Hur Arbitragelösa Marknadsmodeller Karakteriseras och Deras Struktur

Inom teorin om arbitragetransaktioner i finansiella marknader är det avgörande att förstå de fundamentala begreppen som styr prissättningen av finansiella instrument. Ett av de viktigaste begreppen är arbitragefrihet – att ingen omedelbar vinst kan uppnås utan risk. För att beskriva detta på ett mer konkret sätt, introducerar vi begrepp som riskneutrala sannolikhetsmått och den universella arbitragegränsen.

I ett arbitragefritt marknadsmodeller, där den riskneutrala sannolikheten $P$ styr prissättningen av tillgångar, kan vissa begränsningar uppnås som beskriver gränser för derivatpriser. Dessa gränser är definierade av de så kallade universella arbitragegränserna, vilket innebär att om dessa gränser uppfylls, är modellen fri från arbitrage. Ett exempel på detta visas genom en enkel marknadsmodell med ett riskabelt tillgång $S = S_1$, som följer en Poissonfördelning med parameter 1.

Enligt denna modell är det möjligt att beräkna de så kallade övre och nedre gränserna för derivatpriser, baserat på riskneutrala sannolikhetsmått. Den nedre gränsen i en sådan modell är relaterad till prissättningen av en tillgång baserat på den riskneutrala sannolikheten, medan den övre gränsen definieras genom att analysera en uppsättning av sannolikheter som maximerar derivatpriserna. Båda dessa gränser är uppnåeliga, vilket betyder att det inte finns några arbitragemöjligheter i modellen.

När vi övergår till mer komplexa marknadsmodeller där flera derivat handlas samtidigt, är det viktigt att förstå sambanden mellan prissättningen av olika instrument. Ett exempel är när vi har flera put-optioner med olika lösenpriser. I en sådan situation kan vi visa att priset på en bear put spread – en kombination av två put-optioner med olika lösenpriser – inte kan vara negativt. Vidare, om vi tar ett särskilt fall där en tredje put-option handlas med ett lösenpris mellan de två andra, kan vi härleda att dess pris är en viktad medelvärde av priserna på de två andra optionerna, vilket i sin tur ger oss en insikt om prisstrukturen i marknaden.

För att gå ännu längre i förståelsen av arbitragefrihet och prisstruktur, introduceras begreppet fullständiga marknadsmodeller. En marknadsmodell anses vara fullständig om varje kontingentkrav är uppnåeligt. Med andra ord innebär detta att alla potentiella utfall av marknaden kan representeras av en viss kombination av de tillgångar som redan är handlade. Det är här den andra fundamentala satsen inom tillgångsprissättning kommer in, som säger att en marknadsmodell är fullständig om och endast om det finns exakt ett riskneutralt sannolikhetsmått.

Detta innebär att för att kunna uppnå fullständig täckning av alla möjliga marknadsutvecklingar måste den riskneutrala sannolikheten vara entydig. Detta leder oss vidare till en mycket viktig observation: när en marknad är fullständig, är alla kontingenta krav linjärt oberoende av varandra och kan reduceras till ett ändligt antal möjliga scenarier. Detta ger upphov till en finit struktur som kan beskrivas genom en partitionering av sannolikhetsutrymmet i ett begränsat antal atomer. Det innebär att vi inte längre behöver hantera ett kontinuerligt utrymme utan kan begränsa oss till ett diskret antal relevanta scenarier för att beskriva marknaden.

Det är även värt att notera att för att en modell ska vara fullständig, måste den kunna representeras genom en partition av det sannolikhetsutrymme som involverar maximalt $d + 1$ atomer, där $d$ är antalet underliggande tillgångar i modellen. Ett exempel på en sådan modell kan vara en där marknaden har två möjliga utfall för en riskabel tillgång, vilket gör det möjligt att fullt ut beskriva marknaden med endast två sannolikheter.

I praktiken innebär detta att även om en marknad verkar komplex och involverar många olika derivat och tillgångar, kan vi reducera marknadens struktur till ett begränsat antal möjliga scenarier, vilket förenklar både analysen och prissättningen av derivat. Denna förståelse är central för att kunna modellera och förutsäga marknadsdynamik på ett korrekt sätt.

Hur kan vi definiera och förstå avsaknaden av arbitrage i ett begränsat marknadsutrymme?

