Deutsch
Francais
Nederlands
Svenska
Norsk
Dansk
Suomi
Espanol
Italiano
Portugues
Magyar
Polski
Cestina
Русский
Inom teorin för icke-linjära ramar utgör de moment som uppträder vid knutpunkter — oavsett om de är externa eller interna — en grundläggande aspekt av strukturell analys. Medan krafter traditionellt behandlas som konservativa i meningen att deras riktning och storlek förblir oförändrade vid förskjutningar, beter sig moment väsentligt annorlunda. Särskilt under tredimensionella deformationer förändras riktningen och storleken av vad som i utgångsläget betraktas som ett konservativt moment.
En viktig distinktion introduceras mellan olika typer av moment baserat på hur de reagerar på deformation. Ett axiellt moment bevarar sin riktning och storlek trots rotationer omkring andra axlar och inducerar inga ytterligare moment. Däremot följer ett tangentiellt moment fullständigt den rumsliga rotationen, vilket innebär att komponenter induceras i riktningar vinkelräta mot ursprunglig momentaxel. Ett semitangentiellt moment genererar endast hälften av dessa inducerade komponenter vid samma rotation. De så kallade quasitangentiella momenten av första och andra ordningen särskiljs ytterligare genom att endast en inducerad komponent uppstår, beroende på rotationsaxel.
Detta beteende är inte bara av teoretiskt intresse. När inre moment uppstår som resultat av spänningsresultanter över tvärsnitt, måste deras beteende under deformation förstås i termer av dessa klassificeringar. Böjmomenten 1My och 1Mz definieras som ytintegraler av den axiella spänningen τxx multiplicerad med koordinaterna z respektive –y över tvärsnittet. När tvärsnittet genomgår en torsionsrotation θx, induceras tvärgående moment enligt:
ΔMz = 1My·θx
ΔMy = –1Mz·θx
Dessa moment kallas för quasitangentiella moment av första ordningen. Deras egenskap är att de kan härledas direkt från de ursprungliga spänningsresultanterna och de deformationer de utsätts för.
Liknande principer gäller för torsionsmomentet 1Mx, definierat som integralen av tvärkraftskomponenterna τxzy och τxyz över tvärsnittet. Vid rotation kring z- respektive y-axeln uppstår inducerade moment:
ΔMy = ½·1Mx·θz
ΔMz = –½·1Mx·θy
Denna halvering av de inducerade momenten i förhållande till ett fullt tangentiellt moment är kännetecknande för det semitangentiella momentet, vilket är den klassificering som tilldelas ett klassiskt St. Venant-torsionsmoment.
Att särskilja mellan dessa momenttyper är avgörande inte bara för korrekt formulering av strukturella modeller, utan också för att identifiera vilka moment som kan betraktas som konservativa i klassisk mekanisk bemärkelse. Enligt Ziegler och Argyris är de quasitangentiella och semitangentiella momenten konservativa under särskilda definitionsvillkor, eftersom det arbete de utför är oberoende av rörelsebanan. Axiella och tangentiella moment däremot bryter mot denna egenskap.
Detta innebär att vid modellering av icke-linjära ramverk i tredimensionella miljöer måste hänsyn tas inte bara till momentens ursprung och storlek, utan även till deras rotationsbeteende och därmed tillhörande klassificering. Det är inte tillräckligt att identifiera ett böjmoment som en resultante av inre spänningar — dess transformation under deformation måste också förstås och inkluderas i beräkningen av inducerade krafter.
Vad som här är särskilt betydelsefullt är att quasitangentiella moment av första ordningen uppträder naturligt som följd av interna spänningsfält och därmed erbjuder en direkt mekanisk tolkning. Däremot finns det quasitangentiella moment av andra ordningen som inte kan förklaras enbart med traditionella spänningsresultanter. Deras existens antyder behovet av en mer sofistikerad teori vid analys av strukturer i stora deformationer, där klassisk elasticitetslära inte längre är tillräcklig.
Utöver detta bör läsaren förstå att dessa klassificeringar har direkt inverkan på energiformuleringar, stabilitetsanalyser och numeriska metoder för strukturell beräkning. I diskretiserade modeller, särskilt de som bygger på finita element, måste momentens konstitutiva beteende korrekt återges inte bara i statiskt tillstånd utan också vid inkrementella rotationsuppdateringar. Annars riskeras systematiska fel i energibalans och stabilitetsprediktioner.
