Планирование эксперимента (стр. 2 )

Матрица спектра плана— это матрица, в которую входят только различающиеся между собой строки матрицы плана. Размерность матрицы спектра плана N х n, где N — число точек плана, различающихся между собой хотя бы одной координатой U

Матрица спектра плана имеет вид (3.7):

3.2 Структура экспериментальной факторной модели

Под структурой экспериментальной факторной математической модели понимается вид математических соотношений между факторами X, Zи откликом Y. В качестве факторов принимают внутренние и внешние параметры технической системы, подлежащие оптимизации в процессе ее проектирования. Внутренние параметры системы — это параметры ее элементов, внешние — это параметры внешней среды, в условиях воздействий которой осуществляется функционирование системы. Функциями отклика Yявляются выходные параметры технической системы, характеризующие ее эффективность и качество процессов функционирования. Выходные параметры системы принимаются в качестве критериев оптимальности.

Структура факторной модели выбирается на основе априорной информации, используя принцип постепенного ее усложнения. Параметры факторной математической модели определяются методами регрессионного анализа. При определении параметров этими методами нет необходимости различать виды факторов, т. е. подразделять факторы на управляемые Xи неуправляемые Z. Поэтому в дальнейшем все они будут обозначаться буквой X. Тогда факторную модель можно представить векторным уравнением регрессии вида (3.8):

(3.8)

Для определения параметров используются результаты эксперимента. Результаты эксперимента можно представить функцией вида (3.9):

(3.9)

где βj — j-ый элемент вектора искомых коэффициентов уравнения регрессии;

fj(x) - j-ая базисная функция.

В качестве базисных функций используют переменные простейших полиномов, системы ортогональных полиномов, тригонометрические функции. Наиболее часто пользуются простейшими полиномами первой и второй степеней. Например, полином первой степени, описывающий функцию отклика у при двух факторах х1 и х2 ,может иметь вид (3.10, 3.11):

y=b0 + b1x1 + b2x2 (3.10)

или

y=b0 + b1x1 + b2x2 + b3x1x2 (3.11)

А полином второй степени будет иметь вид (3.12):

y=b0 + b1x1 + b2x2 + b3x1x2 + b4x12 + b5x22 (3.12)

Базисные функции в случае использования последнего выражения имеют вид

f0(X)=1;

f1(X)=x1;

f2(X)=x2;

f3(X)=x1 x2;

f4(X)=x12;

f5(X)=x22;

4. Планы экспериментов и их свойства

4.1 Виды экспериментов

Для проведения активных экспериментов разработано множество различных планов. Планы учитывают, как особенности структуры регрессионных моделей, так и требования их эффективности с позиций повышения точности получаемых моделей и снижения затрат на проведение эксперимента.

При построении линейных моделей или нелинейных, содержащих только взаимодействия факторов, но без квадратов этих факторов, каждый фактор можно варьировать только на двух уровнях. Для получения таких моделей используют планы первого порядка.

Известно несколько разновидностей планов первого порядка. Они предназначены для планирования следующих видов экспериментов:

– однофакторного (классического) эксперимента;

– полного факторного эксперимента;

– дробного факторного эксперимента.

Если в регрессионную модель входят факторы в квадрате или с более высокими степенями, то необходимо не менее трех уровней варьирования факторов. При построении квадратичных моделей применяют планы второго порядка.

Планы различают по степени насыщенности и композиционности. План называют насыщенным, если общее число точек плана равно числу неизвестных параметров регрессионной модели. Такой план позволяет получить экспериментальную факторную модель при минимальных затратах, так как обеспечивает минимум числа опытов.

План называется композиционным, если в спектр его в качестве составной части входят точки спектра плана, который был реализован при построении более простой модели. Композиционность плана позволяет реализовать принцип постепенного усложнения модели при минимальных затратах, так как при этом используются результаты опытов, выполненных для получения простой модели. Многие планы второго порядка являются композиционными.

4.2 План однофакторного эксперимента

Однофакторный (классический) эксперимент предназначен для получения линейной экспериментальной факторной модели вида (4.1):

(4.1)

Однофакторный эксперимент предусматривает поочередное варьирование каждого из факторов при фиксированных на некотором уровне значениях остальных факторов. Фактор Хiварьируют на двух уровнях XiB и XiH, а все остальные при этом должны находиться в точке центра эксперимента Xj0, j # i. Для нормированных факторов xjB= +1, xiH= -1, xj= 0. С учетом этого составим матрицу спектра плана однофакторного эксперимента (4.2):

. (4.2)

Число точек плана в этом случае N = 2n, где n — количество факторов.

