Deutsch
Francais
Nederlands
Svenska
Norsk
Dansk
Suomi
Espanol
Italiano
Portugues
Magyar
Polski
Cestina
Русский
För att omvandla Lagrange-ekvationer till Hamilton-ekvationer används generella momenta definierade som ∂pi = L / ∂q̇i, där L är Lagrange-funktionen. Dessa momenta representerar Legendre-transformationer av Lagrange-funktionen. Om determinantvärdet för Hessian-matrisen av L med avseende på q̇i inte är noll, det vill säga om den inre matrismultiplikationen inte förlorar sin invers, så är transformationen icke-singulär och inversibel. Den omvända Legendre-transformationen kan därmed också definieras och det skapas en ny genererande funktion som relaterar de ursprungliga variablerna till de nya.
Enligt den omvända Legendre-transformationen ges systemets utveckling genom Hamilton-ekvationerna som beskriver en kanonisk dynamik där de ursprungliga koordinaterna qi och pi (med i = 1, 2, ..., n) är de oberoende variablerna. När dessa ekvationer skrivs om, får vi uttrycket för Hamiltonianen H(q, p, t) som styr utvecklingen av systemet. Vidare kan den symplektiska strukturen för det Hamiltonianska systemet beskrivas med hjälp av en tvådimensionell kanonisk vektor.
Det är också av vikt att förstå att Hamiltonianen H är ett mått på systemets totala energi och att systemets fysiska beteende kan beskrivas som en bana i den kanoniska fasrummet. Detta fasrum är ett n-dimensionellt rum definierat av både koordinater och momenta, där systemets utveckling kan ses som en geometri av systemets tillstånd över tid.
I det Hamiltonianska systemet är den symplektiska matrisen J en central komponent. Den har särskilda egenskaper, som att den är antisymmetrisk och har en determinant på 1, vilket säkerställer att systemets volym i fasrummet bevaras över tid, ett resultat som är grundläggande för Liouville-teoremet. Detta innebär att volymen i fasrummet inte förändras under utvecklingen av systemet, vilket får långtgående konsekvenser för systemets långsiktiga dynamik.
När det gäller exempel på icke-linjära Hamiltonianska system kan ett pendelsystem med en svängande massa vara en typisk illustration. För detta system ges både den kinetiska och potentiella energin av funktioner som innehåller både koordinater och deras tidsderivator. Genom att applicera Lagrange-ekvationen får vi ett set av rörelseekvationer som beskriver pendelns och massans rörelse.
För att konvertera detta system till Hamiltonianskt form, definieras de generaliserade momenta och den inversa Legendre-transformationen tillämpas för att uttrycka systemet i termer av p1 och p2. Det resulterande Hamiltonian-systemet, som beskriver ett icke-linjärt system, kan sedan analyseras vidare genom de Hamiltonianska ekvationerna.
Vidare kan Poisson-hakar användas för att studera systemets symmetrier och bevara kvantiteter, vilket gör det möjligt att formulera och lösa problem relaterade till bevarande av rörelsemängd, energi och andra dynamiska storheter. Poisson-hakarna är viktiga verktyg för att förstå de fundamentala relationerna mellan olika dynamiska kvantiteter inom ett Hamiltonianskt system. De har flera viktiga egenskaper, inklusive antisymmetri, bi-linearitet och den så kallade Leibnitz-regeln.
För att förstå faser och förändringar i ett Hamiltonianskt system är det också avgörande att studera systemets fasflöde. Faserna i ett system kan vara olika beroende på systemets parametrar och kan innefatta stabila punkter, sadelpunkter eller slutna banor. Detta flöde beskrivs genom den så kallade Liouville-teoremet som säkerställer att fasflödet är inkompressibelt, vilket innebär att systemets "volym" i fasrummet inte förändras under tiden.
För att förstå de kanoniska transformationerna är det viktigt att betona deras betydelse i bevarandet av systemets dynamiska struktur. Dessa transformationer, som bevarar systemets symplektiska egenskaper, gör det möjligt att förändra koordinaterna utan att ändra de grundläggande dynamiska lagarna för systemet.
