что .  Но   . Следовательно

.

Значит .

Теорема доказана. 

Следствие ( достаточный признак расходимости ряда ) Если общий член ряда не стремится к нулю, то ряд расходится. 

  2 .Ряды с положительными членами

  В настоящем разделе будем рассматривать ряды  , ,...,, члены которых удовлетворяют условию .

  Признаки сравнения рядов

  Теорема  3. ( Первый признак сравнения )  Пусть даны два положительны

ряда   и  , причём, начиная с некоторого места, члены первого ряда не превосходят соответствующих членов второго:

  Тогда из сходимости второго ряда следует сходимость первого, а из  расходимости первого ряда следует расходимость второго.

  Доказательство

  Так как отбрасывание  конечного числа  первых членов ряда не влияет на его сходимость, можно считать, что условие  выполняется для всех n, начиная с  n=1.  Рассмотрим частичные суммы рядов и . Из положительности рядов следует, что  и монотонно возрастают при  возрастании n и для любых n выполняется неравенство   . 

  Пусть второй ряд сходится. Это значит, что существует конечный 

предел   , причём . Но тогда последовательность частичных сумм первого ряда  ограничена сверху  . А так как она монотонно возрастает с возрастанием n, то существует конечный предел  , а следовательно первый ряд тоже сходится.

  Пусть теперь первый ряд расходится. Из положительности ряда следует,

что .Так как  , то  .  А это значит, что второй ряд расходится.  Теорема доказана. 

  Теорема 4.(Второй признак сравнения)  Пусть  для  положительных

рядов    и  , можно найти  положительные числа k и  K, такие, что начиная с некоторого n,  выполняются неравенства . Тогда заданные ряды сходятся и расходятся одновременно.

  Теорема 5. ( Третий признак сравнения) Если положительные ряды   и  таковы, что существует  , то эти ряды сходятся и расходятся одновременно.

  Примеры применения теорем сравнения

  Пример 1. Исследовать на сходимость ряд  .

  Сравним заданный ряд с рядом    . Этот ряд сходится, так как

является геометрической прогрессией  со знаменателем .

Из неравенства    следует, что заданный ряд также сходится.

Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

  Существует довольно много приёмов, позволяющих устанавливать сходимость или расходимость рядов. Так, мы рассмотрели необходимый признак сходимости, с помощью которого можно установить расходимость ряда. К признакам сходимости можно отнести также теоремы сравнения, с помощью которых можно установить как сходимость, так и расходимость рядов.

  В настоящем разделе мы сформулируем некоторые достаточные признаки сходимости положительных рядов, наиболее часто применяемые на практике, а именно: признак Даламбера, радикальный и интегральный признаки Коши, причём дадим формулировки признаков в наиболее удобной для применения так называемой предельной форме. 

  Признак Даламбера.

  Пусть для ряда    с положительными членами  существует

Тогда ряд сходится при  и  расходится при . Если  , то признак неприменим.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4