Рисунок 4

Вектор базисных функций имеет вид (4.3):

(4.3)

4.3 План полного факторного эксперимента

Спектр плана полного факторного эксперимента (ПФЭ) содержит все возможные комбинации значений факторов на всех уровнях их изменения. Число точек N спектра плана определяется по формуле (4.4):

(4.4)

где U— число уровней варьирования факторов; n— количество факторов.

Рассмотрим особенности и свойства ПФЭ, применяемых при построении линейных регрессий вида (4.5):

(4.5)

Для получения линейной регрессии достаточно варьировать факторы на двух уровнях, т. е. U= 2. Тогда число точек спектра плана будет (4.6):

N = 2n. (4.6)

Такой план принято обозначать ПФЭ2n.

Рассмотрим порядок составления матрицы спектра плана, полагая, что факторы нормированы и, следовательно, могут принимать значения только либо + 1, либо - 1.

Для составления матрицы спектра плана используется следующее простое правило: в первой строке матрицы все факторы равны - 1, в первом столбце знаки единиц меняются поочередно; во втором столбце они чередуются через два; в третьем — через 4; в четвертом — через 8 и т. д. по степеням двойки.

При n = 2 число точек плана N = 22 = 4, а матрица спектра плана имеет вид (4.7):

При n = 3 N=23 = 8, а матрица спектра плана имеет вид (4.8):

Таблица 1 Таблица 2

Точки плана ПФЭ2n располагаются в вершинах n— мерного гиперкуба.

Рисунок 5

Посредством ПФЭ можно построить как простейшую линейную модель технической системы вида (4.9):

, (4.9)

так и нелинейную.

Для этой модели система базисных функций очевидна: f0(х) = 1; f1 (х) = x1; f2(х) = х2; ...; fn(x) = хn. Число базисных функций в этом случае равно n+ 1.

4.4 План дробного факторного эксперимента

Полный факторный эксперимент имеет существенный недостаток: увеличение количества факторов приводит к быстрому росту числа опытов. Например, при n= 10 спектр плана содержит N = 210 = 1024 опыта. Кроме того, необходимо дублирование опытов.

Обычно при построении многофакторной регрессионной модели ограничиваются парными или, в крайнем случае, отдельными тройными взаимодействиями факторов. В этом случае ПФЭ оказывается избыточным, так как число точек спектра плана N значительно больше количества коэффициентов регрессии NB. В результате возникает возможность сокращения числа опытов.

Во многих случаях на начальной стадии моделирования технической системы в связи с отсутствием необходимой информации о влиянии на ее выходные параметры различных факторов (внутренних или внешних параметров) строят линейную модель. Например, при трех факторах выбирают модель в виде (4.10):

(4.10)

В этом уравнении четыре коэффициента регрессии, а при n=3 спектр плана ПФЭ, содержит 8 точек, т. е. предусматривает 8 опытов в различных точках факторного пространства. Следовательно, четыре опыта оказываются избыточными и их можно было бы исключить. При построении математических моделей, использующих упрощенные уравнения регрессий, когда N >NB, применяют дробные факторные эксперименты (ДФЭ). Наибольшее распространение имеют регулярные планы ДФЭ типа 2n-p, т. е. ДФЭ2n-p,где n— число факторов, р — степень дробности ДФЭ.

При построении матрицы спектра плана ДФЭ2n-p число точек спектра плана определяется по формуле (4.11):

N = 2n-p (4.11)

При выборе степени дробности ДФЭ должно выполняться условие (4.12):

N>NB. (4.12)

Процедура построения спектра плана ДФЭ2n-p содержит четыре этапа:

1) Выбор структуры уравнения регрессии и определение степени дробности ДФЭ.

2) Выбор ведущих факторов и построение для них матрицы спектра плана, определяющую программу их изменения в ходе эксперимента. k = n – p

Для выбранных ведущих факторов х1, х2, …… хkстроят план ПФЭ2k.

3)Построение матрицыспектра плана ДФЭ2n-p.

Часть этой матрицы составляет матрица спектра плана ПФЭ2k, а во вторую должны войти столбцы матрицы для остальных факторов хk+1, хk+2, …… хn, количество которых равно p = n – k.

