriske regioner. En vigtig egenskab ved dette rum er, at det spuriøse singularitet, der opstår ved r = r+ (den ydre horisont), og det virkelige singularitet, som opstår ved r = 0, har en kompleks sammenhæng med de null geodesics (null-geodetiske kurver), som beskriver de vejledende baner for partikler og stråling, der bevæger sig gennem rumtiden.

Når vi ser på Penrose-diagrammet for den maksimalt udvidede Reissner–Nordström metrik, ser vi, at de spuriøse singulariteter er placeret langs linjer, som svarer til eventhorisonterne, hvor ingen nul-geodetiske kurver kan krydse fra én region til en anden. Dette er karakteristisk for eventhorisonter, som fungerer som barrierer for information og energi, og dermed forhindrer en fremadrettet strøm af information fra at rejse fra en region til en anden.

Den virkelige singularitet, derimod, er anderledes. Den repræsenterer en region i rumtiden, hvor metrikken bliver udefineret, og hvor fysiske størrelser som tid og rum ikke længere kan opretholdes i en kontinuerlig form. I Reissner–Nordström løsningen er denne singularitet forbundet med et "tunnel"-billede, der forbinder to separate sektioner af rumtiden, og som ikke blot giver en teoretisk ramme for forståelsen af singulariteter, men også implicerer potentielle fysikmæssige paradokser, der er forbundet med kausalitet.

En væsentlig del af Reissner–Nordström metrikken er dens evne til at beskive multiple kopier af sektorerne, der kan strække sig uendeligt i både fremtid og fortid. Dette medfører spørgsmål om kausalitet: Hvis vi forsøger at sende et signal gennem en af de radiale null geodesics i sektorerne, kan signalet teoretisk set nå frem til afsenderen før det blev sendt – et fænomen der kunne føre til tidsrejseparadokser. Dog er denne teori blevet udfordret ved at påpege, at signaler, som rejser gennem sådanne tunneler, nødvendigvis vil blive reflekteret og dermed undgå kausale anomalier.

Den geometriske struktur af Reissner–Nordström metrikken, som vi observerer i det konforme diagram, afslører også, at selve "halsen" af løsningen, som er den region, hvor r-værdierne skifter mellem r+ og r−, ikke kan krympe til et punkt. Dette er en væsentlig forskel fra mere enkle Schwarzschild-løsninger, hvor sådanne "halse" ville smuldre til en singularitet ved r = 0. I stedet for at kollapsere til et punkt, udvides denne hals konstant, hvilket fører til en spændende dynamik i, hvordan rumtiden omkring den opfører sig.

Endelig er der også muligheden for at identificere tunnelsystemer mellem de virkelige singulariteter. Dette skaber et billede af en uendelig kæde af kopierede sektorer, der fortsætter ud i både fremtid og fortid. En sådan uendelig struktur kunne i teorien føre til et akausal rumtidsbillede, men dette er noget, som stadig er et åbent spørgsmål inden for teoretisk fysik.

Det er vigtigt at forstå, at Reissner–Nordström metrikken ikke kun beskriver et system af singulariteter og eventhorisonter, men at den også afspejler de grundlæggende egenskaber ved, hvordan vi kan forstå tids- og rumgeometri i et univers, hvor elektriske ladninger og gravitation spiller en central rolle. Hver del af denne metrik åbner op for nye muligheder for at udforske den fundamentale natur af rumtiden, kausalitet og de ekstremt energirige processer, der kan finde sted nær singulariteter.

Hvordan Dannelse af Tomrum og Andre Strukturer Finder Sted i Universet

Denne ustabilitet kan forklares med, at de oprindelige betingelser i Tolmans Lemaître–Tolman (L–T) model kan antages at være de samme som i Friedmann-modellen ved et bestemt tidspunkt t = t1, hvilket giver en begyndelsesfordeling af hastigheder og densiteter. Denne matematiske formulering afslører, at det under disse antagelser vil være muligt, at forskelle i densiteter mellem L–T modellen og Friedmann-modellen vil øges over tid. Det betyder, at områder med højere tæthed eller lavere tæthed, f.eks. de områder, der senere udvikler sig til tomrum eller galakser, vil fortsætte deres udvikling i disse retninger. Tomrummene vil derfor fortsætte med at vokse, mens områder med højere tæthed vil komprimeres.

Kernen i denne forståelse af universets udvikling og dannelsen af voids og galakser er den instabilitet, der opstår i modeller som Tolmans L–T model. I Tolmans oprindelige formulering af modellen forudsættes det, at områder med forskellig densitet vil fortsætte med at udvikle sig i en retning, hvor den oprindelige forskel bliver større med tiden. Dette fænomen blev udtrykt af Tolman som, at "på de steder hvor densiteten i den forvrængede model er forskellig fra Friedmann-modellen, vil der være en initial tendens til, at forskellene forstærkes." Denne proces med vækst af inhomogeniteter er et centralt aspekt af universets evolution.

Der er dog flere faktorer, som spiller en rolle i dannelsen af strukturer som galakser. I Lemaître–Tolman modellen blev dannelsen af galakser oprindeligt betragtet som en funktion af massedistributionen, hvor et område omkring et bestemt punkt ville kollapsere, mens den omkringliggende region fortsat ville udvide sig. Denne idé blev først fremført af Lemaître i 1933, og han påpegede, at universet kunne være i en tilstand, hvor galakser kunne dannes ud fra tilfældige fluktuationer i massedistributionen.

En interessant diskussion blev ført af Bonnor (1956), som foreslog en model, hvor en "Friedmann-støv-tube" omgiver et symmetrisk centrum, og denne model kunne være med til at danne galakser, hvis visse betingelser for tæthed og kurvatur blev opfyldt. Problemet med Bonnors model, som også blev behandlet af andre senere, er, at de nødvendige densitetsfluktuationer for at dannelsen af galakser kan finde sted, virker urealistisk små, med værdier omkring 10^−34. Dette betyder, at for at dannelsen af galakser skal kunne opstå som en statistisk fluktuation, skal der være meget store mængder af partikler involveret, og modellen blev derfor yderligere udfordret af de senere teoretikere som Krasiński og Hellaby.

Det er også vigtigt at bemærke, at kvantemekaniske fluktuationer, som driver inflationen i universet, kan være ansvarlige for de tidlige densitetsfluktuationer, der er nødvendige for at skabe de strukturer, vi ser i dag. Disse fluktuationer er af størrelsesordenen 10^−5, hvilket er et kritisk niveau for at kunne danne de store strukturer som galakser og voids. Men uden den rette hastighedsfordeling og den nødvendige mekanisme for at forstærke disse fluktuationer, ville det ikke være muligt at danne sådanne strukturer.