Hur kan kvantilhedging användas för att maximera sannolikheten för framgång vid begränsat kapital?

Kvantilhedging är en metod för att hantera risken i en finansiell strategi när det inte är möjligt att helt eliminera riskerna med en traditionell hedging-strategi. Denna teknik bygger på att hitta en strategi som maximerar sannolikheten för att en viss risk inte överskrids, givet ett initialt kapital som är begränsat. I den här modellen är målet att skapa en självfinansierad handelsstrategi där värdeprocessen maximerar sannolikheten P[VT ≥ H] för att uppnå ett specifikt resultat, med ett givet initialt kapital.

Antag att vi har en diskonterad europeisk fordran H i en marknadsmodell utan arbitrage, där sannolikheten att H = 0 inte är lika med 1 och den översta suprema värderingen av H, πsup(H), är ändlig. I sådana fall, som visades i Korollarium 7.15, finns det en självfinansierad handelsstrategi vars värdeprocess VT uppfyller VT ≥ H nästan säkert. Genom att använda en sådan superhedging-strategi kan säljaren av H täcka nästan alla möjliga förpliktelser som kan uppstå från försäljningen av H, och därigenom eliminera risken helt. Den minsta mängd kapital som krävs för att genomföra en sådan strategi kallas πsup(H), men denna summa kan vara för hög i praktiken, som illustrerat i Exempel 7.21.

I de fall där den initiala kostnaden är för hög för att vara genomförbar eller där en fullständig eliminering av risken skulle konsumera hela intäkterna från försäljningen, måste vi överväga alternativa strategier. Om säljaren inte vill lägga upp den initiala kapitalmängd som krävs för en fullständig superhedge, men ändå vill acceptera en viss risk, uppstår frågan om vad som är den optimala delvis hedgen. För att svara på denna fråga måste vi definiera ett kriterium för säljarens risktolerans. I denna sektion syftar vi på att konstruera en strategi som maximerar sannolikheten för en lyckad hedge, givet en viss begränsning i det initiala kapitalet.

För att precisera frågan, låt oss anta att det initiala kapitalet υ är mindre än πsup(H). Vi söker en självfinansierad handelsstrategi vars värdeprocess maximerar sannolikheten P[VT ≥ H] över alla de strategier vars initiala investering V0 är begränsad till υ och som respekterar restriktionen att Vt ≥ 0 för alla t = 0, 1, ..., T. Med tanke på Teorem 5.25 innebär den andra restriktionen att strategin måste vara admissibel, det vill säga att den måste uppfylla kravet att VT ≥ 0 nästan säkert.

Kvantilhedging innebär att konstruera en admissibel strategi ξ∗ sådan att dess värdeprocess V∗ uppfyller P[V∗ T ≥ H] = max P[VT ≥ H], där maximum tas över alla värdeprocesser V för admissibla strategier under restriktionen V0 ≤ υ. Det bör noteras att denna problemställning inte skulle vara väldefinierad utan restriktionen om admissibilitet. Idén bakom kvantilhedging är att använda ett Value at Risk-kriterium, som fokuserar på sannolikheten för en kortfall, men inte tar hänsyn till storleken på förlusten om en sådan inträffar. Detta kan vara rimligt i de fall där förlust ska undvikas till varje pris, men för de flesta tillämpningar är andra optimeringskriterier oftast mer lämpliga ur ett ekonomiskt perspektiv.

För att lösa detta optimeringsproblem i en komplett marknadsmodell, introducerar vi ett ekvivalent martingalemått P∗. Detta mått definieras som det unika martingalemåttet i en fullständig marknad, och målet är att maximera sannolikheten för att ett specifikt resultat uppfylls under de restriktioner som definieras av P∗.

Enligt Proposition 8.2 finns det en strategi ξ∗ vars replicering av knock-out-optionen H∗ := H ⋅ 1A∗, där A∗ är den uppsättning som maximerar sannolikheten P[A], löser optimeringsproblemet som definieras av P[VT ≥ H]. För att hitta den optimala uppsättningen A∗ används Neyman-Pearson lemma för att maximera sannolikheten för att en uppsättning A inträffar, givet att en viss restriktion på förväntad värdering uppfylls.