Столбцы матрицы X, соответствующие этим факторам, определяют путем перемножения соответствующих столбцов ведущих факторов. Для этого используют генерирующие соотношения. Генерирующим соотношением называется алгебраическое выражение, устанавливающее связь между одним из факторов xk+1,xk+2 ,...,xn и произведением какой-либо комбинации ведущих факторов x1,x2, •.., хk. Выбор генерирующих соотношений, вообще говоря, произволен. Однако в качестве генерирующих нельзя использовать те произведения ведущих факторов, которые входят в состав существенных переменных.

Генерирующее соотношение имеет вид (4.13):

xk+I = xjxixm…, i = 1….p, (4.13)

где xk+1— фактор, не включенный в число ведущих (для него определяется столбец матрицы Xспектра плана ДФЭ2n-p); xj,xi,xm,... — ведущие факторы.

Количество ведущих факторов, входящих в генерирующее соотношение, может быть произвольным, но соотношения для всех Xji+iдолжны быть разными.

4) Проверка пригодности полученного спектра плана.

Для этого необходимо построить матрицу базисных функций Fи проверить, нет ли в ней совпадающих или полностью противоположных столбцов. Если в матрице Fнет совпадающих или противоположных столбцов, полученный спектр плана ДФЭ2n-p пригоден для решения поставленной задачи. В противном случае выполняются последовательно следующие процедуры до тех пор, пока не будет обеспечена ортогональность:

– выбираются иные генерирующие соотношения;

– изменяется набор ведущих факторов;

– уменьшается степень дробности плана р.

При ограниченных возможностях проведения опытов степень дробности плана сохраняют, а изменяют структуру уравнения регрессии (например, используют иные взаимодействия факторов или исключают какую-либо базисную функцию, соответствующую одному из взаимодействий высшего порядка). Таким образом, регулярные план ДФЭ2n-p обладают теми же свойствами, что и планы ПФЭ2n. Пример 1. Получить спектр плана ДФЭ, предназначенного для оценки коэффициентов уравнения регрессии вида (4.14):

(4.14)

Так как число факторов в этом уравнении три (х1, x2, x3), то при проведении ПФЭ количество точек спектра плана было бы равно N = 23 = 8. В уравнении же всего четыре коэффициента, поэтому можно использовать полуреплику, т. е. ДФЭ23-1, спектр плана которой содержит четыре точки: N = 23-1 = 4. Число ведущих факторов k = n - р = 3 - 1 = 2. Выберем в качестве ведущих факторов х1и x2. Значения элементов векторов-столбцов этих факторов получим на основе плана ПФЭ22 , используя метод чередования знаков. Для определения вектора-столбца фактора x3 примем генерирующее соотношение в виде x3 = х1x2. Полученный спектр плана ДФЭ23-1 выделен прямоугольником в табл. 3, в которой приведена матрица базисных функций F.

Таблица 3

В матрице F нет совпадающих столбцов, следовательно, полученный спектр плана пригоден для решения поставленной задачи.

5. Статистический анализ результатов активного эксперимента

5.1 Виды ошибок при статистическом анализе

Прежде чем определять оценки коэффициентов регрессии, необходимо выполнить статистический анализ результатов эксперимента с целью оценки их качества и пригодности для построения регрессионной модели. Статистический анализ включает оценку ошибок параллельных опытов, отсеивание грубых ошибок, проверку однородности дисперсий опытов и определение дисперсии воспроизводимости эксперимента.

Одной из важнейших особенностей, связанных с планированием эксперимента, является повышенная требовательность к точности измерения при фиксировании факторов и при оценке значений критериев оптимизации в отдельных опытах. Исследователь должен уметь правильно определять и оценивать ошибки измерений.

Задачей измерения является не только определение значения самой измеряемой величины, но и также и оценка погрешности, допущенной при измерении (ошибки измерения).

Различают несколько видов ошибок измерения:

¾  грубые;

¾  систематические;

¾  случайные.