För att korrekt kunna modellera och analysera strukturellt beteende under komplexa belastningsfall, krävs därför en noggrann förståelse av momentens typologi och deras relation till rotationskinematik. Detta gäller i synnerhet inom fysikbaserade metoder för icke-linjära strukturer, där geometri och material samverkar i höggradigt icke-linjära sätt.
Hur Uppdatering av Geometri och Korrektorfaser Styr Noggrannheten i icke-linjär Strukturanalys
I en inkrementell-iterativ analys är den korrekta behandlingen av korrektorfaser avgörande för att säkerställa noggrannheten i lösningarna. Felaktig hantering av denna fas är ofta orsaken till divergerande eller felaktiga iterationer, vilket i sin tur leder till ogiltiga resultat i strukturanalys. För att förstå hur denna fas fungerar är det nödvändigt att först förstå de grundläggande stegen involverade i denna process.
När strukturen genomgår en deformation, beräknas kraftökningen Δf för varje element genom att multiplicera förflyttningen Δu (på elementnivå) med tangentstyvheten ki−1 för elementet, där Δu är förhållandevis liten. Detta sker under förutsättningen att deformationerna är små nog för att denna approximation ska vara giltig. Den totala kraften på ett element vid punkt e ges av formeln . Summan av alla elementkrafter ger de totala interna krafterna i strukturen.
Efter att ha beräknat de totala interna krafterna i strukturen, kan de obalanserade krafterna R beräknas som skillnaden mellan de applicerade krafterna och de interna krafterna . Detta görs i den uppdaterade konfigurationen. För att vidare lösa för de strukturella förskjutningarna och elementkrafter utförs ytterligare iterationer med de obalanserade krafterna R som de applicerade krafterna. Om en uppdaterad styvhetsmatris används eller inte har minimal inverkan på resultatet, men påverkar antalet iterationer eller konvergensens hastighet. Iterationsprocessen fortsätter tills en förutbestämd toleransnivå för kraft- och förskjutningsökningar är uppfylld.
I denna procedur är det korrektorfasen som är den mest avgörande för noggrannheten i den icke-linjära lösningen. Förutom att uppdatera den strukturella och elementära geometrin, behandlar denna fas beräkningen av de interna krafterna och de obalanserade krafterna R. Om dessa inte beräknas korrekt, kommer de efterföljande iterationerna att vara felaktiga, vilket leder till en felaktig lösning. I kontrast är prediktorfasen baserad på en approximation som, om den används korrekt, mest påverkar antalet iterationer eller konvergensens hastighet, utan att förlora lösningens riktning i postbuckling-beteendet.
För att ytterligare förstå processen är det viktigt att särskilt uppmärksamma hur geometriuppdateringen sker. När förflyttningsökningarna Δu beräknats i prediktorfasen, kan dessa användas för att uppdatera geometri för strukturella element. För ett plan- eller rymdtrussystem där rotationer inte beaktas på elementnivå, uppdateras noderna genom att lägga till förflyttningsökningarna till de ursprungliga koordinaterna. Detta ger en ny uppsättning noder och en uppdaterad elementgeometri. Eftersom de flesta trussar inte involverar roterande frihetsgrader vid nodpunkterna, är detta förfarande relativt enkelt att utföra.
I ett planramverk, däremot, där in-plan rotationer beaktas, blir analysen något mer komplex. För varje element definieras en huvudsaklig axel i planet, och den uppdaterade geometrin kräver att denna axel samt längd och förskjutningar justeras. De interna krafterna för dessa element kräver en ytterligare uppdatering genom en återhämtningsprocedur, som också behöver beaktas under korrektorfasen.
För att säkra en korrekt och exakt lösning är det alltså nödvändigt att denna uppdatering av geometri inte endast sker korrekt utan också att varje iteration beräknas med rätt parametrar, såsom elementstyvheter och krafterna som tillämpas på strukturen. Detta gör att resultatet från varje iteration bygger på en noggrant uppdaterad och realistisk struktur.
Det är också viktigt att förstå skillnaden mellan prediktorfasen och korrektorfasen. Prediktorfasen ger en grov uppskattning av systemets tillstånd och är inte tillräcklig för att säkerställa en exakt lösning. Korrektorfasen, där all geometri och alla krafter justeras noggrant baserat på de senaste beräkningarna, är där den verkliga noggrannheten kommer från. Genom att rätta de interna krafterna och de obalanserade krafterna under korrektorfasen säkerställs att de efterföljande iterationerna leder till en riktig lösning och inte konvergerar till felaktiga resultat.
