Den dämpade böjningen hos ett horisontellt krökt brospann under påverkan av rörliga fordon utgör en komplex samverkan mellan vertikal deformation och torsionsrotation. När två sammankopplade testfordon färdas längs ett sådant spann, aktiveras både utböjning i planet och utanför planet, vilket kräver en formulering som beaktar både tvärgående och vridmomentella krafter.

För att matematiskt beskriva utanför-planet-böjningen används en uppsättning kopplade differentialekvationer som tar hänsyn till elastiska och skjuvmodulerna, dämpningskoefficienter samt massfördelning längs balken. Vertikal förskjutning och torsionsvinkel representeras genom respektive modalkoordinater, och dessa är vidare kopplade genom modal superposition.

En viktig förutsättning som förenklar analysen är att fordonens massa är försumbar i förhållande till brospannets massa, vilket möjliggör att den dynamiska återkopplingen från fordonen till själva konstruktionen kan negligeras. I detta fall betraktas endast kontaktkraften och kontaktmomentet från hjulen som externt applicerade laster, vilka modelleras med hjälp av Diracs deltafunktion kombinerad med enhetsstegfunktioner. Dessa tillåter att krafterna placeras temporalt och spatialt exakt i modellen.

Det vertikala utslaget uttrycks som en Fourier-serie, där varje term representerar ett modalbidrag. Torsionsvinkeln är kopplad till samma modalform genom en parameter γₙ som relaterar det vridstyva momentet och böjstyvheten till geometrin och den aktuella moden. Det leder till ett direkt beroende mellan torsion och vertikal rörelse.

Genom att multiplicera de partiella differentialekvationerna med de ortogonala basfunktionerna och integrera över spannets längd, reduceras problemet till ett system av ordinära differentialekvationer för varje mod. Dessa ekvationer inkluderar även korskoppling mellan vertikal- och torsionskomponenterna via modalkopplingskoefficienter. Dämpningen införs explicit genom dämpningsförhållandena ξᵦᵥ och ξᵦ𝜃, vilka relaterar till respektive dämpningskoefficienter och naturliga odämpade frekvenser.

Den totala lösningen består av en homogen del som beskriver systemets fria respons och en partikulär del som beskriver den forcerade responsen orsakad av fordonens passage. Den homogena delen uttrycks med exponential- och trigonometriska termer, där dämpade frekvenser infogas som en funktion av odämpade frekvenser och dämpningsförhållanden. De partikulära lösningarna fås genom att införa drivfrekvensen och lösa det resulterande linjära systemet som innehåller parametrar kopplade till fordonets hastighet, kontaktkrafternas excentricitet samt brospannets geometriska egenskaper.

Av särskild vikt är storheten Sₙ, som definierar förhållandet mellan fordonsrörelse och den aktuella modens egenfrekvens. Den fungerar som en styrparameter för resonansförhållanden och påverkar i hög grad amplituden i den resulterande svängningen. Genom att relatera lösningarna till initialvillkor vid tidpunkten t = 0 kan koefficienterna i den homogena lösningen explicit bestämmas i termer av de partikulära amplituderna. Slutlösningen formuleras därefter som en superposition av varje mod, multiplicerad med sinusformade modfunktioner över spannets längd.

Det är kritiskt att förstå att sambandet mellan vertikala och torsionella svängningar inte bara är geometriskt betingat utan även starkt beroende av materialegenskaper, dämpning och fordonets dynamik. De analytiska uttrycken som erhålls, även om de är slutna, kräver numerisk implementation för praktiska tillämpningar, särskilt vid optimering av dämpningsstrategier och utvärdering av broars livslängd under trafikbelastning.

För att tolka resultaten korrekt bör läsaren även beakta att all modalanalys förutsätter linjäritet i material- och rörelsebeteendet. Vid högre amplituder eller icke-linjära kontaktvillkor

Hur amplifier-väg-bro interaktionen påverkar vibrationsanalys i fordons- och bro-system

I denna sektion redovisas elementen för amplifier-väg-bro-interaktionen som används för att verifiera noggrannheten och tillförlitligheten hos de analytiska lösningarna som tidigare har härledts. Det är viktigt att påpeka att finita elementanalys (FEA) inte är begränsad av de antaganden som oftast görs vid härledning av de analytiska lösningarna, exempelvis antagandet att (mv + ma) ≪ mL.

För att kunna mäta och analysera vibrationerna på ett effektivt sätt, installeras ofta flera förstärkare på testfordonet för att utöka mätkapaciteten. I den aktuella studien används två förstärkare på testfordonet, vilket framgår av figur 6.6. Antingen fordonet eller varje förstärkare är utrustad med en accelerometer för att mäta vertikala vibrationer. Bron modelleras som ett balkelement, där DAFv, self representerar det dynamiska amplifier-fordons-bro systemet.