Грубые ошибки возможны из-за нарушения основных условий измерения (неверные показания прибора и т. д.) или в связи с недосмотром исследователя, его невнимательностью. Результат, содержащий грубую ошибку, называют промахом. Исследователь всегда должен проверить вероятность грубой ошибки, если один из результатов измерений резко отличается от других. Часто промахов можно избежать, если измерения повторяются вторым исследователем, которому неизвестны результаты, полученные первым. Аналогичный эффект достигается, когда тот же исследователь повторяет измерения спустя некоторое время после первых измерений, когда он забыл ранее полученные результаты. При обнаружении грубой ошибки рекомендуется сразу же отбросить соответствующий результат измерения.

Систематические ошибки вызываются воздействием факторов, которые проявляются одинаково при многократном повторении одних и тех же измерений. Ошибки такого рода имеют место, например, при измерениях прибором с неправильной регулировкой, приведшей к смещению начала отсчета. После выявления систематических ошибок (при измерениях разными приборами или разными методами одних и тех же величин) их можно легко устранить путем введения необходимых поправок.

Различают несколько видов систематических ошибок:

¾  поправки (ошибки известной природы и известной величины);

¾  ошибки известного происхождения, но неизвестной величины;

¾  ошибки неизвестного происхождения.

Учет поправок обычно не вызывает затруднений. При наличии других видов систематических ошибок задача усложняется, но и здесь затруднений можно избежать, если обеспечиваются условия, при которых систематические ошибки переводятся в случайные, после чего учитывается влияние случайных ошибок. Перевод систематических ошибок в случайные производится методом рандомизации, который рассмотрим позже.

При проведении исследований, связанных с планированием эксперимента, до начала обработки экспериментальных данных все возможные грубые и систематические ошибки должны быть выявлены и устранены.

Случайные ошибки – это следствие воздействий, которые неодинаковы при каждом измерении и не могут быть учтены в отдельности. Подобные ошибки связаны с суммарным эффектом влияния многих факторов, например, изменение погодных условий, разница показателей различных партий сырья и т. д.

Случайные ошибки обычно характеризуются определенным законом их распределения. Очень часто распределение случайных величин, в том числе случайных ошибок измерения, подчиняется закону Гаусса, который относится к так называемому нормальному распределению.

5.2 Ошибки параллельных опытов.

B условиях наличия случайных помех с целью уменьшения случайных погрешностей эксперимента и повышения точности получаемой регрессионной модели осуществляется дублирование опытов. Каждый опыт, предусмотренный матрицей спектра плана, повторяется т = 2...5 раз. Рекомендуется число т принимать одинаковым для всех N точек плана. В результате проводится L= Nmопытов, в соответствии с матрицей плана, предусматривающей при этом рандомизацию опытов.

Повторные опыты в одной и той же точке плана при наличии помехи дают различные результаты при определении функции отклика.

Разброс результатов относительно оценки математического ожидания функции отклика называют ошибкой воспроизводимости опыта. Эту ошибку надо оценить.

Для каждой точки плана по результатам параллельных опытов находят выборочное среднее уi, равное среднему арифметическому полученных опытных значений функции отклика (5.1, 5.2):

(5.1)

(5.2)

где N — номер параллельного опыта; yi U — значение функции отклика в u-м параллельном опыте i-ой точки спектра плана.

Для оценки отклонения функции отклика от ее среднего значения уiвычисляется дисперсия воспроизводимости опыта по данным т параллельных опытов в каждой i - ой точке спектра плана (5.3, 5,4):

(5.3)

(5.4)

5.3 Отсеивание грубых ошибок

Формула для выборочного среднего уi справедлива лишь при нормальном распределении случайной величины у. При наличии грубых ошибок опыта распределение у отклоняется от нормального, что противоречит предпосылкам, положенным в основу регрессионного анализа. Поэтому грубые ошибки надо вначале исключить, а затем определять уi и S2i. Грубые ошибки — это брак повторных опытов. Для обнаружения брака используют критерий Стьюдента (5.5):

(5.5)

Полученное значение t-критерия сравнивается с табличным tT при выбранном уровне значимости qи числе степеней свободы k. Уровень значимости qхарактеризует вероятность ошибки. Если t>tT, то это соответствует браку данного опыта и результат его не может быть использован. В этом случае опыт подлежит повторному проведению.

5.4 Рандомизация

Чтобы исключить влияние систематических ошибок, вызванных внешними условиями (переменой температуры, сырья, исполнителей и т. д.), рекомендуется случайная последовательность при постановке опытов, запланированной матрицей. Опыты необходимо рандомизировать во времени. Термин «рандомизация» происходит от английского слова random – случайный.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6 7 8