I de fall där det inte går att hitta en exakt uppsättning A med den önskade sannolikheten, föreslår Neyman-Pearson-teorin att ersätta indikatorfunktionen för den "kritiska" uppsättningen A∗ med ett slumpmässigt test, vilket resulterar i en optimerad funktion ψ∗ som löser problemet. Detta innebär att den klassiska Neyman-Pearson-metoden för att maximera sannolikheten för ett visst utfall kan tillämpas även när en exakt lösning inte är möjlig.

För att sammanfatta den kvantilhedgingstrategi som vi har beskrivit, innebär det att man söker efter en metod för att hantera risker på ett rationellt sätt när det initiala kapitalet är begränsat, och man inte kan tillåta sig att ta på sig all den risk som skulle krävas för en fullständig hedging. Denna metod bygger på att man maximerar sannolikheten för att uppnå ett önskat resultat, utan att ta hänsyn till storleken på förlusten om målet inte uppnås, vilket kan vara både en fördel och en nackdel beroende på den specifika applikationen.

Hur man minimerar risk för kortfall vid hedging: Teori och tillämpningar

För att minimera risken för kortfall i samband med en hedging-strategi måste vi först förstå den underliggande risken i en investeringsposition som är föremål för osäkerhet. I den aktuella situationen måste en investerare vid tidpunkten T betala ett diskonterat och slumpmässigt belopp H ≥ 0. En fullständig eliminering av motsvarande risk skulle innebära kostnaden πsup(H), som är det maximala beloppet som krävs för att säkra positionen genom en superhedging-strategi. I praktiken är dock investeraren beredd att ta på sig viss risk och därmed begränsa den initiala kapitalinsatsen till ett mindre belopp, υ, där 0 < υ < πsup(H). Det innebär att investeraren accepterar en viss kortfallrisk, vilket kan ge upphov till en icke-trivial förlust, som representeras av (H − V+T).

I den föregående diskussionen fokuserade vi på att minimera sannolikheten för att V_T understiger H, bland de strategier som är admissibla enligt definitionen 8.1, dvs. där slutvärdet V_T är icke-negativt. Nu utvidgar vi perspektivet för att bedöma kortfall i termer av en förlustfunktion ℓ: ℝ → ℝ som är växande och inte identiskt konstant. Vi antar vidare att förlustfunktionen är sådan att ℓ(x) = 0 för x ≤ 0 och att förväntningen E[ ℓ(H) ] är ändlig. Den förlustfunktion som spelar en särskild roll är den konvexa, vilket representerar riskaversion i samband med kortfall. Detta var ett centralt tema i avsnitt 4.11.

Enligt definitionen 8.8 är kortfallrisken för en admissibel strategi, vars värdeprocess är V, given av förväntningen E[ ℓ(H − V_T)^+ ], det vill säga förlusten vägd med förlustfunktionen ℓ. Målet är att minimera denna kortfallrisk över alla admissibla strategier som uppfyller kapitalbegränsningen V_0 ≤ υ. Alternativt kan vi formulera problemet som att minimera kostnaden för en strategi under ett givet gränsvärde för kortfallrisken. Detta leder till konstruktionen av effektiva strategier som optimerar avvägningen mellan kostnad och kortfallrisk.

Det är viktigt att förstå att denna strategi inte är begränsad till den specifika förlustfunktionen ℓ(x) = 1(0,∞)(x), som behandlades i avsnitt 8.1. Istället handlar det om att konstruera en strategi som är effektiv i relation till en bredare klass av förlustfunktioner, inklusive konvexa sådana som bättre speglar investerarens riskpreferenser.

I avsnitt 8.9 diskuteras risktagning och riskmått, där ett naturligt sätt att kvantifiera nedåtrisken är att använda en acceptansmängd A för de hedged positioner som är relaterade till kortfallsrisk. Denna acceptansmängd A definieras som alla positioner X för vilka det finns en admissibel strategi ξ med en värdeprocess V, där V_0 = 0 och X + V_T ≥ A nästan säkert för något A ∈ A. Således kan nedåtrisken för en position −H uttryckas genom risken ρ(−H) = inf{m ∈ ℝ | m − H ∈ Ā}.

Förlustfunktionen ℓ används också för att definiera en acceptansmängd baserat på kortfallsrisk, där A := {X ∈ L∞ | E[ ℓ(X−)^ ] ≤ x0}, där x0 är ett givet tröskelvärde. Detta innebär att ρ(−H) är det minsta belopp m, så att det finns en admissibel strategi ξ som uppfyller V_0 = m och som minimerar kortfallrisken under kostnadsbegränsningen V_0 ≤ m. Således reduceras problemet med att kvantifiera nedåtrisken för ett betingad krav till att hitta effektiva hedgingstrategier som minimerar kortfallrisken under givna restriktioner.

