Hur robusta preferenser hanteras under osäkerhet och modelloberoende

Anta att $Y \in C$ kan skrivas som $Y = \alpha Y_1 + (1 - \alpha) Y_2$ för vissa $Y_i \in C_i$ och $\alpha \in [0, 1]$. Då gäller att $\varphi(Y) \leq \varphi(\alpha + (1 - \alpha)Y_2) = \alpha + (1 - \alpha) \varphi(Y_2) \leq 1$, och därmed är mängderna $B$ och $C$ disjunkta. Låt $X$ vara utrustad med supremumnormen $\|Y\| = \sup_{\omega \in \Omega} |Y(\omega)|$. Då innehåller $C_1$, och därmed även $C$, enhetssfären i $X$. Detta innebär att $C$ har ett icke-tomt inre. Därmed kan vi använda separationsargumentet enligt Teorem H.2, vilket ger en icke-noll kontinuerlig linjär funktional $\ell$ på $X$ sådan att $c := \sup \ell(Y) \leq \inf \ell(Z)$ för alla $Y \in C$ och $Z \in B$. Eftersom $C$ innehåller enhetssfären, måste $c$ vara strikt positiv, och utan förlust av allmängiltighet kan vi anta att $c = 1$. Speciellt gäller att $\ell(1) \leq 1$, eftersom $1 \in C$. Å andra sidan är varje konstant $b > 1$ innehållen i $B$, vilket ger $\ell(1) = \lim_{b \downarrow 1} \ell(b) \geq c = 1$. Därmed får vi att $\ell(1) = 1$.

Nu är vi redo att avsluta beviset för den första huvudresultaten i detta avsnitt. Genom att använda Lemma 2.81 och de två propositionerna 2.83 och 2.84 kan vi bevisa att det finns en konvex mängd $Q \subseteq M_{1,f}$ sådan att $U(X) = \min_{Q \in Q} \mathbb{E}_Q[u(X)]$ är en numerisk representation av preferensordningen $\succ$ på $X$. Detta bevisar den första delen av påståendet.

Hur man definierar en självfinansierande handelsstrategi och undviker arbitrage i flertidsmodeller

I en marknadsmodell kan den ekonomiska processen, som beskriver utvecklingen av olika tillgångar över tid, analyseras i termer av så kallade numérairer, eller basvalutor, som gör det möjligt att mäta avkastning och förändringar i tillgångsvärden. En sådan analys är viktig för att förstå självfinansierande handelsstrategier och deras koppling till arbitrage och marknadseffektivitet.

Det finns ett viktigt resultat här: För att en strategi ska vara självfinansierande måste vissa villkor vara uppfyllda. Bland dessa är att värdeprocessen $V_t$ för en självfinansierande strategi kan skrivas som summan av den ursprungliga investeringen och de ackumulerade vinsterna fram till tidpunkt $t$:

Det innebär att en strategi är självfinansierande om och endast om den tillhör ett system där kapitalet förändras genom en kontinuerlig omfördelning av positioner utan behov av extern kapitaltillskott.

En annan viktig aspekt är att en handelsstrategi måste vara förutsägbar (eller adaptiv) för att vara giltig i sådana modeller. Det betyder att den måste kunna baseras på historisk information och anpassas efter marknadsdynamik. Exempelvis, om vi har en tillgång med priser i euro och en annan i amerikanska dollar, kan olika investerare välja olika numérairer beroende på deras geografiska eller ekonomiska kontext. För en europeisk investerare skulle det vara naturligt att välja en eurobaserad tillgång som numéraire, medan en amerikansk investerare kanske skulle välja en dollarbaserad tillgång.

Det är också avgörande att förstå hur marknadens strukturer påverkar möjligheten till arbitrage. Arbitrage refererar till möjligheten att utnyttja prisskillnader mellan olika marknader eller tillgångar för att göra riskfria vinster. En marknadsmodell som inte tillåter arbitrage kallas en "arbitragefri marknad". För att en marknad ska vara arbitragefri måste det inte finnas några möjliga strategier som ger en säker vinst utan risk. Detta kan formuleras genom att säga att det inte existerar någon handelsstrategi där den förväntade vinsten är strikt positiv, vilket innebär att marknaden är effektiv och prissättningen av tillgångarna är korrekt.

För att illustrera detta, betraktas en marknad med två tillgångar där de stochastiska processerna för deras priser är definierade. Om det finns en möjlighet till arbitrage, skulle det finnas en situation där en tillgång kan köpas till ett lägre pris i en marknad och säljas till ett högre pris i en annan, utan att ta på sig någon risk. Detta kan beskrivas genom en enkel inkomstprocess som, om den är positiv med en positiv sannolikhet, ger en arbitrage möjlighet. För att marknaden ska vara arbitragefri måste dessa möjligheter uteslutas.

I en marknadsmodell som inte tillåter arbitrage, skulle man kunna använda en martingal som en teoretisk modell för rättvisa marknader. En martingal är en stochastisk process där den förväntade framtida vinsten är lika med noll givet den nuvarande informationen. Det innebär att om vi vet vad som har hänt fram till nu, kan vi inte förutse om marknaden kommer att gå upp eller ner på ett sätt som ger oss en säker vinst. Detta koncept är centralt för förståelsen av rättvisa marknader och arbitragefria processer.

För att ytterligare förstå dynamiken i dessa modeller och hur man kan bevisa att en marknad inte tillåter arbitrage, krävs ofta en noggrann analys av olika sannolikhetsmått och martingaler. Om vi till exempel har en sannolikhetsmått $Q$, och vi vet att en prisprocess är en martingal under detta mått, innebär det att den förväntade förändringen i tillgångens värde är noll när vi förutsäger det baserat på den aktuella informationen. Detta leder till att vi kan avfärda arbitragemöjligheter och istället utveckla en korrekt prissättningsmekanism.

För att summera: Den grundläggande principen för en självfinansierande strategi i en multi-periods marknadsmodell är att det inte sker några externa kapitalrörelser. Istället finansieras alla förändringar genom omfördelning av innehav baserat på marknadsinformation. För att marknaden ska vara rättvis och effektiv, måste alla arbitrage-möjligheter uteslutas, vilket innebär att prissättning måste vara korrekt och återspegla det information som är tillgänglig för alla investerare.