Fordonet modelleras som en fjädrad massa mv, stödd av ett fjädringssystem (med styvhet kv och dämpningskoefficient cv), och varje förstärkare är kopplad till fordonets kropp (eller axel) via en fjäder-dämpare-enhet. Förstärkare 1 identifieras som en koncentrerad massa ma1, styvhet ka1 och dämpningskoefficient ca1, medan förstärkare 2 har motsvarande parametrar ma2, ka2 och ca2.

Rörelseekvationen för amplifier-väg-bro-interaktionen (VBI-elementet) kan uttryckas på följande sätt:

[[mb]0000mv0000ma10000ma2][u¨yv¨ya1¨ya2¨]+[[cb]cvN−cvN0cvNcv+ca1+ca2−ca2−ca1−cvN−ca1ca100−ca20ca2][u˙yv˙ya1˙ya2˙]+[[kb]kvN−kvN0kvNkv+ka1+ka2−ka2−ka1−kvN−ka1ka100−ka20ka2][uyvya1ya2]=0\begin{bmatrix}
[m_b] & 0 & 0 & 0 \\ 0 & mv & 0 & 0 \\ 0 & 0 & ma1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & ma2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \ddot{u} \\ \ddot{y_v} \\ \ddot{y_{a1}} \\ \ddot{y_{a2}} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} [c_b] & c_v N & -c_v N & 0 \\ c_v N & c_v + ca1 + ca2 & -ca2 & -ca1 \\ -c_v N & -ca1 & ca1 & 0 \\ 0 & -ca2 & 0 & ca2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{u} \\ \dot{y_v} \\ \dot{y_{a1}} \\ \dot{y_{a2}} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} [k_b] & k_v N & -k_v N & 0 \\ k_v N & k_v + ka1 + ka2 & -ka2 & -ka1 \\ -k_v N & -ka1 & ka1 & 0 \\ 0 & -ka2 & 0 & ka2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u \\ y_v \\ y_{a1} \\ y_{a2} \end{bmatrix} = 0

I denna ekvation representerar [mb][m_b], [cb][c_b] och [kb][k_b] mass-, dämpnings- och styvhetsmatriser för balkelementet. yvy_v, ya1y_{a1} och ya2y_{a2} är förskjutningar för fordonet och de två förstärkarna. uu är balkens förskjutning och rcr_c är vägens ojämnheter. Denna ekvation måste kombineras med andra balkelement som är fria från fordonet för att bygga upp de globala VBI-ekvationerna. Responsen för hela VBI-systemet löses med hjälp av Newmark-𝛽-metoden för att uppnå stabilitet och noggrannhet.

För att verifiera de analytiska lösningarna utförs en numerisk simulering av VBI-systemet där ett enda amplifier-element beaktas. De bro-, fordons- och amplifier-egenskaper som används i simuleringen är listade i tabell 6.1. Dessa parametrar är hämtade från tidigare studier och har visat sig vara lämpliga för att testa och verifiera de analytiska lösningarna. Under simuleringen används ett elementlängd på l = 0.5 m och en tidsstegning på Δt = 0.001 s. Frekvenser för bro, fordon och förstärkare beräknas med hjälp av formler (6.7), (6.14), (6.15a) och (6.15b). För att förenkla identifieras de kopplade frekvenserna för amplifier-fordonssystemet som f̃a och f̃v.

De experimentella frekvenserna och de från simuleringen beräknade frekvenserna för de olika systemdelarna (bro, fordon, förstärkare) presenteras i tabell 6.2. Det är också viktigt att alla frekvenser för amplifier-fordonsystemet identifieras i förväg genom vägtester eller provbänktester som inte påverkas av broens egenskaper. Genom detta kan broens egenskaper uppskattas och systemet analyseras vidare.

I simuleringen är vägens ojämnheter rc=0r_c = 0 för att förenkla testet och fokusera på att validera de analytiska lösningarna. De analytiska och numeriska resultaten jämförs både i tids- och frekvensdomänen för att säkerställa systemets noggrannhet.

I den praktiska tillämpningen av VSM är det avgörande att förutse varje systems specifika frekvenser för att kunna genomföra en noggrann analys. Detta innebär att man måste ha en god förståelse för både den dynamiska interaktionen mellan fordon, förstärkare och bro, samt hur externa faktorer som vägförhållanden påverkar vibrationerna.

Vad är information – struktur, referens och normativitet i samspel?
Hur kan solenergi effektivt integreras i gasturbinkraftverk för att öka effektiviteten och minska utsläppen?
Hur arbetare kämpar för att klara av levnadslönen i en växande ekonomi
Hur utvecklingen av kiselkarbid (SiC) påverkar effektiviteten och kostnaden för elektriska system
Hur kan en statlig granskningsmyndighet förbli neutral i en polariserad politisk miljö?