Эконометрика и экономико-математические методы и модели (стр. 3 )

sх – среднеквадратическое отклонение величины Х;

sy – среднеквадратическое отклонение величины Y.

Отобранная для анализа группа данных называется выборкой, а вся совокупность данных, из которых выделяется выборка, генеральной совокупностью.

Поскольку значения коэффициента корреляции определяются по выборочным данным и, следовательно, будут различными при рассмотрении различных выборок из одной и той же генеральной совокупности, значение коэффициента корреляции следует рассматривать как случайную величину.

Таким образом, может возникнуть ситуация, при которой величина коэффициента корреляции, рассчитанная по данным выборки, отлична от нуля, а истинный коэффициент корреляции равен нулю.

1.1 Рассчитаем среднеквадратическое отклонение величины Х

, (2.8)

где n – число переменных.

.

1.2 Рассчитаем среднеквадратическое отклонение величины Y

, (2.9)

где n – число переменных.

.

1.3 Рассчитаем коэффициент корреляции

.

1.4 Вычислим ошибку коэффициента корреляции

, (2.10)

где Sr – среднеквадратическая ошибка выборочного коэффициента корреляции;

n – число переменных.

.

1.5 Рассчитаем величину t-критерия

Для проверки значимости отличия коэффициента корреляции от нуля используется критерий Стьюдента, определяемый по формуле

. (2.11)

Расчетная величина t-критерия сопоставляется с табличной величиной, отыскиваемой в таблицах значений этого критерия при числе степеней свободы, равном (n - 2) и заданной доверительной вероятности, которая обычно выбирается равной Р = 0,95 или Р = 0,99. В некоторых случаях вместо доверительной вероятности задается так называемый уровень значимости . Если расчетная величина t-критерия окажется больше табличной, то это означает, что полученный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, если же расчетное значение критерия меньше, чем табличное, то коэффициент корреляции следует считать равным нулю.

.

Табличное значение t-критерия (при восьми степенях свободы и 95 % доверительной вероятности): tтаб = 2,306. Таким образом, tr > tтаб, и, значит, коэффициент корреляции значимо отличен от нуля.

Таблица 2.3 – Промежуточные результаты

2 Расчет уравнения регрессии

Для расчета коэффициента регрессии используем метод наименьших квадратов, суть которого состоит в том, чтобы подобрать такое аналитическое выражение зависимости между исследуемыми показателями, для которого сумма квадратов отклонений значений зависимой переменной Y, вычисленных по этому выражению от значений, определяемых по данным наблюдений, была бы минимальной, т. е.

, (2.12)

где – значение переменной в i-ом наблюдении;

– значение переменной, определенное расчетом при i-ом значении переменной Х;

n – число наблюдений.

Связь линейная, т. е.

, (2.13)

то задача отыскания уравнения связи состоит в расчете таких значений коэффициентов а и b, при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений Y от фактических была бы минимальной.

, (2.14)

,

, (2.15)

.

Таким образом, уравнение связи между производительностью труда и рентабельностью предприятия имеет вид

. (2.16)

Величина b называется коэффициентом регрессии. Так же как и коэффициент корреляции, коэффициент регрессии является случайной величиной, в связи с чем возникает необходимость проверки значимости его отличия от нуля. Эта проверка, так же как и в случае с коэффициентом корреляции, осуществляется с помощью t-критерия.

Проверим значимость коэффициента b.

Данные для расчета удобно свести в таблицу 2.4. Значения YРАСЧ определим из уравнения (2.16).

Таблица 2.4 - Исходные данные и промежуточные результаты

;

;

;

;

;

;

;

;

;

.

Используя уравнение связи между производительностью труда и рентабельностью предприятия () и расчетные значения Y, можно построить график.

Рисунок 2.2 – Фактические (YФАКТ) и расчетные (YРАСЧ) значения Y

2.1 Вычислим ошибку коэффициента регрессии

, (2.17)

.

2.2 Вычислим остаточную сумму квадратов

.

Отсюда: .

В остальном методика проверки значимости отличия коэффициента регрессии от нуля аналогична проверке значимости коэффициента корреляции.

. (2.18)

Коэффициент регрессии показывает, насколько изменяется зависимая переменная при изменении независимой переменной на единицу.

Для данного случая табличное значение t-критерия при восьми степенях свободы и 95 % доверительности равно 2,106. Таким образом, tb > tтаб, и, следовательно, коэффициент регрессии значимо отличен от нуля.

