Von Neumann–Morgenstern-representationen utgör ett fundamentalt verktyg för att förstå och kvantifiera preferenser i teorin om beslut och sannolikheter. Detta koncept förutsätter att det finns en numerisk representation för preferenser över sannolikhetsmått, där varje element i en mängd av sannolikheter kan mätas med ett tal. Här behandlas ett teorem som specificerar hur dessa representationer är unika och affine, och hur de förhåller sig till axiomen för preferensrelationer.

För att förstå representationen, antar vi att MM är mängden av alla sannolikhetsmått på en ändlig mängd SS, och att en preferensordning ≻\succ på MM uppfyller både Archimedes och oberoende axiom. I detta fall existerar en von Neumann–Morgenstern-representation som är unik upp till positiva affine transformationer. För att bevisa detta teorem krävs en hjälplemma som behandlar egenskaperna hos en konvex kombination av sannolikhetsmått och deras relationer i förhållande till preferensordningen.

Lemmat i sig ger två viktiga egenskaper för att förstå denna representation: För det första, om μ≻ν\mu \succ \nu, är den konvexa kombinationen αμ+(1−α)ν\alpha\mu + (1 - \alpha)\nu strikt ökande i förhållande till ≻\succ. För det andra, om μ≻ν\mu \succ \nu och μ⪰λ⪰ν\mu \succeq \lambda \succeq \nu, då finns det ett unikt α∈[0,1]\alpha \in [0, 1] sådant att λ∼αμ+(1−α)ν\lambda \sim \alpha\mu + (1 - \alpha)\nu. Dessa egenskaper ger grunden för att representera preferenser numeriskt.

Vidare kan vi bevisa att en affine numerisk representation UU av preferensordningen på mängden M(λ,ρ)M(\lambda, \rho) är unik upp till positiva affine transformationer. Detta betyder att om vi har två olika affine numeriska representationer, UU och U~\tilde{U}, på samma mängd, kommer de att vara relaterade genom en positiv affine transformation.

Exempelvis, om MM är mängden av alla Borel sannolikhetsmått på intervallet S=[0,1]S = [0, 1], kan varje μ∈M\mu \in M dekomponeras enligt Lebesgue dekompositionsteorem. Här skulle en von Neumann–Morgenstern-representation vara av form U(μ)=∫u(x)μ(dx)U(\mu) = \int u(x) \mu(dx), där u(x)u(x) representerar en funktion som är relaterad till preferenserna. Detta exempel visar hur komplexiteten ökar när vi arbetar med oändliga mängder, och att en von Neumann–Morgenstern-representation kan vara otillräcklig om mängden SS är oändlig.

Det är viktigt att förstå att även om den von Neumann–Morgenstern-representationen ger en kraftfull metod för att representera preferenser över sannolikhetsmått, finns det fall där en sådan representation inte existerar. Ett exempel är när MM är mängden av sannolikhetsmått på S={1,2,3,… }S = \{1, 2, 3, \dots \}, och där U(μ):=lim⁡k→∞k2μ(k)U(\mu) := \lim_{k \to \infty} k^2 \mu(k) existerar som ett ändligt tal. Här kan UU vara affine och uppfylla båda axiomen, men den kommer inte att ha en von Neumann–Morgenstern-representation.

För att ytterligare förstå detta, måste läsaren inte bara känna till de tekniska detaljerna i bevisen, utan även erkänna de situationer där en sådan representation inte är möjlig. Speciellt, när vi har en oändlig mängd som S=[0,1]S = [0, 1], kan representationen vara mycket mer komplicerad och ibland inte existera alls. Detta påminner oss om att även inom den rigorösa ramverket för von Neumann–Morgenstern-representationen, kan det finnas subtiliteter och begränsningar som kräver noggrant övervägande av det specifika sammanhanget.