Konstruktionen av den optimala hedgingstrategin kan genomföras i två steg. Först löses det "statistiska" problemet att minimera E[ ℓ(H − Y) ] över alla FT-mätbara slumpvariabler Y ≥ 0 som uppfyller den givna restriktionen sup E∗[ Y ] ≤ υ. Om Y∗ löser detta problem, så löser även Ỹ := H ∧ Y∗ det, vilket innebär att vi kan anta att Y är begränsad av H.

För investeraren innebär det en möjlighet att uppnå en effektiv balans mellan kostnaden för hedging och den risk man är villig att acceptera i form av kortfall, vilket gör strategin både praktisk och teoretiskt solid.

Hur man konstruerar en superhedge-strategi med hjälp av Snell-envelopper

Det är möjligt att alltid modifiera $Z$ så att det är begränsat från nedan av ett visst $\epsilon > 0$ och samtidigt uppfyller (9.22). För att förstå detta, notera först att varje $W \in C S t$ domineras av någon $\xi_t \cdot (X_t - X_{t-1}) \in K S t$ med ett integrerbart negativt parti. Därför gäller att:

där vi har använt Fatous lemma och vår antagande att $P \in PS$. Om vi definierar $Z_\epsilon := \epsilon 1 + (1 - \epsilon)Z$, så uppfyller $Z_\epsilon$ fortfarande $E[Z_\epsilon W] \leq 0$ för alla $W \in C S t$, och för $\epsilon$ tillräckligt liten, kommer även förväntningen $E[Z_\epsilon (U_t - U_{t-1})]$ fortfarande att vara större än $\alpha$. Därför, $Z_\epsilon$ uppfyller även (9.22).

Från och med nu kan vi alltså anta att vårt $Z$ med (9.22) är begränsat från nedan med någon konstant $\epsilon > 0$. För nästa steg, låt $Z_{t-1} := E[Z | F_{t-1}]$ och definiera $\frac{dQ Z}{dP} := Z_{t-1}$. För $s = 1, \dots, T$, anta att $Y_s \geq 0$ är $F_s$-mätbart. Genom att använda Proposition B.8 kan man visa, som i beviset för Teorem 7.5, att:

Eftersom densiteten $Z / Z_{t-1}$ är begränsad och $P \in PS$, får vi i synnerhet att:

Det följer dessutom att:

Nu överväger vi fallet $s = t$. Som vi såg i beviset för Teorem 9.9, är familjen $\{EQ[\xi_t \cdot (X_t - X_{t-1}) | F_{t-1}] | \xi \in S]\}$ riktad uppåt. Därför kan vi dra slutsatsen, som i (9.13), att:

Eftersom $Z_{t-1} \geq \epsilon$, implicerar (9.25) att:

Genom att använda (9.24) kan vi dra slutsatsen att:

Som sista steg visar vi att $U - AQ$ inte kan vara en $Q$-supermartingal, vilket leder till en motsägelse med vår hypotes (a). För detta ändamål använder vi återigen (9.25):

Således kan vi inte ha att $EQ[U_t - U_{t-1} | F_{t-1}] \leq AQ_t - AQ_{t-1}$ P-a.s., vilket innebär att $U - AQ$ inte kan vara en $Q$-supermartingal, i motsägelse med vår hypotes (a).

Viktigt att förstå för läsaren:

Vid konstruktionen av en superhedge-strategi för en amerikansk option under restriktioner är det avgörande att förstå begreppen som "supermartingal" och "Snell-envelopper". Dessa verktyg gör det möjligt att säkerställa att den valda hedging-strategin inte bara dominerar den aktuella optionen utan även uppfyller alla nödvändiga villkor för att undvika arbitrage. Det är också viktigt att förstå att även om $Z$ initialt inte är begränsat från nedan, kan det modifieras för att säkerställa att de matematiska förhållandena (som (9.22)) fortfarande hålls. Den matematiska strukturen bakom dessa processer är både sofistikerad och grundläggande för att säkerställa att ingen arbitrage uppstår i modellen.

