För att uppnå den önskade identifieringen av B̂∗ och B̂(u, u) är det nödvändigt att förbättra konvergensen av uN till u. Detta åstadkommes genom att införa en lämplig familj av stoppningstider τM. Detta är den huvudsakliga nyheten som introducerades i [4] och utgör den avgörande resultatet för att bevisa välbestämdheten, som visas i [28, Lemma 28].

Lemman 5.2 definierar τM som inf{t ∈ [0, T] : ‖u(t)‖V + ‖u(t)‖∗ ≥ M} ∧ T, och det följer att uN − u konvergerar till 0 i L2(Ω, F, P; L2(0, T; V)), vilket möjliggör att vi för varje t ∈ [0, T] får en snabbare konvergens:

‖u(τM∧t)−uN(τM∧t)‖2V→0.‖u(τM ∧ t) − uN(τM ∧ t)‖2V → 0.

Denna förbättrade konvergens gör det möjligt att identifiera B̂∗ och B̂(u, u). Eftersom vi redan vet att B̂(uN, uN) ⇀ B̂∗ i L2(Ω, F, P; L2(0, T; W∗)) är det tillräckligt att visa att B̂(uN, uN) ⇀ B̂(u, u) i L2(Ω, F, P; L2(0, T; W∗)).

När vi undersöker termer som involverar B̂(uN, u − uN), φ∈ L∞(Ω, F, P; L∞(0, T; W)), och kombinerar den klassiska Schmalfuss-tricket, som innebär att betrakta två lösningar u1, u2 och tillämpa Itô-formeln, får vi också en förståelse för att lösningarna till ekvation (5.3) är unika. Kombinationen av dessa resultat leder till att hela Galerkin-sekvensen uppfyller:

lim⁡N→+∞E‖uN(t)−u(t)‖2V=0 ∀t∈[0,T].\lim_{N→+∞} E‖uN(t) − u(t)‖2V = 0 \, \forall t ∈ [0, T].

Detta leder oss vidare till frågan om den inviscid limit. Här är det avgörande att förstå att konvergensen av lösningarna i de stokastiska ramarna också garanterar att vi kan hantera övergången från viskösa vätskor till idealiska vätskor, där den osynliga dämpningen och transportbrus spelar en viktig roll.

Behandling av Inviscid Limit

När vi hanterar den inviscida gränsen är en lämplig skalning av Eq. (5.3) avgörande. Vi får då uttrycket:

dvα=(νuα−curl(vα)×uα+∇pα)dt+√Kνk=1(σk⋅∇uα+∇p~k)◦dWk.dvα = (ν uα − curl(vα) × uα + ∇pα)dt + √ K ν k=1(σk · ∇uα + ∇p̃k) ◦ dWk.

I detta fall skriver vi om ekvationen som:

d(uα−α2Auα)=(νAuα−P(curl(vα)×uα))dt+√Kνk=1P(σk⋅∇uα)dWk.d(uα − α2 Auα) = (ν Auα − P(curl(vα) × uα)) dt + √ K ν k=1 P(σk · ∇uα) dWk.

För att förstå hur lösningen till Eq. (5.10) konvergerar till lösningen av Euler-ekvationerna (5.11) när ν, α → 0, är det viktigt att uppmärksamma att för de höga frekvenserna är v ≈ −α2 u, vilket gör att ekvationen närmar sig en ideal vätska med ingen yttre kraftverkan.

Existerande och Unika Lösningar i Inviscid Limit

För att lösa den inviscida gränsen och bevisa existensen av en stark lösning till Euler-ekvationerna, visar vi att:

limα→0Esup⁡‖uα(t)−uˉ(t)‖2=0.lim_{α→0} E \sup ‖uα(t) − ū(t)‖2 = 0.

Detta gäller för varje t ∈ [0, T], vilket innebär att lösningen till den viskösa modellen konvergerar till lösningen till den inviscida modellen under de angivna förutsättningarna. Det är också viktigt att förstå att lösningarna av den andra ordningens vätskor uppfyller samma egenskaper även för positiva tider, och därmed bekräftas att vi verkligen har en inviscid gräns.

Stokastiska Processer och Deras Betydelse

Slutligen är det värt att notera att de stokastiska processerna och deras interaktion med transportbruset i dessa ekvationer spelar en avgörande roll för lösningarna. Som påpekas i Remark 5.5, där ν = O(α2), innebär detta att dämpningen av höga frekvenser fungerar på ett sätt som gör att ekvationen förblir stabil även när α går mot noll. Detta ger oss en bättre förståelse för hur den inviscida gränsen kan hanteras i stokastiska system och säkerställer att lösningarna förblir välbetecknade när vi går över till den idealiserade modellen.

Hur Fourier-serier definierar stokastiska processer i Euler-ekvationer

I det här avsnittet behandlas ett sätt att uttrycka stokastisk dynamik i samband med Euler-ekvationer genom användning av Fourier-serier. Låt oss undersöka de matematiska antagandena och deras konsekvenser för den stokastiska processen WtW_t, som är en kombination av Fourier-komponenter av olika skalor och riktningar.