Hur riskmått kan representeras i finansiella marknader: En översikt

I den finansiella marknadsmodellen som behandlas här, antas att priserna på d + 1 tillgångar är modellerade som icke-negativa slumpvariabler S0,S1,…,SdS_0, S_1, \dots, S_d, där S0=1+r>0S_0 = 1 + r > 0. Vid tidpunkt 0 ges priserna av en vektor π=(1,π1,…,πd)\pi = (1, \pi_1, \dots, \pi_d), och den diskonterade nettovinst som en handelsstrategi ξ=(ξ0,ξ)\xi = (\xi_0, \xi) ger definieras som ξ⋅Y\xi \cdot Y, där den slumpmässiga vektorn Y=(Y1,…,Yd)Y = (Y_1, \dots, Y_d) är given av Yi=Si−(1+r)−πiY_i = S_i - (1 + r) - \pi_i för varje i=1,…,di = 1, \dots, d. Detta innebär att riskmått definieras i rummet L∞=L∞(Ω,F,P)L^\infty = L^\infty(\Omega, \mathcal{F}, P), där alla portföljer är element i detta rum.

Ett finansiellt innehav XX kan betraktas som riskfritt om X≥0X \geq 0, eller om det kan hedgas utan ytterligare kostnader. Detta betyder att det finns en handelsstrategi ξ\xi sådan att π⋅ξ=0\pi \cdot \xi = 0 och X+ξ⋅Y≥0X + \xi \cdot Y \geq 0 nästan säkert. Detta leder till en definition av acceptabla positioner i L∞L^\infty, som bildar ett konvext kon, dvs. A0:={X∈L∞∣∃ξ∈Rd sa˚dan att X+ξ⋅Y≥0 P-a.s.}A_0 := \{X \in L^\infty | \exists \xi \in \mathbb{R}^d \text{ sådan att } X + \xi \cdot Y \geq 0 \, \text{P-a.s.}\}.

Riskmått och kohärens

En viktig observation i denna modell är att riskmått definierade på sådana kon är kohärenta. Det innebär att dessa mått är subadditiva, positiva homogena, monotona och translaterande. Ett riskmått ρ0\rho_0 definieras som

ρ0(X):=inf⁡{m∈R∣m+X∈A0}\rho_0(X) := \inf\{m \in \mathbb{R} | m + X \in A_0 \}

och anses vara kohärent om det följer från konvexiteten av A0A_0. I modellen utan arbitrage, som är en grundläggande förutsättning för finansiella marknader, är detta riskmått också känsligt för marknadsförändringar och kan representeras genom en uppsättning ekvivalenta riskneutrala mått ρ0(X)=sup⁡Q∈PEQ[−X]\rho_0(X) = \sup_{Q \in P} E^Q[-X].

Vidare, om marknaden är fri från arbitrage, är detta riskmått kontinuerligt från ovan. Detta innebär att om en sekvens av positioner XnX_n konvergerar mot en position XX, så konvergerar även riskmåttet ρ0(Xn)\rho_0(X_n) mot ρ0(X)\rho_0(X), vilket gör det möjligt att representera riskmåttet som en suprema över förväntningarna från de ekvivalenta riskneutrala måtten.

Riskmått med restriktioner på portföljer

Det finns praktiska skäl att införa ytterligare restriktioner på handelsstrategier ξ\xi. Till exempel kan en investerare ha begränsade resurser och därför endast tillåta strategier där den initiala investeringen i riskfyllda tillgångar ligger under en viss nivå. En sådan restriktion motsvarar ett övre gränsvärde för ξ⋅π\xi \cdot \pi. Dessutom kan det finnas andra restriktioner, som till exempel begränsningar för korta försäljningar eller för att undvika att hålla för många aktier av en enda tillgång på grund av marknadens likviditet.

Under dessa förutsättningar definieras ett nytt acceptabelt mängd ASA_S som består av alla positioner X∈L∞X \in L^\infty som kan hedgas med en strategi ξ∈S\xi \in S, där SS är en delmängd av alla möjliga strategier, och SS är konvex och uppfyller specifika villkor för admissibilitet. Ett riskmått definieras som

ρS(X):=inf⁡{m∈R∣m+X∈AS}.\rho_S(X) := \inf \{m \in \mathbb{R} | m + X \in A_S \}.

