Deutsch
Francais
Nederlands
Svenska
Norsk
Dansk
Suomi
Espanol
Italiano
Portugues
Magyar
Polski
Cestina
Русский
I studiet av finansmarknader och hedgingstrategier är begreppet martingalmått centralt för att förstå hur man kan prissätta och minska risker på bästa sätt. Ett av de mest intressanta objekten i denna kontext är det så kallade minimal martingalmåttet (MM), vilket kan definieras och karaktäriseras genom specifika förhållanden mellan olika stochastiska processer. Denna diskussion grundar sig på teorem och resultat som binder samman koncept som Doob-dekomposition och stochastiska integraler, vilka alla är viktiga i förståelsen av finansiella modeller.
Låt oss börja med att betrakta ett martingalmått P̂ som är ekvivalent med ett givet sannolikhetsmått P. Om P̂:s densitet dP̂/dP är kvadratintegrerbar, och om ett specifikt P-martingal Λ kan representeras som en stochastisk integral med avseende på en annan P-martingal Y, då är P̂ ett minimal martingalmått. Denna representation ges i följande form:
För att säkerställa att denna representation är giltig, måste vi visa att den process som erhålls är kvadratintegrerbar och att varje martingal som är starkt ortogonal till X är ett P̂-martingal. Detta kan bevisas genom att använda de tekniker som härleds från Doob-dekomposition och stopping-tider. Ett viktigt resultat här är att om en sådan martingal är starkt ortogonal till X, så är det också en P̂-martingal.
För att förtydliga, vi introducerar en stoppningstid τn som definieras som:
När vi stoppar martingalen Λ vid denna tidpunkt, får vi en kvadratintegrerbar process, och det är möjligt att visa att denna stoppade process uppfyller martingalens egenskaper även när n går mot oändligheten. Det resulterande måttet P̂ är då ett minimal martingalmått, vilket innebär att det inte finns något annat ekvivalent mått som har mindre ”hedge-fel” under samma villkor.
En annan intressant aspekt som framkommer är att ett minimal martingalmått är unikt, vilket innebär att om två sådana mått P̂ och P̂' existerar, så måste deras densiteter vara lika. Detta följer av att varje skillnad mellan två martingalar som är starkt ortogonala till Y måste kunna representeras som en stochastisk integral med avseende på Y, vilket i sin tur leder till att de två densiteterna måste vara lika.
I dimensionen d = 1, kan vi formulera vissa villkor som måste vara uppfyllda för att ett minimal martingalmått ska existera. Det är exempelvis nödvändigt att den förutsagda processen λ som förekommer i representationen (10.17) måste ha en särskild form, och att vissa villkor på variansen av de diskreta inkrementen av X måste vara uppfyllda för att dessa ska vara kompatibla med den kvadratintegrerbara strukturen av de associerade martingalarna.
Slutligen, i en modell med en enda riskabel tillgång, där specifika villkor på mean-variance trade-off är uppfyllda, kan vi bevisa att det finns ett unikt minimal martingalmått. Här spelar processerna λ och Y en viktig roll, och genom att använda vissa kvadratintegrerbarhetskrav på dessa processer kan vi försäkra oss om att det finns ett minimal martingalmått som uppfyller alla nödvändiga kriterier för att minimera hedgingfelet.
Det är viktigt att förstå att begreppet minimal martingalmått inte bara handlar om att hitta ett mått som är ekvivalent med det ursprungliga måttet, utan också om att säkerställa att det hedgingfel som uppstår är minimalt. Det innebär att vi måste ta hänsyn till alla möjliga stochastiska processer som kan påverka vår strategi och optimera dessa för att uppnå ett minimalt riskmått.
Vad kännetecknar en ekvivalent martingalmått och hur det påverkar marknader utan arbitrag?
I finansiell teori, särskilt när det gäller modellering av marknader och prissättning av derivat, spelar martingalmått en central roll. Ett martingalmått är ett sannolikhetsmått som säkerställer att diskonterade priser för tillgångar är martingaler, vilket innebär att de inte kan utnyttjas för att skapa arbitragevinster. Att förstå dessa mått och deras egenskaper är avgörande för att korrekt modellera och analysera marknader.