För att beskriva processen WtW_t introduceras en familj av koefficienter θ={θk:k∈2Z0}\theta = \{ \theta_k : k \in 2 \mathbb{Z}_0 \}, som definierar bruskomponenterna i form av en Fourier-serie:

Wt(x):=2∑k∈2Z0θkσk(x)WktW_t(x) := \sqrt{2} \sum_{k \in 2 \mathbb{Z}_0} \theta_k \sigma_k(x) W_k t

Denna serie representerar bruset i termer av funktioner σk(x)\sigma_k(x) som är associerade med varje Fourier-komponent kk. Här är WktW_k t en stokastisk process, och σk(x)\sigma_k(x) är en form av funktionella basiser, t.ex. trigonometriska funktioner, som är vanliga i Fourier-analys.

Antagandet som görs om koefficienterna θk\theta_k är centralt för att säkerställa att den resulterande processen är väldefinierad och har önskade egenskaper. Specifikt krävs att ∥θ∥22=∑kθk2=1\|\theta\|^2_2 = \sum_k \theta_k^2 = 1, vilket innebär en normalisering av koefficienterna. Dessutom antas att θk=θj\theta_k = \theta_j när ∣k∣=∣j∣|k| = |j|, vilket garanterar symmetri i bruset.

En viktig konsekvens av dessa antaganden är att WtW_t definieras som en HH-värderad stokastisk process, där HH är en lämplig Hilbert-rumstruktur. Detta är avgörande för att kunna utföra kommande beräkningar och analys.

Formeln för kovariansen QQ associerad med processen WW är given av:

Q(x−y)=4∑kθk2σk(x)⊗σ−k(y)Q(x - y) = 4 \sum_{k} \theta_k^2 \sigma_k(x) \otimes \sigma_{ -k}(y)

Denna formel ger oss en explicit uttryck för kovariansen mellan olika punkter i rummet, vilket gör det möjligt att förstå hur olika delar av processen är korrelerade. Kovariansen Q(0)Q(0), beräknad vid x=yx = y, ger ytterligare information om den "globala" strukturen av bruset.

Genom att använda Fourier-serier och antagandena om θk\theta_k, är det möjligt att visa att den stokastiska processen WtW_t har en specifik struktur som är både isotrop och homogen. Detta innebär att den inte påverkas av translationer eller rotationer i rummet, vilket är en viktig egenskap för att säkerställa fysikaliskt realistiska modeller, särskilt i sammanhang som involverar fluiddynamik.

För att fortsätta behandlingen av Euler-ekvationerna med stokastiska termer, är det nödvändigt att använda Itô-kalkyl för att hantera stokastiska integraler av formen:

Mt:=⟨fs,dWs⟩M_t := \langle \sqrt{f_s}, dW_s \rangle

där fsf_s är en förutsägbar process. Genom att använda summabilitetsantaganden om koefficienterna θk\theta_k och de funktionella systemen σk\sigma_k, kan man visa att integralen definieras och att processen MtM_t är en martingal. Detta gör att vi kan analysera de stokastiska termerna i Euler-ekvationerna och härleda en Itô-formulering av de ursprungliga ekvationerna.

Stokastiska Euler-ekvationer kan formuleras som:

dωt+(K∗ωt)⋅∇ωt dt+∇ωt⋅dW=Rωt dtd \omega_t + (K * \omega_t) \cdot \nabla \omega_t \, dt + \nabla \omega_t \cdot dW = \mathcal{R} \omega_t \, dt

där KK är Biot–Savart-kärnan och R\mathcal{R} är den stokastiska termens korrektor. Detta system är en stochastisk variant av de klassiska Euler-ekvationerna, som beskriver hur en vätskas rörelse påverkas av externa stokastiska krafter.

För att definiera svaga lösningar av detta system, säger vi att ωt\omega_t är en svag lösning om det uppfyller en viss integralegenskap, där ωt\omega_t är en L2L^2-värderad process med förutsägbara, svagt kontinuerliga banor. Detta ger oss ett ramverk för att studera lösningar i ett svagt analytiskt sammanhang, där det är enklare att hantera de stokastiska termerna.

Vidare, om ωt\omega_t är svagt kontinuerlig, garanterar Banach–Steinhaus teorem att de relevanta normerna är begränsade, vilket säkerställer att processen inte växer okontrollerat. Detta är en viktig egenskap i många tillämpningar inom fluiddynamik och stokastisk analys, eftersom det gör det möjligt att hantera lösningar på ett systematiskt sätt.

Sammanfattningsvis ger användningen av Fourier-serier och Itô-kalkyl en kraftfull metod för att studera stokastiska effekter i Euler-ekvationer, och genom att definiera svaga lösningar kan vi arbeta med stokastiska system i en bredare analytisk kontext. Denna metod är särskilt användbar när man hanterar system där klassiska lösningar inte är lämpliga, exempelvis i turbulensmodeller och andra stokastiska fluiddynamiska processer.

Hur förändrade politiska influenser OMB:s roll från neutral kompetens till politiskt ansvarstagande?
Hur kan Kroneckerprodukten och tensorprodukten tillämpas i matrisberäkningar och fysik?
Hur påverkar 2D-halvledarmaterial logiken i framtidens enheter?
Hur kommer prediktiv modellering att förändra halvledartillverkning?
Hur den praktiska realiseringen av meteren definieras och tillämpas inom dimensionell metrologi