För att till fullo förstå Hamiltonianska system och deras dynamik är det därför nödvändigt att kombinera den teoretiska formuleringen med konkreta exempel och tillämpningar. Det är också av stor vikt att förstå den matematiska strukturen som styr dessa system och hur dessa strukturer är kopplade till systemets fysiska beteende. Det kan till exempel vara intressant att studera hur systemet förändras under olika initiala förhållanden, eller hur man kan använda symmetrier och bevarandekvantiteter för att förenkla analysen och lösningen av systemets rörelse.
Hur påverkar visko-elastiska krafter och genetiska effekter materialbeteende?
När vi studerar materialbeteende under externa belastningar är det centralt att förstå hur olika krafter påverkar materialets respons. För att beskriva detta används ofta modeller för visko-elastiska material och hysteretiska krafter, som i kombination kan ge en djupare förståelse för hur material svarar över tid.
I teorin om visko-elastiska material, där både elastiska och viskösa egenskaper förekommer, finns fenomen som relaxation och krypning. Relaxation innebär en minskning av spänning under konstant deformation, medan krypning innebär en ökning av deformation under konstant spänning. Dessa beteenden illustreras schematiskt i figurerna 3.14 och 3.15, där relaxation och krypning är avgörande för att förstå materialets respons på belastning.
Vid analysen av visko-elastiska material är en nyckelfråga hur man ska beskriva materialens konstitutiva lagar, det vill säga sambandet mellan stress och deformation. För linjära elastiska material beskrivs detta som σ = Eε, där σ är spänningen och ε är deformationen, med E som elastisitetsmodulen. För Newtonska vätskor beskrivs detta istället som σ = ηε̇, där η är viskositeten och ε̇ är hastigheten på deformationen. För visko-elastiska material är dock konstitutiva lagar mer komplexa, och en allmän form kan skrivas som σ = f(ε, t), där t är tiden.
För att beskriva stress-strain-relationen för visko-elastiska material, särskilt med fenomen som relaxation och krypning, kan vi använda funktioner som relaxationmodul G(t) och krypkomplians J(t). Relaxationmodulen G(t) är en monotoniskt avtagande funktion och beskriver hur stressen minskar under konstant strain. Krypkompliansen J(t) är däremot en monotoniskt ökande funktion som beskriver hur strain ökar under konstant stress. För att kunna förutsäga materialets beteende måste dessa funktioner vara noggrant relaterade till varandra och specificerade genom olika teoretiska modeller.
En av de mest använda modellerna för visko-elastiska material är komponentmodellen, där elastiska och viskösa komponenter kombineras på olika sätt. Några vanliga komponentmodeller är Kelvin-Voigt-modellen, Maxwell-modellen och Burgers-modellen. Dessa modeller förenklar beskrivningen av visko-elastiska material genom att kombinera elastiska och viskösa element i serier eller parallellt, även om de inte nödvändigtvis representerar den verkliga strukturen hos det visko-elastiska materialet. Modellerna används för att förutsäga stress-strain-relationer baserat på materialparametrar och deras tidsberoende egenskaper.
Den allmänna formen för de differentiala visko-elastiska konstitutiva lagarna kan uttryckas som:
Denna form kan lösas direkt i tidsdomänen, men en mer enkel metod är att använda Laplacetransform för att hantera problemet i s-domänen, vilket förenklar beräkningarna och gör det möjligt att härleda funktioner som G(t) och J(t) för olika materialmodeller.
För att beskriva hur visko-elastiska material beter sig under olika belastningar, är det också viktigt att förstå att de grundläggande egenskaperna hos materialet (som elasticitetsmodulen och viskositeten) kan variera över tid och med förändrade externa förhållanden. Den komplexa naturen hos dessa material gör att de kräver noggrann modellering för att korrekt kunna förutsäga deras respons under praktiska förhållanden. Dessa modeller ger ett matematiskt ramverk för att förstå och förutsäga beteenden som inte kan förklaras av enklare, linjära teorier, särskilt vid högre belastningar eller långvariga påfrestningar.
