Планирование эксперимента (стр. 3 )

Рассмотрим пример рандомизации условий эксперимента. В полном факторном эксперименте 23 предполагается каждое значение параметра оптимизации определять по двум параллельным опытам. Нужно случайно расположить всего 16 опытов. Для этого используем таблицу случайных чисел. Фрагмент таблицы помещен в приложении 2. В случайном месте таблицы выписываем числа с 1 по 16 с отбрасыванием чисел больше 16 и уже выписанных. В нашем случае, начиная с четвертого столбца, можно получить такую последовательность:

2; 15; 9; 5; 12; 14; 8; 13; 16; 1; 3; 7; 4; 6; 11; 10.

С учетом того, что цифры с 1 по 8 соответствуют первым опытам эксперимента, а с 9 по 16-повторным, получается, что первым реализуется опыт № 2, вторым – опыт № 7 и т. д. Случайный порядок проведения опытов приведен в таблице 4.

Таблица 4

5.5 Проверка однородности дисперсий

Однородность дисперсии означает, что среди всех дисперсии S2i нет таких, которые бы значительно превышали все остальные. Для проверки однородности дисперсий во всех точках спектра плана используется либо критерий Кохрена G, либо критерий Фишера F.

Критерий Кохрена основан на распределении отношения максимальной дисперсии S2imax к сумме всех дисперсий (5.6):

(5.6)

Критерий Кохрена применяется, если количество сравниваемых дисперсий больше двух, а число повторных опытов во всех точках плана одинаково. Определив число степеней свободы k1 = т -1 и k2 = N (N— число точек спектра плана, т — количество повторных опытов в каждой точке плана), находят табличное значение критерия Кохрена GT. Если G<GT, гипотеза об однородности дисперсий и воспроизводимости результатов принимается.

Следовательно, полученные результаты эксперимента качественные и могут быть использованы для построения регрессионной модели. В противном случае следует увеличить число параллельных опытов или повторить эксперимент при строгом соблюдении методики и схемы проведения опытов, предприняв необходимые меры для исключения грубых ошибок.

Если выяснится, что непостоянство дисперсии помехи обусловлено внутренними свойствами объекта, то необходимы более сложные способы обработки результатов эксперимента. Можно, например, вводить некоторую функцию от у: Inу, √yи др.

Критерий Фишера можно применять при любом числе дисперсии S2i. Он определяется из соотношения (5.7):

(5.7)

Дисперсии однородны, если F<FT, где FT— табличное значение критерия Фишера, определяемое при числах степеней свободы к1и к2 и принятом уровне значимости q.

Следует отметить, что уровень значимости qпо всем критериям, применяемым в процессе статистического анализа и обработки результатов эксперимента (Кохрена, Стьюдента, Фишера) должен быть одинаков. Для технических систем рекомендуется принимать q= 0,05.

5.6 Дисперсия воспроизводимости эксперимента

Если дисперсии S2i однородны, то их усредняют и находят дисперсию воспроизводимости эксперимента (5.8):

(5.8)

Дисперсия S2y представляет собой оценку дисперсии помехи. Число степеней свободы, связанное с оценкой S2y, вычисляется по формуле (5.9):

(5.9)

Формула годится, если число повторных опытов во всех точках спектра плана одинаково. Если число опытов различно, используют формулу (5.10):

(5.10)

где ki— число степеней свободы в i - ой точке спектра плана; ki = mi - 1; mi — число параллельных опытов в этой точке.

Определение коэффициентов регрессионной модели и проверка их значимости

Параметрами регрессионной модели являются коэффициенты регрессии bj. Значения коэффициентов регрессии можно получить, решив систему алгебраических уравнений. Выражение для определения всех коэффициентов уравнения регрессии одинаково и имеет простой вид (5.11):

(5.11)

где N — число точек спектра плана; fj(Xi) — значение j - ой базисной функции в i-ой точке спектра плана; — выборочное среднее функции отклика в той же точке, определяемое по формуле (5.11):

(5.11)

где и — номер параллельного опыта; yiu — значение функции отклика в u-м параллельном опыте i-ой точки спектра плана.

Значения базисных функций fj(Xi) для отдельных факторов равны Xij, а для взаимодействия факторов — ХikХilХim....

С учетом этого можно записать следующие формулы для вычисления значений коэффициентов уравнения регрессии:

– для коэффициентов при факторах xj, включая также свободный член уравнения (5.12):

(5.12)

где n— количество факторов.

