I kvantmekanikens värld finns det grundläggande skillnader i hur partiklar och deras energi behandlas beroende på om systemet består av fermioner eller bosoner. För att beskriva dessa partiklar och deras fördelning används olika statistiska metoder, där den fria energin och partitionfunktionen är avgörande för att förstå systemets makroskopiska egenskaper.

För att börja förstå dessa relationer, betraktar vi först det så kallade partitionfunktionen ZZ. För en system med variabelt antal partiklar, kan partitionfunktionen uttryckas som:

Z=∏i(1−zi)−1Z = \prod_i \left( 1 - z_i \right)^{ -1}

Där zi=exp⁡(−β(ei−μ))z_i = \exp(-\beta (e_i - \mu)) är en faktor som beror på partikelsystemets energi eie_i och den kemiska potentialen μ\mu. För fermioner används ett plustecken i uttrycket, medan för bosoner används ett minustecken. Detta är en direkt konsekvens av att fermioner följer Paulis uteslutningsprincip, vilket innebär att ingen nivå kan vara besatt av fler än en partikel, medan bosoner kan existera i samma tillstånd i obegränsad mängd.

För system där antalet partiklar är konstant, blir beräkningarna av partitionfunktionen något mer komplicerade, eftersom vi måste ta hänsyn till att summan av alla partiklar ∑ni=N\sum n_i = N är fixerad. Denna typ av system beskrivs med den stora partitionfunktionen ZGZ_G, som är:

ZG=∑sexp⁡(−β(∑iniei−μns))Z_G = \sum_s \exp\left( -\beta \left( \sum_i n_i e_i - \mu n_s \right) \right)

Genom att skriva om denna uttryck får vi:

ZG=∏i(1±zi)−1Z_G = \prod_i \left( 1 \pm z_i \right)^{ -1}

För fermioner och bosoner är skillnaden i tecknen avgörande för att bestämma den kemiska potentialen och fri energi. När antalet partiklar inte är fixerat, blir den kemiska potentialen μ=0\mu = 0, och resultatet för fri energi får en enklare form:

F=−kBT∑i±ln⁡(1±exp⁡(−β(ei−μ)))F = -k_B T \sum_i \pm \ln \left( 1 \pm \exp(-\beta (e_i - \mu)) \right)

Det är viktigt att förstå att detta är en generaliserad form för fri energi, där det plustecknet gäller för fermioner och minustecknet för bosoner.

När vi nu går vidare till att beräkna energi och entropi för ett system med fasta partiklar, ser vi att dessa uttryck också är beroende av den kemiska potentialen. Energin EE ges av:

E=∑ieiexp⁡(−β(ei−μ))[1±exp⁡(−β(ei−μ))]−1E = \sum_i e_i \exp(-\beta (e_i - \mu)) \left[ 1 \pm \exp(-\beta (e_i - \mu)) \right]^{ -1}

Detta uttryck ger oss den totala energin i systemet och visar hur partiklarnas energinivåer bidrar till den makroskopiska energin. Den avgörande skillnaden mellan fermioner och bosoner återspeglas här i den exponenti

Hur termodynamik påverkar en kedja av atomer: Fonetiska tillstånd och specifik värme

I en linjär kedja av N identiska atomer med massa m, där atomerna är kopplade till varandra av fjädrar med konstant B, behandlas term

Hur termodynamiska potentialer förklarar mikroskopiska egenskaper hos system

I termodynamiken och statistisk mekanik används olika termodynamiska potentialer för att beskriva egenskaper hos ett system. En av de viktigaste potentialerna är den fria energin, som i ett magnetiskt system kan uttryckas som FM = E − TS − MH, där E är systemets inre energi, T är temperaturen, S är entropin, M är magnetiseringen och H är det magnetiska fältet. Den fria energin är en funktion av temperatur (T), volym (V), antal partiklar (N) och magnetfält (H). För att förstå systemets magnetisering, beräknas den som M = −(∂FM/∂H)T,V,N, vilket innebär att magnetiseringen kan fås genom att ta den partiella derivatan av den fria energin med avseende på H vid konstant temperatur, volym och antal partiklar.

Ett annat viktigt begrepp är den stora potentialen, Ψ(T, V, μ), som används för att beskriva ett system i termisk kontakt med ett förråd av partiklar. I detta system är temperaturen (T) förutbestämd av förrådet, volymen (V) och den kemiska potentialen (μ) är lika för både systemet och förrådet. Om en partikel rör sig från förrådet till systemet, minskar energi i förrådet med μR, medan systemets energi ökar med μS. Eftersom det totala energin inte förändras, följer det att de kemiska potentialerna är lika, vilket leder till den stora potentialen Ψ = E − TS − μN. Derivatan av denna potential ger oss viktiga uttryck för entropi, tryck och antal partiklar i systemet.