Marknader som är föremål för olika restriktioner på riskkapital kan vara svårare att analysera ur ett arbitrageperspektiv. I sådana situationer definieras klassen $S$ som en uppsättning d-dimensionella förutsägbara processer där $a \leq \xi_t \cdot X_{t-1} \leq b$ gäller med sannolikhet 1 för $t = 1, \dots, T$. Här motsvarar $a$ och $b$ begränsningar för kapitalet investerat i riskfyllda tillgångar. Om vi förutsätter att icke-redundansvillkoret (9.1) gäller, så uppfyller $S$ villkoren (a) till (d). Generellt kan istället för de konstanta värdena $a$ och $b$, två dynamiska marginaler definieras genom förutsägbara processer $(a_t)$ och $(b_t)$.

För att vidare definiera en självfinansierad tradingstrategi $\xi = (\xi_0, \xi)$, där $\xi \in S$, kan vi beskriva denna uppsättning som $S = \{ \xi = (\xi_0, \xi) | \xi \text{ är självfinansierad och } \xi \in S \}$. Här är vårt mål att karakterisera frånvaron av arbitrage på marknaden $S$. En ekvivalent martingalemått $P^* \in P$ är tillräckligt för att utesluta arbitrage, men under vissa tekniska antaganden kan en mer omfattande klass $P_S \supseteq P$ krävas för att både vara nödvändigt och tillräckligt.

För att göra detta måste vi först definiera vissa begrepp. En anpassad stokastisk process $Z$ på $(\Omega, F, (F_t), Q)$ kallas en lokal $Q$-martingal om det finns en sekvens av stoppstider $(\tau_n)_{n \in \mathbb{N}}$ sådan att $\tau_n \to \infty$ nästan säkert enligt $Q$, och sådant att de stoppade processerna $Z_{\tau_n}$ är $Q$-martingaler. Detta kan ses som en förberedelse för att beskriva frånvaron av arbitrage i ett system med stokastiska processer.

När det gäller frånvaron av arbitrage, om $Q$ är ett martingalemått för den diskonterade prisprocessen $X$, så är värdeprocessen $V$ för varje självfinansierad tradingstrategi $\xi = (\xi_0, \xi)$ en lokal $Q$-martingal. Detta kan bevisas genom att använda sekvenser av stoppstider som garanterar att de stoppade processerna är $Q$-integrerbara.

Enligt propositionen 9.6 gäller att för en lokal $Q$-supermartingal $Z$ är följande villkor ekvivalenta: (a) $Z$ är en $Q$-supermartingal, (b) $\mathbb{E}_Q[Z^-_T] < \infty$, och om dessutom $Z_T \geq 0$ nästan säkert enligt $Q$, då gäller att $Z_t \geq 0$ nästan säkert för alla $t$. Här kan vi använda induktion för att visa att integrerbarheten av de negativa delarna $Z^-_t$ för alla $t$ följer från egenskaperna hos den stokastiska processen.

För att gå vidare, definierar vi $P_S$ som klassen av alla sannolikhetsmått $P^* \approx P$ där $X_t^i \in L^1(P^*)$ för $i = 1, \dots, d$ och $t = 1, \dots, T$, och där värdeprocessen för varje tradingstrategi i $S$ är en lokal $P^*$-supermartingal. Om $S$ innehåller alla självfinansierade tradingstrategier $\xi = (\xi_0, \xi)$ med begränsade $\xi$, så sammanfaller $P_S$ med klassen av alla ekvivalenta martingalemått.

I fallet med $S$ som består av alla förutsägbara processer $\xi$ sådan att $a \leq \xi_t \cdot X_{t-1} \leq b$ nästan säkert, kommer frånvaron av arbitrage att vara ekvivalent med att den obundna marknaden inte har någon arbitrage. Detta bevisas genom att visa att om en arbitragemöjlighet existerar i den obundna marknaden, så finns en strategisk process som tillåter arbitrage även under restriktionerna definierade av $S$.

För att avsluta, introducerar vi Theorem 9.9, som fastställer att under en viss teknisk förutsättning om $R_t$, är frånvaron av arbitrage i $S$ ekvivalent med att $P_S$ inte är tom. I sådana fall existerar ett mått $P^* \in P_S$ som har en begränsad densitet $\frac{dP^*}{dP}$.

Det är också viktigt att förstå hur restriktionerna på riskkapital och tillgångsallokering påverkar arbitragebetingelser. Detta visar på vikten av att beakta dynamiska marginaler istället för statiska gränser för att möjliggöra mer realistiska och flexibla modeller i marknadsanalysen.

Hur man minimerar det kvarvarande betingade risken i L2-admissibla strategier

För att förstå hur man effektivt kan minimera den kvarvarande betingade risken i L2-admissibla strategier måste man beakta flera centrala begrepp inom finansmatematik och hedgingteori. I grund och botten handlar detta om att hitta en strategi som minimerar de förväntade kvadratiska avvikelserna mellan de verkliga och de förväntade resultaten av ett finansiellt tillgångssystem.