För att ytterligare förbättra tillförlitligheten i resultaten, bör den användare som genomför dessa beräkningar förstå vikten av att hantera både geometriska och materiella egenskaper på ett korrekt sätt under hela processen. Elementstyvheter, geometriuppdateringar och en kontinuerlig uppföljning av de interna krafterna är alla avgörande för att säkerställa att analysen är exakt, särskilt i icke-linjära och postbuckling-scenarier.
Hur man uppdaterar geometri och beräknar krafter i ramstrukturer med finita rotationer
För att korrekt uppdatera geometrier och beräkna krafter i ramar och ramkomponenter är det avgörande att förstå de komplexa deformationerna och de naturliga rotationerna som uppstår i ett system under påverkan av finita rotationer. När ett element i en struktur rör sig från en konfiguration till en annan, till exempel från C1 till C2, förändras inte bara nodernas positioner utan även de interna vektorerna som definierar elementets struktur.
En viktig del av denna process är att beräkna elementets naturliga deformationer, vilket innebär att man beskriver både translation och rotation i förhållande till ett initialt system. Deformationen av ett element, som uttrycks genom vektorn {u}n, kan relateras till rörelsen av nodernas sektioner vid varje konfiguration. Genom att använda transformationsmatriser, som de som anges i ekvation (B.36), kan man omvandla sektionernas lokala koordinater till globalt referenssystem, vilket ger en detaljerad bild av elementets rörelse och dess påverkan på hela strukturen.
För att beräkna den rotation som sker mellan konfigurationerna C1 och C2, behöver man bestämma rotaxeln och rotationsvinkeln. Enligt Rodriguez rotationsformel (B.1) kan varje punkt på ett element rotera kring en axel definierad av en enhetsvektor. Detta görs genom att lösa för de komponenter som beskriver den roterade axeln {1na}, som kan användas för att få de naturliga rotationerna av nod A under det inkrementella steget från C1 till C2. Genom att använda de här relationerna kan man beräkna rotationskomponenterna för varje nod, som Θxa, Θya och Θza, vilka definierar elementets rotationsändringar under hela processen.
För att kunna analysera strukturella krafter vid den uppdaterade konfigurationen C2, måste man ta hänsyn till de krafter som agerar på elementet. Dessa krafter är direkt kopplade till både de uppkomna deformationerna och den förändrade geometrian. Enligt den uppdaterade Lagrangian-formuleringen kan krafterna vid C2 beräknas genom att använda den tangentstivhetsmatrisen [k] och de displacements som genererades under det inkrementella steget. Detta görs genom att använda relationen:
där {u} representerar förskjutningarna som orsakades av naturliga deformationer och {21f} samt {11f} är krafterna vid C2 respektive C1-konfigurationerna. För att beräkna dessa krafter, används en mängd olika matriser: den elastiska, geometriska och inducerade momentmatrisen. Den inducerade momentmatrisen är särskilt viktig när man beaktar hur böjning och vridning påverkar ramen, särskilt vid stora rotationer.
Vid beräkning av krafterna på elementet vid C2 beaktas både de initiala krafterna från C1 och de förändringar som uppstår genom deformationerna. Krafterna på elementet vid C2 kan då skrivas som:
Här visar {22f} på de totala krafterna vid den nya konfigurationen, med hänsyn tagen till både de ursprungliga krafterna och de nya deformationerna.
När dessa procedurer tillämpas på tvådimensionella ramkomponenter, som till exempel en plan ram, reduceras komplexiteten avsevärt. Här antar man att elementet enbart roterar inom ett plan, vilket innebär att de tredimensionella rotationskomponenterna kan försummas och problemet kan lösas enklare. I detta fall handlar beräkningarna främst om att förstå hur deformationerna i den tvådimensionella ramen påverkar strukturen som helhet.
Det är viktigt att betona att dessa beräkningsmetoder och principer gäller för system med finita rotationer och uppdaterade geometrier. Vid stora rotationer kan traditionella metoder som förutsätter små deformationer inte ge tillräckligt exakta resultat, varför denna uppdaterade formulering är nödvändig för att kunna modellera verkliga strukturella beteenden. För att noggrant kunna förstå dessa effekter är det avgörande att inte bara räkna på de geometriska förändringarna, utan även att noggrant beakta hur krafter distribueras genom hela strukturen vid varje steg av beräkningen.