2.3 Рассчитаем коэффициент эластичности

, (2.19)

.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько % увеличится Y при увеличении Х на 1 %.

Таблица 2.5 – Промежуточные результаты

ВЫВОД: Таким образом, произведенный анализ показывает, что величина рентабельности предприятия связана с производительностью труда (коэффициент корреляции 0,78). Из полученного уравнения регрессии следует, что увеличение производительности труда на 1 тыс. руб. приведет к повышению рентабельности на 0,0217 тыс. руб. Изменение производительности труда на 1 % приведет к увеличению рентабельности на 0,325 %.

II ЭТАП (решение задачи с помощью ТП MS Excel)

Решение задачи с помощью табличного процессора MS Excel представлено в приложениях 2 и 3.

3 ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ.

ЛИНЕЙНЕОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

3.1 Общая постановка задач линейного программирования

Линейное программирование – это один из разделов математического программирования, изучающий способы поиска (отыскания) максимума или минимума линейной функции нескольких переменных при наличии линейных ограничений, т. е. линейных равенств или неравенств, связывающих эти переменные.

К задачам оптимального планирования относится достаточно широкий круг задач оптимизации.

Задача оптимизации – это задача выбора таких условий и зависящих от них факторов, при которых критерий эффективности достигает экстремального значения.

Под решением задач оптимизации понимается процесс выбора таких значений переменных х, принадлежащих допустимой области D, которые обеспечивают оптимальное значение некоторой функции F(x), называемой целевой.

Если целевая функция линейна, а область допустимых значений задается системой линейных уравнений или неравенств, то такая задача является задачей линейного программирования.

Модель задачи линейного программирования должна иметь вполне определенный вид: требуется найти максимум (минимум) значения целевой функции L при переменных x1, x2, …, xn.

Общая математическая формулировка задачи линейного программирования выглядит следующим образом:

, (3.1)

при соблюдении линейных ограничений

(3.2)

Каждая из переменных не может принимать отрицательного значения, т. е.

(3.3)

В выражениях (3.1) и (3.2) коэффициенты aij и cj при переменных и величины bi – постоянные числа.

Решение системы уравнений (3.2) при выполнении условия (3.3) называется допустимым решением задачи линейного программирования.

Оптимальное решение – это допустимое решение, удовлетворяющее условию (3.1). Для нахождения оптимального решения следует иметь множество допустимых решений. Если число уравнений m в системе (3.2) равно числу переменных n, то такая система уравнений имеет только одно решение. В задачах линейного программирования число уравнений должно быть меньше числа переменных: m < n.

Все переменные, входящие в систему ограничений, должны быть и в целевой функции. Свободные члены b1, b2, …, bm в системе ограничений должны быть положительными или равны нулю (>=0).

Достаточно часто ограничения (3.2) задаются в виде системы неравенств.

Существует только одна переменная, и ищется только один экстремум.

Требуется найти такое неотрицательное решение системы (3.2), т. е. (3.3), при котором функция L(x) достигает максимума или минимума.

Функция (3.1) – целевая функция; уравнение (3.2) – ограничения данной функции; неравенство (3.3) – условие не отрицательности.

В сокращенной записи задача линейного программирования заключается в минимизации (максимизации) функции

, (3.4)

при условиях, что

(3.5)

и

. (3.6)

К типовым оптимизационным задачам линейного программирования можно отнести:

§  оптимизация производственной программы;

§  оптимизация раскроя материалов;

§  оптимизация состава смеси;

§  оптимизация перевозок;

§  оптимизация финансовых показателей;

§  оптимизация штатного расписания и т. п.

3.2 Пример построения и решения оптимизационной модели

Трикотажная фабрика предполагает предложить потребителям полотна 150 и 90 артикулов. Требуется определить ассортимент указанных тканей, позволяющий фабрике получить максимальную прибыль на имеющемся оборудовании (машины Текстима и Кокетт). При этом следует определить, какие артик.2.

Таблица 3.1 – Исходные данные для решения задания 3

Артикулы полотна	Величина прибыли в тыс. руб. при выработке 1 т полотна на машине	Фактическая производительность в кг/час машины
текстима	кокетт	текстима	кокетт
150	13,40	13,46	2,42	3,76
90	7,06	7,17	4,08	7,66

Таблица 3.2 – Исходные данные для определения максимального ассортимента трикотажной фабрики

Машины	Фонд машинного времени, в маш/час (план)
Текстима	9305
Кокетт	6534

РЕШЕНИЕ:

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах: 1 2 3 4 5 6