Detta riskmått är också konvext, vilket gör det användbart för att analysera risker under begränsade handelsstrategier.

Kopplingen mellan riskmått och arbitragefri marknad
En fundamental aspekt av dessa modeller är kopplingen mellan riskmått och avsaknaden av arbitrage. Om marknaden är arbitragefri, kan riskmåttet ρS\rho_S representeras som

ρS(X)=sup⁡Q∈M1(P)(EQ[−X]−sup⁡ξ∈SEQ[ξ⋅Y]).\rho_S(X) = \sup_{Q \in M_1(P)} \left( E^Q[-X] - \sup_{\xi \in S} E^Q[\xi \cdot Y] \right).

Detta ger en representering av riskmåttet i termer av förväntningar av ekvivalenta riskneutrala mått, samtidigt som vi beaktar strategins restriktioner ξ∈S\xi \in S.

I sammanhanget av marknader med restriktioner på handelsstrategier, blir det viktigt att förstå hur dessa restriktioner påverkar riskmåttens struktur och representation. I den förenklade enperiodsmodellen som behandlas här, kan representeringen av riskmått för S=RdS = \mathbb{R}^d ses som ett specialfall, medan mer komplexa modeller med portföljrestriktioner kan kräva en mer sofistikerad analys.

Viktiga aspekter att beakta för läsaren
Förutom de tekniska detaljerna i riskmåttens definition och representation är det avgörande att förstå vikten av marknadsmodeller som är fri från arbitrage. Arbitragefrihet säkerställer att marknaden inte tillåter riskfria vinster utan investering, vilket gör att riskmåtten förblir relevanta för att analysera verkliga marknader. Vidare är det viktigt att uppmärksamma de restriktioner som kan införas på handelsstrategier, eftersom dessa påverkar både riskmåttens kohärens och hur de kan representeras genom ekvivalenta riskneutrala mått.

Hur Jensen’s olikhet påverkar amerikanska optioner och stoppstrategier

Jensen’s olikhet för betingade förväntningar innebär att E∗[f(Xt+1) | Ft] ≥ f(E∗[Xt+1 | Ft]) = f(Xt). Detta resultat spelar en viktig roll vid analysen av amerikanska optioner, där stoppstrategier och optimal tidpunkt för utnyttjande kan härledas med hjälp av dessa principer.

Ett exempel på detta är den diskonterade utbetalningen av en amerikansk köpoption, Ccall t = (S1t − K)+, där Hcall K + t = (X1 t − S0 ). I en modell där S0t ökar med t, anger ekvationen att E∗[Hcall t+1 | Ft] ≥ Hcall t P∗-a.s. för t = 0, . . . , T − 1. Med andra ord, Hcall är en submartingal, och Snell-kuvans UP∗ för Hcall sammanfaller med värdeprocessen Vt = E∗[(X1 K + − S0 ) F ] T t för motsvarande europeiska köpoption med förfallodatum T. I detta sammanhang gäller också att den unika arbitragefria priset för den amerikanska köpoptionen är lika med priset för den europeiska optionen. Härav följer att den maximala optimala stoppningen i ett sådant scenario sker vid τmax ≡ T, vilket tyder på att en amerikansk köpoption inte ska utnyttjas innan förfallodatumet i en fullständig modell med icke-negativa räntor.

För en amerikansk säljoption Cput t := (K − S1t )+ ser situationen annorlunda ut, eftersom argumentet i (5.24) inte gäller om inte S0 är fallande. Detta kan till exempel inträffa om S0 är en riskfri obligation i en miljö med negativa räntor. Om S0 är ökande och icke-konstant, blir den tidsberoende värdet Wt := S0t E∗(K − S1T )+ typiskt negativt vid en viss tidpunkt t, vilket motsvarar en förmån vid förtida utnyttjande −Wt; se figur 5.3. Därmed är den förtida utnyttjande premium den överskott en ägare av den amerikanska säljoptionen skulle ha över värdet av den europeiska säljoptionen (K − S1T )+.