När vi studerar ett marknadsmodellsystem där olika tillgångar prissätts under en viss sannolikhetsfördelning, kan vi använda ekvivalenta martingalmått för att säkerställa att det inte finns några möjligheter till arbitrage. Ett ekvivalent martingalmått är ett mått som är "lika" med det ursprungliga sannolikhetsmåttet, men som samtidigt gör att de diskonterade tillgångarna blir martingaler. Detta är grundläggande för att undvika arbitrage, det vill säga möjligheten att skapa risktfria vinster genom att utnyttja marknadens prissättning.
Antag att vi har två martingalmått P1 och P2 som är ekvivalenta med ett referensmått P∗. Enligt teorin kan dessa mått inte vara olika från P∗, vilket innebär att P1 = P2 = P∗ och därmed även Q1 = Q2 = P∗. Det visar att det inte kan finnas mer än ett ekvivalent martingalmått, vilket är en grundläggande egenskap i marknader utan arbitrag. Om ett mått P̂ är annorlunda än P∗, kan vi visa att det finns ett konstant c > 0 som begränsar densiteten dP̂/dP∗. Om densiteten kan göras större än 1/c, leder det till en motsägelse eftersom det skulle finnas ett annat martingalmått, vilket strider mot hypotesen om att P∗ är unikt.
För att bevisa existensen av ett sådant mått P̂ kan vi utvidga marknadsmodellen genom att lägga till en extra tillgång som ger oss ett nytt mått som också kan vara ekvivalent. Detta tillvägagångssätt är centralt för att säkerställa att inga arbitragemöjligheter existerar när vi använder den utvidgade modellen. Teorem 5.16 säger att det finns ett ekvivalent martingalmått P̂ där densiteten dP̂/dP∗ är begränsad, vilket bekräftar att P∗ är det enda ekvivalenta martingalmåttet i det ursprungliga systemet.
Ett exempel på detta kan ses när man överväger ett finansiellt system där man har en uppsättning tillgångar och ett referensmått P∗. Genom att definiera olika tillgångar i systemet och införa nya sannolikhetsmått kan man skapa en situation där den ursprungliga modellen förblir arbitragfri och martingalmåttet P∗ är unikt. Det viktiga här är att varje ekvivalent martingalmått som introduceras inte ska tillåta arbitrage, vilket kan åstadkommas genom att använda principen för martingalrepresentation.
I binomialmodellen, som är ett typiskt exempel på en fullständig marknad med två tillgångar, visar Theorem 5.39 att marknaden är arbitragfri om och endast om de parametrar som beskriver marknaden är sådana att a < r < b. Här är r den riskfria räntan, medan a och b representerar de möjliga avkastningarna på en riskfylld tillgång. Om dessa villkor uppfylls, kan det unika martingalmåttet P∗ härledas, och alla tillgångar i modellen kommer att följa en martingalprocess.
Det är också viktigt att förstå att ett martingalmått inte bara är en matematisk konstruktion utan har praktiska tillämpningar inom finans, särskilt vid prissättning av derivat och andra kontingenta tillgångar. Genom att använda martingalrepresentationer kan man finna priser och strategier för dessa tillgångar utan att behöva oroa sig för arbitrage, eftersom alla prisfluktuationer som beskrivs av martingalmåttet är förenliga med marknadens informationsstruktur.
För att gå vidare från en grundläggande förståelse av martingalmått är det också relevant att tänka på begrepp som fullständighet i marknaden. I en fullständig marknad kan varje kontingent krav replikerad av en lämplig strategi. I en ofullständig marknad, å andra sidan, kan vissa krav inte replikeras av några tillgångar, vilket innebär att dessa krav inte kan prissättas på ett arbitragefritt sätt. Denna skillnad mellan fullständiga och ofullständiga marknader är viktig när man utvecklar och tillämpar modeller för finansiella marknader.
För den som är intresserad av att fördjupa sig ytterligare i dessa ämnen, är det också avgörande att förstå de olika sätt på vilka marknadsmodeller kan utvidgas för att inkludera externa tillstånd eller extra information. När modellerna utvidgas kan nya martingalmått uppstå, men det är alltid viktigt att kontrollera om dessa nya mått faktiskt är ekvivalenta med det ursprungliga måttet för att säkerställa att marknaden förblir arbitragefri.