Det är också av vikt att notera att medan modeller som Kelvin-Voigt och Maxwell är användbara för att beskriva visko-elastiska egenskaper i många praktiska fall, är det ofta nödvändigt att använda mer komplexa modeller som Burgers-modellen eller andra hybrider för att fånga mer komplexa materialbeteenden. Det krävs även empiriska data för att validera dessa modeller och säkerställa att de verkligen återspeglar det fysiska materialbeteendet under realistiska förhållanden.
Hur fungerar stokastisk medelvärdesbildning för system med en frihetsgrad?
Stokastisk medelvärdesbildning är en metod som utvecklats för att förenkla analysen av icke-linjära stokastiska dynamiska system genom att approximera komplexa, bredbandsstödda stokastiska processer med idealiserad vit brusprocess. Vit brus, som kännetecknas av oändlig energi och en korrelationsfunktion i form av en deltafunktion, är en matematisk idealisering som sällan uppfylls i verkliga system. Därför används metoden för att under vissa villkor reducera ett system med bredbandsstimulans till ett som kan analyseras som om det vore drabbat av vit brus, vilket gör att lösningarna kan approximeras via markovska diffusionsprocesser.
En av de centrala fördelarna med stokastisk medelvärdesbildning är dimensionell reduktion av systemet, vilket sker genom att utnyttja skillnader i tidskalor mellan snabba och långsamma responsprocesser. Genom tidsmedelvärdesbildning elimineras de snabbt varierande processerna medan de långsamt varierande komponenterna bevaras, vilket förenklar systemets dynamik. Dock är ren tidsmedelvärdesbildning svår att genomföra på stokastiska system eftersom deras svar förändras slumpmässigt. Ett praktiskt tillvägagångssätt är att ersätta tidsmedelvärdet med rumsmedelvärde baserat på ergodicitet i systemets respons över vissa manifold.
Den stokastiska medelvärdesbildningens teoretiska grund lades av Stratonovich (1963), med viktiga bidrag av Khasminskii (1966) som formulerade en limitteorem för processen. Kortfattat innebär detta att om de stokastiska excitationerna är bredbandsprocesser med nollmedelvärde och systemets funktioner är tillräckligt jämna och begränsade, konvergerar systemets respons till en markovsk diffusionsprocess styrd av Itô-differentialekvationer där driftsvektorn och diffusionsmatrisen kan bestämmas genom ensemble- och tidsmedelvärdesberäkningar.
En kritisk aspekt är att excitationsprocesserna måste ha kort korrelationstid, det vill säga vara bredbandsprocesser så nära vita brus som möjligt. Ju kortare korrelationstid, desto bättre approximation av vit brus, och därmed desto mer giltig blir metoden. En annan viktig förutsättning är att systemets respons är långsamt varierande, vilket möjliggör separation av tids- eller rumsmedelvärdesbildning från de snabbt varierande komponenterna.
I praktiken kan denna metod tillämpas på system med linjära eller starkt icke-linjära återställande krafter, viskoelastiska system och system med dubbelbrunnspotential. Den är också användbar för system utsatta för kombinationer av harmoniska och stokastiska excitationer, liksom för processer styrda av Poisson-brus eller fraktionellt Gaussiskt brus. Stokastisk medelvärdesbildning erbjuder därigenom en flexibel ram för att hantera komplexa stokastiska dynamiska problem genom att reducera och approximera dess kärndynamik.
Viktigt att förstå är att approximationen bygger på att stokastiska processer i verkligheten aldrig är perfekta vita brus, utan snarare bredbandsprocesser med ändlig korrelationstid. Den teoretiska modellen syftar till att utnyttja dessa egenskaper för att möjliggöra användbara och praktiskt hanterbara lösningar. Det innebär att när man tillämpar metoden måste man noggrant bedöma hur väl systemets excitationer kan anses uppfylla dessa krav och vilka förenklingar som blir rimliga utan att tappa relevans. Dessutom är förståelsen för de olika tids- och rumsskalorna i systemets respons avgörande för att korrekt kunna tillämpa metoden och tolka dess resultat.