I sammanhanget av den arbitragefria CRR-modellen kan vi illustrera relationen mellan priset på en säljoption och dess inneboende värde. Med notationen från avsnitt 5.5 kan prisprocessen för den riskfyllda tillgången St = S1t skrivas som St = S0 Λt, där Λt := ∏(1 + Rk) k=1. I detta fall kan de potentiella avkastningarna Rk endast ta två möjliga värden a och b, där −1 < a < b, och marknadsmodellen är arbitragefri om och endast om den riskfria räntan r är sådan att a < r < b. I denna situation är modellen komplett, och den unika ekvivalenta martingalemätningen P∗ kännetecknas av att den gör R1, . . . , RT oberoende med gemensam fördelning P∗[Rk = b r] = p∗ − a = b − a.

Om vi definierar π(x) := supE∗(K − xΛ)+ [ τ ] τ∈T (1 + r)τ som priset för en säljoption Cput som en funktion av x := S0, visar det sig att π(x) är en konvex och avtagande funktion i x. I vissa situationer, som när x K ≥ (1 + a)T, är det trivialt eftersom St = xΛt ≥ K för alla t, vilket innebär att utbetalningen för Cput alltid är noll. I sådana fall är π(x) = 0.

Om x K ≤ (1 + b)T, sker en annan situation där St = xΛt ≤ K för alla t, och där π(x) = sup(E∗ [ K − x τ∈T (1 + r)τ ]). Här motsvarar priset på den amerikanska säljoptionen dess inneboende värde (K − x)+ vid tidpunkten t = 0. Detta innebär att en optimal strategi för ägaren skulle vara att utnyttja optionen omedelbart.

För att förstå den optimala stoppstrategin för ägaren av en amerikansk säljoption, ska man tänka på situationer där optionen är "på pengarna" eller inte för långt utanför pengarna. Om t > 0 är sannolikheten P∗put[Ct > 0] strikt positiv, medan det inneboende värdet (K − x)+ närmar sig noll. I sådana fall är priset π(x) strikt högre än det inneboende värdet, och det är inte optimalt för köparen att utnyttja optionen omedelbart.

Den maximala optimala stoppningen för denna typ av option kan beskrivas som en första exit-tid från den fortsatta regionen Rc eller en första inträde-tid i stoppregionen Rs, vilket motsvarar den minsta optimala stoppningstiden τmin = min{t ≥ 0 | (t, St) ∉ Rc} = min{t ≥ 0 | (t, St) ∈ Rs}.

När man använder en marknadsmodell med två tillgångar och en amerikansk contingent claim, kan det vara användbart att beräkna det optimala stoppstrategin för att maximera E[Hτ] över τ ∈ T. Ett alternativt sätt att maximera detta är genom att använda en nytta-funktion u(x) = √x, vilket skulle innebära att man fokuserar på att maximera E[√Hτ].

Marknadsmodeller som inte är kompletta kräver att vi reducerar problemet till att bestämma det arbitragefria priset för payoffen Hτ, där Hτ behandlas som en diskonterad europeisk claim. Detta kan göras genom att investera vid tidpunkten t i payoffen S0t H̃t och sedan beräkna det diskonterade terminalvärdet för denna investering.

Hur kan järnvägsruttoptimering hantera geologiska risker och miljöpåverkan?
Hur man representerar preferensrelationer numeriskt
Hur syrgasvakansers inverkan på fotokatalytisk uranreduktion kan förbättra effektiviteten hos WO3-baserade material
Hur uppdateras och förbättras modeller i online dolda Markovmodeller (OHMM) med sparsamma data?
Hur fungerar korrosionsinhibitorer och deras roll i olje- och gasindustrin?