I de flesta fall innebär det att vi arbetar med kvadratiska hedgingfel, definierade som skillnaderna mellan den slutgiltiga värdeprocessen för en hedgingstrategi och de faktiska behållningarna från det underliggande tillgångssystemet. Dessa fel kan mätas genom L2(P)-avståndet mellan den faktiska slutvärdet och det förväntade slutvärdet av värdeprocessen. För att kunna minska dessa fel effektivt behöver vi förstå strukturen hos den matematiska modellen som styr dessa processer.

Betingade risker och martingalmått

I sammanhanget av martingalmått innebär en martingal ett processförlopp där varje förväntad framtida värde är lika med det nuvarande värdet givet den information som finns vid den aktuella tidpunkten. Ett martingalmått P är ett sannolikhetsmått som gör att den underliggande tillgångens prissättning kan modellera en riskneutral marknad där ingen arbitrage är möjligt. Det essentiella villkoret som gör det möjligt att använda ett martingalmått för att definiera en effektiv hedgingstrategi är att skillnaden mellan det faktiska och förväntade värdet av tillgången ska vara nära noll i en kvadratisk förmåga.

En viktig aspekt är att, för att minimera det kvarvarande betingade risken, måste man säkerställa att den kvadratiska risken är så låg som möjligt under hela den tidshorisont som strategin gäller. Detta innebär att man behöver hitta en strategi som reducerar risken för plötsliga, ogynnsamma fluktuationer i de tillgångspriser som styrs av den underliggande marknaden.

Villkor för att minimera kvarvarande betingad risk

För att en L2-admissibel strategi ska minimera den kvarvarande betingade risken måste den vara lokalrisk-minimerande. Detta innebär att vi måste visa att den strategin leder till en minskning av den betingade kvadratiska risken över tid. Propositionen som formuleras i dessa sammanhang visar att om en strategi är lokalt risk-minimerande, så innebär det att strategin också minimerar den kvarvarande betingade risken i sin helhet.

För att denna minimering ska vara möjlig behöver vi också säkerställa att den aktuella strategioptimeringen är förenlig med en kvadratiskt integrerbar process. Här definieras risken genom en process där varje del av risken är betingad på den information som finns vid varje tidssteg. Det innebär att strategin inte bara måste vara effektiv vid varje tidpunkt utan också garantera en optimalt balanserad riskhantering genom hela tidsperioden.

Varians-optimal hedging

En annan viktig aspekt av riskhantering i hedgingstrategier är att arbeta med varians-optimal hedging. Varians-optimal hedging syftar till att minimera variansen av hedgingfelet, vilket i sin tur minimerar den totala risknivån. En sådan strategi innebär att vi försöker projicera målvärdet av tillgången på den optimala underliggande tillgångens portfölj, vilket kan göras genom en kvadratiskt optimal strategi i en L2-admissibel ram.

Genom att använda varians-optimal hedging kan man ytterligare minska risken genom att välja en strategi som inte bara minimerar det kvarvarande risken, utan även ser till att hedgingfelet är så litet som möjligt i förhållande till de totala kvadratiska riskerna i systemet. I praktiken innebär det att man anpassar både portföljens sammansättning och de riskjusterade vikterna för att skapa en strategi som är robust mot marknadsfluktuationer.

Tillägg och förståelse

Det är också viktigt att förstå att alla dessa tekniker och strategier fungerar inom ramen för en marknad där ingen arbitrage förekommer. Arbitrage innebär att det finns sätt att göra riskfria vinster utan att investera något initialt kapital, vilket inte är tillåtet i de finansiella modeller vi här diskuterar. De optimala strategierna som presenteras här är alltså de bästa möjliga givet marknadens struktur och de antaganden om prisprocesser som görs i teorin. Vidare måste modellerna vara konsistenta med verkliga marknader, vilket innebär att alla dessa resultat gäller för marknader som är tillräckligt likvida och där de underliggande tillgångarna inte uppvisar extrema priser eller andra anomalier som kan förstöra en annars effektiv hedgingstrategi.

För en djupare förståelse är det avgörande att förlita sig på de underliggande antagandena om marknadsstruktur och tillgångspriser. Vidare är det också viktigt att påpeka att varians-optimal hedging, även om det är ett kraftfullt verktyg, inte alltid ger en fullständig lösning på alla risker som kan uppstå i mer komplexa marknadsmodeller eller under marknadsstörningar.