I relativistisk kosmologi undersøges singulariteter ofte i modeller som beskriver universets kollaps, hvor geodetiske linjer og lysstråler adskilles af singularitetsflader. I denne kontekst kan man overveje det matematiske fænomen i Lemaître–Tolman modellen med null energi, hvor universet beskrives som en ekspanderende eller kollapsende sfære af materiale. Modellen rummer vigtige begreber som shell focusing, singulariteter og lysstrålers retning i nærsynet af den såkaldte Big Crunch.

Når man ser på geometriens symmetriakse, betegnet som R = konstant, opdager man, at denne hypersurface kan være enten tidslig, nul eller rummelig, afhængig af den specifikke konfiguration af dens parametre. Den regelmæssighedsbetingelse, der knytter sig til den singularitet, hvor R → 0, dikterer, at når man nærmer sig centrum af symmetrien, vil R = 0-settet være tidsligt, hvis betingelserne er opfyldt. Imidlertid, når man når singulariteten langs en linje med M > 0, kan R = 0 blive rumligt, og dets geometri får en helt anden karakter.

Den orientering af R = 0-settet på det punkt, hvor symmetriens centrum rammer den kritiske barriere, er kompliceret at fastslå. Dette skyldes, at de komoveende koordinater også indeholder singulariteter på dette punkt. Det var en udfordring at forstå, at det ikke nødvendigvis er et enkelt punkt, men en segmenteret struktur, der kan udgøre en timelig eller nul kurve. Eardley og Smarr (1979) var de første til at påpege muligheden for dette adfærd under numeriske undersøgelser af E = 0 L–T modellen og kaldte det "shell focussing". De fandt, at segmentet, hvor denne fokusering opstår, kun kan være nul, men deres kriterier for at definere shell focussing ser ikke helt ud til at være valide, da de refererer til den koordinatspecifikke grænse for tB/M, som ikke nødvendigvis er fysisk meningsfuld.

I Hellabys ufuldendte PhD-afhandling blev det dog påvist, at segmentet, der opstår ved shell focussing, også kan være timeligt. Hvis den BC-singularitet er fuldstændig rummelig, kan dens skæringspunkt med symmetriens verdenslinie forestilles som et enkelt punkt, og ingen fremadrettede lysstråler kan forlade denne singularitetsflade. Imidlertid, hvis singulariteten indeholder et timeligt eller nul segment, afslører dette en kompleks struktur, hvor lysstråler kan afsløre en uendelig familie af distinkte lyspunkter. Dette fører til den konklusion, at den ikke-rummelige del af singulariteten er en forlænget bue, der kortlægges til et enkelt punkt i de komoveende koordinater.

En yderligere udredning af dette fænomen i Lemaître-Tolman modellen afslører, at når vi ser på en kollapsende sfære, hvor massen M(r) er givet ved M(r) = M0r³, og vi vælger den passende funktion for tC(r), så har geodetiske lysstråler, der udsendes radielt, en bemærkelsesværdig opførsel. Når man undersøger disse lysstråler i nærheden af Big Crunch, vil man finde, at de fleste stråler støder på singulariteten vertikalt i et (t, r)-diagram, og at deres opførsel ændrer sig afhængigt af, hvordan man nærmer sig det kritiske punkt, hvor centrum af symmetrien rammer singulariteten. Der opstår et interessant fænomen, hvor lysstråler, der udsendes fra et centralt punkt på singulariteten, er tangent til både singularitetsfladen og den tilsyneladende horisont, men at deres anden afledte i tid og radius forbliver nul, hvilket betyder, at lysstråler kan bevæge sig væk fra singulariteten uden at krydse den tilsyneladende horisont.

Der er dog en teoretisk udfordring for at forudsige den tidligste lysstråle, som forlader singulariteten. Denne kan kun identificeres ved numerisk beregning, da det ikke er muligt at finde en eksakt analytisk løsning for dens retning og udgangspunkt. Men det er muligt at bevise, at en sådan stråle eksisterer, som også viser, at lysstråler, der begynder at bevæge sig væk fra singulariteten, vil fortsætte ud til en endelig radius, før de potentielt krydser den tilsyneladende horisont og kollapser ind i Big Crunch.

Det er væsentligt at bemærke, at lysstråler, der udsendes fra punktet P0 = (0, 0), vil være adskilt og vil ikke kunne krydse den tilsyneladende horisont på nogen måde. Dette skaber en fascinerende situation, hvor den geodetiske opførsel af lysstråler nær en singularitet kan have et uventet forløb, selvom disse stråler stadig holder sig inden for den observerbare tidsramme. Modellen afslører et grundlæggende fænomen i studiet af kollapsende stjerner og singulariteter, som kan være med til at kaste lys over universets endelige skæbne, især når det gælder, hvordan lys og information håndteres nær en Big Crunch.

Kan universet undgå inflation og stadig løse horisontproblemet?