En annan aspekt av termodynamiken som inte kan förbises är kopplingen mellan makroskopiska och mikroskopiska egenskaper. I statistisk mekanik betraktas inte ett system som ett isolerat objekt med fasta värden för energi, temperatur och tryck. Istället handlar det om sannolikheter för att partiklar ska ha vissa energinivåer eller positioner vid varje givet ögonblick. Ett mikroskopiskt tillstånd, eller mikrostad, definieras av de specifika egenskaperna hos alla partiklar i systemet, såsom position och rörelsemängd. Eftersom partiklar ständigt byter tillstånd, går systemet från ett mikrostad till ett annat, men det bibehåller samma makrostad, vilket innebär att det genomsnittliga värdet på systemets energi eller andra storheter förblir konstant över tid.

För att överföra mikroskopiska egenskaper till makroskopiska resultat använder statistisk mekanik sannolikhetsfördelningar. När partiklar är i termisk jämvikt med ett förråd av partiklar (t.ex. ett system som har kontakt med ett omgivande medium), kan de mikroskopiska energifördelningarna beskrivas genom sannolikheter, vilket gör det möjligt att beräkna medelvärden för olika storheter, såsom temperatur och energi. Detta leder till en fördelning av energivärden och andra egenskaper hos systemet, snarare än exakta värden för varje partikel.

I statistisk mekanik kan de termodynamiska potentialerna härledas från kunskapen om partiklarnas mikroskopiska egenskaper. Det är här som en av de mest grundläggande relationerna, Boltzmanns entropiformel, spelar en viktig roll. Enligt Boltzmanns andra postulat är entropin S för ett system given av formeln S = kB ln Ω, där kB är Boltzmanns konstant och Ω är antalet mikrostater för ett givet makrostad. Detta samband mellan entropi och mikrostater är centralt för förståelsen av termodynamiska processer i system med många partiklar.

För att förstå systemets mikroskopiska beteende i ett slutet system, där partiklarna är inneslutna i en volym V och inte kan utbyta energi med omgivningen, används mikroskopiska ensemblen, där alla system i en stor uppsättning har samma makrostad definierad av energin E, volymen V och antalet partiklar N. Här anses alla mikrostater vara lika sannolika, vilket gör det möjligt att beräkna entropi och andra termodynamiska storheter utifrån sannolikhetsfördelningar.

En annan viktig aspekt av statistisk mekanik är att den inte bara ger ett exakt värde för en viss egenskap, utan snarare en fördelning av möjliga värden. Eftersom mikroskopiska system är kaotiska och präglade av fluktuationer, måste sannolikheter användas för att beskriva deras beteende. Det innebär att man, i motsats till klassisk termodynamik, inte alltid kan förutsäga exakta värden för storheter som energi eller tryck, utan snarare deras sannolika fördelning.

För att sammanfatta är statistisk mekanik inte bara ett sätt att härleda termodynamiska potentialer, utan också ett kraftfullt verktyg för att förstå hur mikroskopiska processer ger upphov till makroskopiska fenomen. Termodynamiska potentialer som den fria energin och den stora potentialen gör det möjligt att beskriva system på en övergripande nivå, medan sannolikhetsfördelningar ger en djupare insikt i de mikroskopiska processerna bakom makroskopiska fenomen.

Hur skiljer sig DTW-Kmedoids och softDTW-Kmedoids i klustring av geologiska tidsseriedata?
Hur sannolikhetsanalys och pålitlighetsbedömning av järnvägsinfrastruktur kan förenkla och förbättra byggnadsprocessen
Hur hanterar man säkert läsning av bytes från filer i Rust, särskilt med ogiltig UTF-8?
Hur man beräknar YLD:er och deras inverkan på folkhälsomätningar
Vad är de största komplikationerna vid otit media och hur hanteras de?
Hur ansiktsåldrande och rynkor påverkar vår uppfattade ålder
Anmälan om arbetsprogram för matematik, årskurs 5-9
Centralny förorts passagerarföretag – företagsinformation och betalningsvillkor för dokumentkopior
Schema för valbara kurser och IGZ för läsåret 2018-19
Organisering av måltider vid Makaryevskaya Skola för 2018/2019 läsåret
Molekylformler och beräkningar vid förbränning av organiska föreningar – uppgifter och lösningar