Hur minimal martingale-mått relaterar till prisprocesser och riskhantering

I den finansiella matematiken är en viktig aspekt av modellering och värdering av finansiella instrument hur risk och osäkerhet kan hanteras genom arbitragefria strategier. En central begrepp i detta sammanhang är martingal-mått och deras användning i utvecklingen av arbitragefria prisprocesser. I det här avsnittet går vi igenom den matematiska strukturen bakom minimal martingale-mått och hur dessa kan tillämpas för att minimera hedgingfel i en modell för finansiella marknader.

För att förstå de tekniska aspekterna måste vi först betrakta hur priset på ett tillgångsinstrument kan representeras under ett givet mått. Låt oss anta att $V_t$ är ett prisflöde, där $V_t = E[ H | F_t ]$ för alla $t = 0, \ldots, T$ representerar den förväntade värderingen av ett instrument $H$ vid tidpunkt $t$, givet den filtrering $F_t$ som sammanfattar den information som är tillgänglig upp till den tiden. Detta uttryck ger oss en möjlighet att tolka $V_t$ som en arbitragefri prisprocess vid tidpunkt $t$.

Men i situationer där den underliggande processens beteende inte är ett martingal under det ursprungliga sannolikhetsmåttet $P$, uppstår frågan om det finns ett ekvivalent martingale-mått P^\hat{}, under vilket $V_t$ fortfarande kan tolkas på samma sätt, det vill säga som en förväntad framtida prisprocess för $H$. Detta leder oss till definitionen av ett minimal martingale-mått.

Enligt definitionen är ett ekvivalent martingale-mått P^\hat{} minimal om alla $P$-martingaler som är starkt ortogonala mot den underliggande tillgångsprocessen också är P^\hat{}-martingaler. Det innebär att ett minimal martingale-mått är ett mått som tillåter oss att representera prisflödet $V_t$ utan att skapa arbitrage eller risker i förväntningarna, vilket gör det till ett effektivt verktyg för riskhantering.

Teoremet som härleds i denna kontext visar att om ett sådant minimal martingale-mått existerar, så kan värdeprocessen $V_t$ för en lokalt risk-minimerande strategi uttryckas exakt som E^\hat{}[ H | F_t ]. Detta ger oss en konkret metod för att beräkna det rättvisa värdet av ett tillgångsinstrument under ett givet ekvivalent martingale-mått.

När man övergår till en annan sannolikhetsmått P^\tilde{}, som är ekvivalent med $P$, påverkar förändringen av måttet även martingalernas egenskaper. En process som är en martingal under $P$ kommer inte nödvändigtvis att vara en martingal under P^\tilde{}, och en anpassad process M^\tilde{} kan beskrivas genom en så kallad Doob-dekomposition, där M^\tilde{} = M + A, där $A$ är en förutsägbar process.

Vidare kan vi härleda att en förändring av måttet kan beskrivas genom en martingale $\Lambda$, där dP^\tilde{} = Z_T dP, och detta ger oss en representation av densitetsprocessen $Z_t$ som en produkt av faktorer baserade på $\Lambda$. Denna representation är användbar för att analysera hur sannolikhetsmåttet förändras över tid och hur det påverkar martingaler under det nya måttet.

För att karakterisera ett martingale-mått under det nya måttet, kan vi använda en Doob-dekomposition för att se hur den förutsägbara processen $B$ förändras. Om $P^\ast$ är ett ekvivalent martingale-mått, måste den förutsägbara processen $B$ i Doob-dekompositionen av $X$ uppfylla ett specifikt relation för att säkerställa att det inte finns någon arbitrage.

Det är också värt att påpeka att när ett ekvivalent martingale-mått finns, ger det oss en stabil metod för att hantera risker i modeller för finansiella marknader, särskilt i relation till hedging-strategier. Genom att minimera hedgingfelet kan vi förbättra effektiviteten i portföljhantering och säkerställa att investeringar är skyddade mot oförutsedda marknadsrörelser.

Vidare är det centralt att förstå att även om minimal martingale-mått ger en väg till att hantera risker genom arbitragefria prisflöden, krävs det ofta en noggrann analys av tillgångsprocessens beteende och relationerna mellan olika martingaler under det förändrade sannolikhetsmåttet. Denna förståelse är grundläggande för att utveckla mer sofistikerade modeller för finansmarknaderna och för att tillämpa dessa tekniker på verkliga problem, där risken för arbitrage och felaktig värdering är hög.