– для коэффициентов при взаимодействиях факторов (5.13):

(5.13)

Погрешность определения bj оценивают дисперсией S2bj.(5.14):

( 5.14)

Где т — число повторных опытов (значение т должно быть одинаковым для всех точек N спектра плана).

После определения коэффициентов регрессии bj проверяют их значимость. Эта проверка осуществляется с использованием t-критерия Стьюдента, значение которого находят из соотношения (5.15):

(5.15)

Где NB — общее число коэффициентов уравнения регрессии, равное количеству используемых базисных функций для построения регрессии.

Полученное значение tj для каждого коэффициента регрессии bj сравнивают с табличным tт, определяемым при принятом уровне значимостиqи числе степеней свободы k = N (m - 1). Если ti<tT, нулевая гипотеза о незначимости коэффициента bj принимается и член уравнения регрессии, включающий этот коэффициент, исключается из математической модели. Если же tj>tT, полагают, что данный коэффициент значимо (неслучайно) отличается от нуля и его следует сохранить в регрессионной модели. В этом случае значение коэффициента bj больше ошибки опыта, которую можно оценить величиной доверительного интервала εbj. Доверительный интервал находят по формуле (5.16):

(5.16)

Следует, отметить, что дисперсия воспроизводимости эксперимента Sy зависит от очень многих факторов: выбора центра эксперимента, интервалов варьирования факторов, наличия экстремумов функции отклика в области планирования, соотношения величины отклика и помехи (так называемое отношение сигнал-шум) и др. В этой связи при небольшом различии между tjи tT следует весьма осторожно относиться к оценке значимости коэффициентов регрессии.

Лучше такие коэффициенты сохранить в модели, а влияние соответствующего фактора (или взаимодействия факторов) проверить в дальнейшем на более сложной модели или в иных условиях планирования эксперимента.

После исключения незначимых коэффициентов уравнение регрессии приобретает вид (5.17):

(5.17)

Где N*B— количество значимых коэффициентов регрессии.

Так как часть коэффициентов регрессии исключено из модели, то N*B<NB.

Если все коэффициенты оказались значимыми, суммирование в формуле осуществляется до NB– 1.

При наличии большого экспериментального материала (десятки параллельных опытов) гипотезу о нормальном рас­пределении можно проверить стандартными статистическими тестами (например, – критерием). К сожалению, экспериментатор редко располагает такими данными, поэтому приходится принимать этот постулат на веру.

При нарушении нормальности мы лишаемся возмож­ности установления вероятностей, с которыми справедливы те или иные высказывания. В этом таится большая опасность. Мы рискуем загипнотизировать себя численными оценками и вероятностями, за которыми ничего не стоит. Вот почему надо очень внимательно относиться к возможным нарушениям предпосылок.

Второй постулат. Дисперсия yне зависит от абсолютной величины y. Выполнимость этого постулата проверяется с помощью критериев однородности дисперсий в разных точках факторного пространства. Нарушение этого постулата недо­пустимо.

Всегда существует такое преобразование y,которое делает дисперсии однородными. Увы, его не всегда легко найти. Довольно часто помогает логарифмическое преобразование, с которого обычно начинают поиски.

Третий постулат. Значения факторов суть неслучайные величины. Это несколько неожиданное утверждение практически означает, что установление каждого фактора на заданный уровень и его поддержание существенно точнее, чем сшибка воспроизводимости.

Нарушение этого постулата приводит к трудностям при реализации матрицы планирования. Поэтому оно обычно легко обнаруживается экспериментатором.

Существует еще четвертый постулат, налагающий ог­раничения на взаимосвязь между значениями факторов. У Нас он выполняется автоматически в силу ортогональности матрицы планирования.

6.3 Проверка адекватности модели

Первый вопрос, который нас интересует после вычис­ления коэффициентов модели, это проверка ее пригодности. Назовем такую проверку проверкой адекватности модели.

Для характеристики среднего разброса относительно линии регрессии вполне подходит остаточная сумма квад­ратов. Неудобство состоит в том, чтоона зависит от числа коэффициентов в уравнении: введите столько коэффициентов, сколько вы провели независимых опытов, и получите остаточную сумму, равную нулю. Поэтому предпочитают относить ее на один «свободный» опыт. Число таких опытов называется числом степеней свободы f.