En af de mest vedholdende udfordringer i moderne kosmologi har været det såkaldte horisontproblem – spørgsmålet om, hvordan forskellige dele af det observerbare univers, der tilsyneladende aldrig har været i kausal kontakt, alligevel har samme temperatur og struktur. Det klassiske svar har været inflation: en kort, men voldsomt accelereret udvidelse af rummet, der udvisker uensartetheder og bringer tidligere adskilte områder i kausal kontakt.

Men inflation er ikke den eneste mulighed. Ved at udforske løsninger inden for den Lemaître–Tolman (L–T) geometri – en spherisk-symmetrisk, støvfyldt, ikke-homogen løsning til Einsteins feltligninger – er det muligt at formulere et alternativ, der ikke blot omgår inflation, men løser horisontproblemet direkte.

Célérier og Schneider (1998) præsenterede en sådan løsning ved at antage, at Big Bang-funktionen t_B(r) har et lokalt minimum ved r = 0 og vokser med r. I denne konstruktion opstår der en "shell crossing" i modellen, hvor R_r = 0 og geodætiske kurver får en horisontal tangent i de komoving koordinater. Det betyder, at alle kurver, som passerer gennem dette punkt, er timelike eller null – altså fysisk tilladelige i relativitetsteoriens rammer.

Det centrale resultat er, at der eksisterer en værdi af tiden T for enhver observatør ved t_p > t_B(0), hvorfra et signal sendt fra centrum kan bevæge sig ud mod skallen, reflekteres, og nå tilbage til observatøren ved t_p. Med andre ord: Alle områder af himlen, som observatøren ser nu, kan have været i kausal kontakt med et fælles område i fortiden, uden at inflation er nødvendig.

Denne løsning afhænger af to betingelser: For det første skal Big Bang-funktionen t_B(r) være voksende, og for det andet skal dens afledte t′_S(r) være positiv for alle r > 0. Hvis disse betingelser er opfyldt, vil shell crossing-sættet være timelike overalt, og horisontproblemet elimineres permanent – ikke blot udsættes, som i inflationære modeller.

Det interessante er, at denne tilgang ikke blot omgår behovet for en skalarfelt-domineret tidlig universudvidelse, men også kaster nyt lys over betydningen af geometrisk kompleksitet i tid-rum-strukturer. Den traditionelle idé om, at homogenitet og isotropi er nødvendige for en observerbar løsning, bliver undermineret. I stedet viser det sig, at visse grader af rumlig variation – som en radial afhængighed i t_B(r) – kan være ikke blot forenelige med observationer, men nødvendige for at forstå universets kausale struktur.

Det er også vigtigt at understrege, at disse resultater kun gælder under antagelser om en ikke-null massefordeling og glatte funktioner M(r), E(r), og t_B(r). Singulariteter og shell crossings forbliver dog centrale elementer i analysen. De radiale nullgeodætiske kurvers opførsel, og deres interaktion med shell crossing-sættet, viser sig at være nøglen til at forstå kausal forbindelse uden inflation.

Yderligere studier i L–T-geometrier viser også, at visse konfigurationer kan føre til stærke, nøgne singulariteter, som ikke er skjult bag horisonter. Dette er relevant for kosmologiske scenarier, da det påvirker vores forståelse af det tidlige univers og spørgsmålene om kosmisk censur. Især demonstrerede Grillo (1991) og senere Joshi og Dwivedi (1993), at visse valg af funktionerne M(r) og t_B(r) kan føre til stærke, lokalt nøgne singulariteter – hvilket også rejser spørgsmål om determinisme i relativitetsteorien.

Det er således ikke kun et spørgsmål om at løse horisontproblemet, men også at genoverveje de fundamentale antagelser, som inflationsmodeller hviler på. L–T-modellerne åbner for muligheden af, at universet kan være mere varieret og strukturelt komplekst end tidligere antaget, og at denne kompleksitet i sig selv er løsningen på de problemer, som inflation blev introduceret for at løse.

Denne tilgang kræver, at læseren forstår betydningen af kausalitet i relativistisk kosmologi og hvordan radiale geodætiske kurver bevæger sig i et dynamisk, ikke-homogent rumtid. Det betyder også, at vi må tage højde for forskellen mellem globale og lokale egenskaber – for eksempel, hvordan en lokal shell crossing kan ændre den globale kausale struktur, og hvordan valg af koordinater og funktioner som t_B(r) påvirker det observerbare univers.

Det er nødvendigt for læseren at forstå, at disse modeller ikke nødvendigvis forudsiger observerbare signaturer i form af anisotropier i kosmisk mikrobølgebaggrund, men de stiller fundamentale spørgsmål om, hvad det egentlig vil sige, at to områder har været i kausal kontakt. I dette perspektiv bliver L–T-geometrien ikke blot en matematisk kuriositet, men en mulig realistisk beskrivelse af universets tidlige udvikling.

Hvordan et Dobbelt Begravelsesritual Spejler Sjælens Komplekse Rejse og Forholdet Mellem Liv og Død
Hvad betyder slangen egentlig?
Hvordan blev hvid kristen nationalisme en dominerende kraft i amerikansk politik?