Методические указания к практическим занятиям по дисциплине рынок недвижимости и ипотека (стр. 2 )

Банк выдал предприятию кредит в сумме 200 тыс. руб., сроком на 1 год, под процентную ставку 19% годовых. Проценты за пользование кредитом начисляются ежемесячно. Найти сумму, которую клиент должен гасить ежемесячно при которой к окончанию срока, кредит будет погашен полностью.

Дано:

Сумма кредита (Sотыс. руб.;

процентная ставка (t% годовых;

срок кредита (Тмесяцев;

период начисления процентов за пользование кредитом (N) - 1 раз в месяц.

Рассчитать сумму ежемесячного платежа (П)- ?

Решение:

Выведем формулу для нахождения суммы ежемесячного платежа.

Сумма вклада с процентами в конце первого периода начисления будет равна

S1=So+So· a = Sо (1+ a)

После начисления процентов полученная сумма уменьшается на величину платежа (П),

сумма оставшаяся после платежа за первый месяц составит

S1=Sо (1+a)-П,

где a - процентная ставка в долях за период начисления

Сумма вклада с процентами в конце второго периода начисления составит

S2=[ Sо ( 1+a)-П ] (1+a),

сумма оставшаяся после платежа за второй месяц составит

S2=[ Sо ( 1+a)-П ] (1+a)-П

Сумма вклада с процентами в конце третьего периода начисления составит:

S3={ [Sо (1+a) - П] (1+a) - П }(1+a).

Сумма, оставшаяся после платежа за третий месяц составит:

S3={ [ Sо (1+a) - П] (1+a) - П}(1+a) - П

и т. д.

Раскроем скобки:

S1=Sо (1+a) - П

S2=Sо (1+a)(1+a) - П(1+a) - П

S3=Sо (1+a)(1+a)(1+a)-П(1+a)(1+a)-П(1+a)-П

и т. д.

Вынесем П за скобки, вместо получившейся единицы подставим выражение ( 1+a), т. к ( 1+a)=1:

S1=Sо (1+a) - П

S2=Sо (1+a)-П[ (1+a)+ (1+a)]

S3= Sо (1+a)-П[(1+a)+ (1+a)+( 1+a)]

..

Sn= Sо (1+a)-П[ (1+a)+(1+a)+ ... + (1+a)+(1+a)] ,

из этого выражения выделим П:

П =

Знаменатель получившегося выражения является числовым рядом, образованным из членов геометрической прогрессии. Применим к нему формулу для суммы членов геометрической прогрессии.

Формула геометрической прогрессии:

Sn =

где:

==1 - 1-ый член геометрической прогрессии

- n-ый член геометрической прогрессии

g = 1+a - одно и то же постоянное число

Подставив значения , , g в знаменатель, получим =

Таким образом, знаменатель вышеуказанного выражения можно представить в следующем виде

Подставим получившийся знаменатель в вышеуказанное выражение :

П = =

Итак, формула для нахождения суммы ежемесячного платежа (П) имеет вид

П=

где a - процентная ставка в долях за период начисления

n - количество периодов начисления

Приступим непосредственно к решению задачи

1.Найдем месячную процентную ставку:

a в месяц =

a мес. = 19%годовых / 100% . 12 месяцев = 0,016

2.Найдем количество периодов начисления процентов:

n = T/N

n=12 / 1= 12

Найдем сумму ежемесячного платежа:

П=

П = [200 000 * (1+0,016)12*0,016] / [(1+0,016)12 – 1]=руб.

Ответ: сумма ежемесячного платежа равнаруб.

Итак, для того чтобы полностью погасить кредит к окончанию срока необходимо ежемесячно платить банкурублей.

Проверочная таблица к примеру 2 ( в руб.)

(Погрешность из-за округления.)

Условиями договора о вкладе может быть предусмотрено, что на сумму вклада можно делать взносы. В приведенной задаче рассматриваются взносы которые вносятся регулярно одинаковыми суммами через одинаковые периоды. Последовательность денежных поступлений, осуществляемых равными суммами через равные периоды времени, называют постоянной финансовой рентой, а сумму всех таких поступлений - наращенной величиной финансовой ренты.

Пример 3

На вклад в конце каждого месяца вносится сумма 10 тыс. руб. Банк ежемесячно начисляет проценты по ставке 7 % годовых. Срок вклада 1 год. Найти накопленную сумму вклада.

Дано:

Сумма ежемесячного взноса (Птыс. руб.;

период начисления процентов на вклад (N)- 1 месяц;

срок вклада (Тмесяцев;

процентная ставка (t% годовых.

Найти накопленную сумму вклада (S нак.) - ?

Решение:

1.Найдем месячную процентную ставку:

a в месяц =

a мес. =7%годовых / 100% . 12 месяцев = 0,006

2.Найдем количество периодов начисления процентов:

n = T/N

n=12 / 1= 12

3. Найдем накопленную сумму вклада.

Суммы вклада с процентами при последовательных взносах будет равна:

за первый месяц:

S1= По

за второй месяц :

S2 = Пo + Пo × a= Пo(1+ a)

за третий месяц :

S3= П1+ П1 a = Пo+ Пo × a+(Пo+ Пo × a) a=Пo(1+ a)

за четвертый месяц:

S4= П2+ П2 a= Пo+ Пo × a+(Пo+ Пo × a) a+[ Пo+ Пo × a+(Пo+ Пo × a) a]a= =Пo(1+ a)

....Sn= Пo(1+ a)

Накопленная сумма вклада (S нак.) равна сумме всех значений S

Суммируем все значения S

S нак. = По +Пo(1+ a)+ Пo(1+ a)+ Пo(1+ a)+ ... + Пo(1+ a)

Вынесем П за скобки, единицу заменим выражением (1+ a), т. к. (1+ a)=1

S нак. = По ((1+ a)+(1+ a)+(1+ a)+(1+ a)+ ... + (1+ a)),данное выражение является числовым рядом образованным из членов геометрической прогрессии.

Применим к сумме всех значений П формулу для суммы членов геометрической прогрессии

формула геометрической прогрессии-

Sn =

где, ==1 - 1-ый член геометрической прогрессии

- n-ый член геометрической прогрессии

g = 1+a - одно и то же постоянное число (знаменатель геометрической прогрессии)

Подставим значения , , g в выражение:

S нак.= По ((1+ a)+(1+ a)+(1+ a)+(1+ a)+ ... + (1+ a))=

= По

Таким образом формула для нахождения накопленной суммы вклада при поступлении последовательных взносов на вклад через равные периоды времени в конце периода начисления следующая

S нак. =

S нак. = 10 000*[(1+0,006)12 – 1]/0,006=

Ответ: Накопленная сумма вклада составит рублей.

Проверочная таблица к примеру 3

Каждая из вышеприведенных задач имеет задачу обратную. Рассмотрим их.

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3