Числом степеней свободы в статистике называется разность между числом опытов и числом коэффициентов (констант), которые уже вычислены по результатам этих опытов независимо друг от друга.

Остаточная сумма квадратов, деленная на число степеней свободы, называется остаточной дисперсией, или дисперсией адекватности (6.15):

(6.15)

В статистике разработан критерий, который очень удобен для проверки гипотезы об адекватности модели. Он называется F-критерием Фишера и определяется следующей формулой (6.16):

(6.16)

– это дисперсия воспроизводимости со своим числом степеней свободы.

Удобство использования критерия Фишера состоит в том, что проверку гипотезы можно свести к сравнению с табличным значением.

Если рассчитанное значение F-критерия не превышает табличного, то, с соответствующей доверительной вероятностью, модель можно считать адекватной. При превышении табличного значения эту приятную гипотезу приходится отвергать.

Этот способ расчета дисперсии адекватности, подходит, если опыты в матрице планирования не дублируются, а информация о дисперсии воспроизводимости извлекается из параллельных опытов в нулевой точке или из предварительных экспериментов.

Важны два случая: 1) опыты во всех точках плана дублируются одинаковое число раз (равномерное дублирование), 2) число параллельных опытов не одинаково (неравномерное дублирование).

В первом случае дисперсию адекватности нужно умножать на n, где n – число повторных опытов, после умножения получим формулу (6.17):

(6.17)

Такое видоизменение формулы вполне естественно. Чем больше число параллельных опытов, тем с большей достоверностью оцениваются средние значения. Поэтому требования к различиям между экспериментальными и расчетными значениями становятся более жесткими, что отражается в увеличении F-критерия.

Во втором случае, когда приходится иметь дело с неравномерным дублированием, положение усложняется. Даже когда экспериментатор задумал провести равное число параллельных опытов, часто не удается по тем или иным причинам все их реализовать. Кроме того, иногда приходится отбрасывать отдельные опыты как выпадающие наблюдения.

При неравномерном дублировании нарушается ортогональность матрицы планирования и, как следствие, изменяются расчетные формулы для коэффициентов регрессии и их ошибок, а также для дис­персии адекватности.

Для дисперсии адекватности можно записать общую формулу (6.18):

(6.18)

где N – число различных опытов (число строк матрицы);

ni – число параллельных опытов в i-й строке матрицы;

– среднее арифметическое из ni параллельных опытов;

– предсказанное по уравнению значение в этом опыте.

Смысл этой формулы очень прост: различию между экспериментальным и расчетным значением придается тем больший вес, чем больше число повторных опытов.

Для b-коэффициентов нельзя записать универсальную расчетную формулу. Все зависит от того, какой был план и как дублировались опыты. Всякий раз приходится делать специальные расчеты, пользуясь методом наименьших квадратов.

6.4 Проверка значимости коэффициентов

Проверка значимости каждого коэффициента проводится независимо.

Ее можно осуществлять двумя равноценными способами: проверкой по t-критерию Стьюдента или построением доверительного интервала. При использовании полного факторного эксперимента или регулярных дробных реплик доверительные интервалы для всех коэффициентов (в том числе и эффектов взаимодействия) равны друг другу.

Прежде всего, надо найти дисперсию коэффициента регрессии .Она определяется по формуле (6.19):

(6.19)

Из формулы видно, что дисперсии всех коэффициентов равны друг другу, так как они зависят только от ошибки опыта и числа опытов.

Теперь легко построить доверительный интервал (6.20)

(6.20)

Здесь t – табличное значение критерия Стьюдента при числе степеней свободы, с которыми определялась , и выбранном уровне значимости (обычно 0,05); – квадратичная ошибка коэффициента регрессии.

Коэффициент значим, если его абсолютная величина больше доверительного интервала.

7. ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ ПОСЛЕ ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛИ

7.1 Интерпретация результатов

Адекватная линейная модель, имеет вид полинома первой степени. Коэффициенты полинома являются частными производными функции отклика по соответствующим переменным. Их геометрический смысл – тангенсы углов наклона гиперплоскости к соответствующей оси. Больший по абсолютной величине коэффициент соответствует большему углу наклона и, следовательно, более существенному изменению параметра оптимизации при изменении данного фактора.

До сих пор мы употребляли абстрактный математи­ческий язык. Перевод модели на язык экспериментатора называется интерпретацией модели.

