Hvordan opnås den generelle vakuum Kerr-Schild metric med en tidslignende Killingfelt?

I de videre udregninger er to ligninger, som følger af (21.19) og deres komplekse konjugater, nyttige. Disse kan afledes ved hjælp af (21.16) – (21.18) og har følgende form:

$mρZ,ρ = (Z − Z)Y ,u ,$

Som følge af (21.10) – (21.11) og (21.19) – (21.23), opfyldes $R10 = 0$ identisk, mens $R12 = 0$ og $R13 = R12 = 0$ giver:

Disse to ligninger medfører integrabilitetsbetingelsen (16.106), som angiver:

Eksplicit betyder dette, at:

$Z S = ρ Z Z Z 2(Y,um Zρ Z )− mρYuρ − Y ,um ρZρ + mρY ,uρ Z Z2 Z Z + − Z Y,u Y ,u−ℓρP,ρ (Z − Z) = 0.$

Når man tager den imaginære del af ovenstående, får man:

$(Z + Z)S = 0,$

$ℓρP,ρ = − 1/Z + 1/Z Y,u Y ,u.$

Ved at differentiere $P$, $Y$ og $Y$ med hensyn til tangentvektorerne i manifolden, afsløres den underliggende struktur i den vacuum Kerr-Schild-metric, hvor $Y$, $Y$, $Z$ og $Z$ er forbundne på en måde, der bevarer den geometriske symmetri i spacetime. Efter disse operationer konkluderes det, at løsningen af denne relation er:

Her er $B$, $C$ vilkårlige reelle konstanter, mens $A_1$ og $A_2$ kan være komplekse. I det næste skridt forenkles udtrykket til:

hvor $A$, $A_1$, $A_2$, $B$, og $C$ kan tilpasses afhængigt af de geometriske krav.

For at sikre korrekt transformation af koordinaterne, så de bevarer formålet med $\mathcal{K}_{α}$-feltet, antages det, at $\mathcal{K}_{α}$ er timelike i forhold til $η_{\muν}$, og transformationerne gennemføres for at få det til at blive kollinear med tidsaksen i den baggrund Minkowski-rumtid, hvilket resulterer i:

Med dette kan vi udføre standardoperationer for at beregne de nødvendige løsningers struktur og tilpasse parametrene i metrikken for at få de ønskede resultater, hvilket resulterer i de nødvendige transformationer til de fysiske koordinater.

Når man arbejder videre med den generelle vakuum Kerr-Schild metrik, kan det være nødvendigt at finde en mere præcis definition af $Y$, som afhænger af den specifikke funktion $\Phi(Y)$, som i dette tilfælde antages at være en funktion af form:

Ved at anvende passende transformationer af koordinaterne og analysere løsningen for $F = 0$, finder man ud af, at den løsning, der opfylder de nødvendige betingelser, er givet ved:

Dette viser, hvordan den vakuum Kerr-Schild-metric kan udtrykkes i en form, hvor den er let at anvende til praktiske beregninger i relativistiske gravitationsfelter.

Hvordan Verificerer Man Komplekse Matematiske Ligninger i Generel Relativitetsteori?

Verificering af de komplekse ligninger i relativitetsteorien kræver præcise og metodiske transformationer af de matematiske udtryk. Dette gælder især, når man arbejder med tensorer og deres komponenter i den generelle relativitetsteori, hvor det er nødvendigt at bekræfte, om bestemte udtryk virkelig opfylder de ønskede fysiske betingelser. I dette kapitel skal vi fokusere på verificeringen af specifikke ligninger, der er centralt placeret i mange moderne beregninger.

Lad os begynde med at analysere transformationen af $G_{22}$. Denne proces er tidskrævende og kan være ganske kedelig, medmindre man benytter sig af computer-algebra-programmer, som effektivt kan håndtere de nødvendige beregninger. Hvis du bruger sådan et program, kan du begynde med at lade computeren beregne $G_{22}$ ud fra metrikken i (19.11). Når du har gjort dette, skal du definere højresiden af (19.48) som $\mathcal{K}$, hvilket giver os en grundlæggende formel:

I første skridt skal du erstatte udtrykkene for $C_{rr}$ og $C_{r}$ i (19.35) ved at bruge (19.46). Efter at have gjort dette, får vi:

Denne proces gentages gennem flere skridt, hvor du omformulerer de enkelte komponenter, anvender identiteter og substitutioner, der hjælper med at reducere udtrykkene til en form, der er lettere at kontrollere og validere.

I den næste fase skal du omforme $G_{01} = 0$ ved at bruge (19.33), hvilket giver os en ny formel, der involverer $A_t$. Dette kan gøres ved hjælp af følgende substituering:

Når vi har foretaget disse substitutioner, er næste trin at arbejde videre med de partielle afledte af $\mathcal{K}$, som nu kan udtrykkes som $\mathcal{K}_r$. Ved at analysere alle disse transformationer og substitueringer opnår vi en ekspansion af $G_{22}$, som bliver:

Når disse afledte er blevet indsat i ligningen, og du har gennemført de nødvendige operationer, står du tilbage med et udtryk for $G_{22}$, der omfatter både $\mathcal{K}$ og $R$-derivater. Dette udtryk kan herefter forenkles ved hjælp af de relationer, som vi tidligere har brugt til at eliminere uønskede termer, såsom $e^{ -A/2}$ og $e^{ -A}$.

Ved at gennemgå disse trin og beregninger, når man frem til et udtryk, der kan sammenlignes med det oprindelige resultat i (19.51). Denne tilgang, hvor man først arbejder med de udledte formler og dernæst gradvist indfører de nødvendige substitutioner, er den mest effektive måde at kontrollere gyldigheden af de matematiske udtryk, der beskriver den generelle relativitetsteori.

Når man arbejder med sådanne matematiske problemer, er det afgørende at forstå de forskellige koncepter, der er i spil. Det er ikke blot en teknisk proces med algebraiske manipulationer, men også en dyb forståelse af, hvordan fysiske forhold afspejles i de matematiske modeller, som disse ligninger beskriver. Det kræver ikke kun evnen til at håndtere de specifikke matematiske udtryk, men også at kunne tolke og validere de fysiske implikationer af de fundne løsninger.