Задача интерпретации весьма сложна. Ее решают в несколько этапов. Первый этап состоит в следующем. Устанавливается, в какой мере каждый из факторов влияет на параметр оптимизации. Величина коэффициента регрессии – количественная мера этого влияния. Чем больше коэффициент, тем сильнее влияет фактор. О характере влияния факторов говорят знаки коэффициентов. Знак плюс свидетельствует о том, что с увеличением значения фактора растет величина параметра оптимизации, а при знаке минус – убывает. Интерпретация знаков при оптимизации зависит от того, ищем ли мы максимум или минимум функции отклика. Если , то увеличение значений всех факторов, коэффициенты которых имеют знак плюс, благоприятно, а имеющих знак минус – неблагоприятно. Если же то, наоборот, благоприятно увеличение значений тех факторов, знаки коэффициентов которых отрицательны.

Далее выясняется, как расположить совокупность факторов в ряд по силе их влияния на параметр оптимизации. Факторы, коэффициенты которых не значимы, конечно не интерпретируются. Можно сказатьтолько, что при данных интервалах варьирования и ошибке воспроизводимости они не оказывают существенного влияния на параметр оптимизации.

Изменение интервалов варьирования приводит к изме­нению коэффициентов регрессии. Абсолютные величины коэффициентов регрессии увеличиваются с увеличением интервалов. Инвариантными к изменению интервалов остаются знаки линейных коэффициентов регрессии. Однако и они изменяться на обратные, если при движении По градиенту мы «проскочим» экстремум.

В некоторых задачах представляет интерес построение уравнения регрессии для натуральных значений факторов. Уравнение для натуральных переменных можно получить, используя формулу перехода. Коэффициенты регрессии изменятся. При этом пропадает возможность интерпретации влияния факторов по величинам и знакам коэффициентов регрессии. Вектор-столбцы натуральных значений переменных в матрице планирования уже не будут ортогональными, коэффициенты определяются зависимо друг от друга. Если же поставлена задача получения интерполяционной формулы для натуральных переменных, такой прием допустим.

Теперь мы получили основу для перехода к следующему этапу. На основе априорных сведений обычно имеются некоторые представления о характере действия факторов. Источниками таких сведений могут служить теория изучаемого процесса, опыт работы с аналогичными процессами или предварительные опыты и т. д.

Если, например, ожидается, что с ростом температуры должно происходить увеличение параметра оптимизации, а коэффициент регрессии имеет знак минус, то возникает противоречие. Возможны две причины возникновения такой ситуации: либо в эксперименте допущена ошибка, и он должен быть подвергнут ревизии, либо неверны априорные представления. Нужно иметь в виду, что эксперимент проводится в локальной области факторного пространства и коэффициент отражает влияние фактора только в этой области. Заранее неизвестно, в какой мере наивно распространить результат на другие области. Теоретические же представления имеют обычно более общий характер. Кроме того, априорная информация часто основывается на однофакторных зависимостях. При переходе к многофакторному пространству ситуация может изменяться. Поэтому мы должны быть уверены, что эксперимент проведен корректно. Тогда для преодоления противоречия можно выдвигать различные гипотезы и проверять их экспериментально.

В тех, довольно редких, случаях, когда имеется большая априорная информация, позволяющая выдвигать гипотезы о механизме явлений, можно перейти к следующему этапу интерпретации. Он сводится к проверке гипотез о механизме явлений и выдвижению новых гипотез.

Получение информации о механизме явлений не является обязательным в задачах оптимизации, но возможность такого рода следует использовать. Здесь особое внимание приходится уделять эффектам взаимодействия факторов.

Интерпретация эффектов взаимодействия не так однозначна, как линейных эффектов. В каждом случае имеется два варианта. Прежде всего, нужно учесть знаки линейных эффектов соответствующих факторов. Если эффект взаимодействия имеет знак плюс и соответствующие линейные эффекты отрицательны, то выбор однозначен: сочетание –1 и –1. Однако возможен случай, когда знаки линейных эффектов различны. Тогда приходится учитывать численные значения коэффициентов и жертвовать самым малым эффектом.

Иногда приходится учитывать технологические сообра­жения: например, эксперимент в одной области факторного пространства дороже (или труднее), чем в другой.

Интерпретация результатов – это перевод с одного языка на другой. Такой перевод обеспечивает взаимопонимание между статистиком и экспериментатором, работающим совместно над задачами оптимизации. Интерпретация уравнения регрессии важна не только для понимания процесса, но и для принятия решений при оптимизации.

7.2 Принятие решений после построения модели процесса

Нам придется принимать решения в сложных ситуациях. Решения зависят от числа факторов, дробности плана, цели исследования (достижение оптимума, построение ин­терполяционной формулы) и т. д. Количество возможных решений по примерной оценке достигает нескольких десятков тысяч. Поэтому будем рассматривать только наиболее часто встречавшиеся случаи и выделим «типичные» решения. Положение здесь сложнее, чем в случае принятия решений о выборе основного уровня и интервалов варьирования факторов, где удалось рассмотреть все варианты. Ситуации будем различать по адекватности и неадекватности модели, значимости и незначимости коэффициентов регрессии в модели, информации о положении оптимума.

Обсудим сначала принятие решения для адекватного линейного уравнения регрессии.

Линейная модель адекватна. Здесь возможны 3 варианта.

1) Все коэффициенты регрессии значимы.

2) Часть коэффициентов регрессии значима, часть не­значима.

3) Все коэффициенты регрессии незначимы.

В каждом варианте оптимум может быть близко, далеко или о его положении нет информации (неопределенная ситуация).

Рассмотрим первый вариант.

Если область оптимума близка, возможны три решения: окончание исследования, переход к планам второго порядка и движение по градиенту.

Переход к планированию второго порядка дает воз­можность получить математическое описание области оп­тимума и найти экстремум.

Движение по градиенту используется при малой ошибке опыта, поскольку на фоне большой ошибки трудно установить приращение параметра оптимизации.

Решение при неопределенной ситуации или удаленной области оптимума одно и то же: движение по градиенту.

Второй вариант – часть коэффициентов регрессии зна­чима, часть незначима. Движение по градиенту наиболее эффективно, если коэффициенты значимы. Поэтому выбираются решения, реализация которых приводит к получению значимых коэффициентов. На этом этапе важно выдвинуть гипотезы, объясняющие незначимость эффектов. Это может быть и неудачный выбор интервалов варьирования, и включение (из осторожности) факторов, не влияющих на параметр оптимизации, и большая ошибка опыта, и т. д. Решение зависит от того, какую гипотезу мы предпочитаем.

Наконец, если область оптимума близка, то возможно принятие таких же решений, как и в случае значимости всех коэффициентов регрессии.

Рассмотрим последний случай: линейная модель адек­ватна, все коэффициенты регрессии незначимы (кроме b0). Чаще всего это происходит вследствие большой ошибки эксперимента или узких интервалов варьирования. Поэтому возможные решения направлены, прежде всего, на увеличение точности эксперимента и расширение интервалов варьирования. Увеличение точности может достигаться двумя путями: благодаря улучшению методики проведения опытов или вследствие постановки параллельных опытов.

Если область оптимума близка, то возможно также окончание исследования.

Линейная модель неадекватна. Если линейная модель неадекватна, значит не удается аппроксимировать поверхность отклика плоскостью. Формальные признаки (кроме величины F-критерия), по которым можно установить неадекватность линейной модели, следующие.

1.Значимость хотя бы одного из эффектов взаимо­действия.

2.Значимость суммы коэффициентов регрессии при квадратичных членах . Оценкой этой суммы служит разность между b0 и значением зависимой переменной в центре плана y0. Если разность превосходит ошибку опыта, то гипотеза о незначимости коэффициентов при квадратичных членах не может быть принята. Однако надо учесть, что сумма может быть незначима, и при значимых квадратичных эффектах, если они имеют разные знаки.

Для неадекватной модели не будем делать различия между случаями значимых и незначимых линейных коэф­фициентов регрессии, поскольку решения для них обычно совпадают.

Решения, принимаемые для получения адекватной мо­дели: изменение интервалов варьирования факторов, перенос центра плана, достройка плана.

Наиболее распространенный прием – изменение ин­тервалов варьирования. Он, конечно, требует постановки новой серии опытов. Иногда отказываются от построения адекватной модели, чтобы ценой нескольких опытов проверить возможность движения по градиенту. Это решение нельзя считать достаточно корректным. Движению по градиенту обычно предшествует оценка кривизны по­верхности отклика (по сумме коэффициентов при квадратичных членах) и сопоставление величин линейных эффектов и эффектов взаимодействия. Если вклад квадратичных членов и эффектов взаимодействия невелик, то решениео движении по градиенту представляется возможным.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8