Ao contrário da leitura exclusiva dos autovalores, os instrumentos medem intervalos espectrais ou, mais geralmente, subconjuntos borelianos do espectro. Por conveniência matemática, é permitido que os instrumentos aceitem funcionais lineares positivos que não sejam necessariamente normalizados. Como o cone positivo K+′K_+' de A1A_1 é gerador, a linearidade sugere estender a aceitação para elementos arbitrários de A1A_1. Assim, nosso instrumento primitivo é uma família de aplicações lineares de A1A_1 (entrada) para A1A_1 (saída), rotulada pelos subconjuntos borelianos do observável a ser medido, e que preserva positividade e normalização, garantindo que estados se transformem em estados.

Uma refinamento necessário é a cr-aditividade sobre os subconjuntos borelianos, para compatibilidade com o teorema espectral. Davies e Lewis adotam como noção de observável as famílias espectrais obtidas dos operadores, similar ao ponto de vista de outros autores como Ludwig. Em virtude do teorema espectral de Naimark para operadores simétricos, admitem observáveis representados por medidas de operadores positivos (POVM). Observáveis representados por operadores auto-adjuntos se distinguem por uma decomposição espectral única em termos de medidas projetivas (PVM).

Para observáveis simples completos, os resultados usuais são obtidos: autovalores isolados são discerníveis nos intervalos ao seu redor, e suas projeções próprias se distinguem por descontinuidades na medida espectral. Porém, para observáveis gerais, o cenário muda: registra-se intervalos espectrais, não apenas pontos. Fora dos autovalores, o estado de saída não é estritamente repetível, embora definido.

Davies estudou também a medição por instrumentos correlacionados a um segundo observável, construído a partir de parte da medida espectral do primeiro e contendo menos informação. A medição por tais instrumentos entrega informação incompleta sobre o observável medido, refletindo que a medição perfeita pode não ser possível, mas medições imperfeitas agregadas oferecem a máxima informação possível. Essa situação é típica para operadores não limitados e tem importância central para modelos quânticos.

Srinivas investigou um enfraquecimento da definição de instrumento para manter repetibilidade estrita no caso de operadores limitados, trocando cr-aditividade por aditividade finita. Contudo, essa condição é limitante para a teoria de medidas e carece de fundamentação empírica, mantendo-se preferível a aditividade contável.

A adaptação da teoria de Davies e Lewis para a escolha do álgebra L+(W)\mathcal{L}^+(W) como álgebra de observáveis traz complicações técnicas, pois o pré-transposto de um instrumento deve ser um elemento de L(A)\mathcal{L}(A) para preservar propriedades físicas, já que AA é incompleto. Assim, instrumentos são elementos de L(Az)\mathcal{L}(A_z) cujos pré-transpostos pertencem a L(A)\mathcal{L}(A), um requisito que torna a definição mais complexa, sem alternativa natural conhecida.

A partir do pré-transposto de um instrumento, chamado operação, define-se o instrumento como seu transposto. Essa terminologia é consistente com os trabalhos de Davies, Lewis, Haag e Kastler. Uma segunda dificuldade está na decomposição espectral dos elementos de AhA_h. Quando b∈Ahb \in A_h não é essencialmente auto-adjunto, possui múltiplas representações espectrais por POVM, conforme o teorema de Naimark. Considera-se então o conjunto das λ\lambda-medidas, integrando-se para elementos de AhA_h em certa topologia, e definem-se os (λ,W)(\lambda, W)-medidas que deixam o domínio WW estável. Este conjunto, M+(λ,W)M^+(\lambda, W), contém todas as perguntas respondíveis na mecânica quântica e é a base para a construção dos instrumentos.

Dado um operador limitado, ele gera uma álgebra abeliana W∗W^* naturalmente, equivalente ao espaço das funções L∞L^\infty em seu espectro, que contém toda informação do operador e, no caso quântico, toda informação sobre a propriedade observável. O desafio é estender essa conexão para álgebras de operadores não limitados. Inspirados em Davies, consideram-se funções construídas a partir da família espectral do observável, polinômios nos operadores positivos espectrais, completados na topologia fraca induzida por um pareamento dual, refletido na notação e raciocínio do texto original.

Definem-se as λ\lambda-medidas como famílias espectrais generalizadas associadas a um único b∈Ahb \in A_h pelo limite adequado (uma integral de Riemann-Stieltjes imprópria). A noção de pergunta quântica é formalizada pelas (λ,W)(\lambda, W)-medidas, que respeitam a invariância do domínio WW. Assim, a estrutura das medidas espectrais, dos instrumentos e operações, e sua relação com a álgebra de observáveis, formam a base para entender como se realiza a medição quântica, especialmente em contextos envolvendo operadores não limitados.

É crucial compreender que as medições perfeitas, associadas a projeções sobre autovalores, são casos idealizados. Na prática, as medições produzem informações via medidas positivas de operador que correspondem a intervalos do espectro, refletindo a natureza fundamentalmente probabilística e imprecisa do processo de medição quântico. Essa imprecisão não é mera limitação técnica, mas uma característica intrínseca da teoria quântica, refletida nas propriedades matemáticas das medidas e operações associadas.

Como a Mecânica Quântica Define Estados e Observáveis no Contexto de Sistemas Quânticos

Na mecânica quântica, o estudo dos sistemas físicos microscópicos nos obriga a abandonar as descrições clássicas da realidade e a adotar uma nova linguagem, que se constrói a partir de dois conceitos fundamentais: estados e observáveis. Tais noções, por mais abstratas que possam parecer, são a base para entender como as partículas subatômicas interagem e como seus comportamentos podem ser descritos matematicamente.

Um estado, em termos simples, pode ser entendido como a condição instantânea de um sistema. É o conjunto completo de informações que descrevem o sistema em um dado momento. No entanto, a mecânica quântica nos desafia a lidar com estados que não têm valores bem definidos para algumas grandezas físicas, como a energia. Em outras palavras, existem estados em que não se pode afirmar com certeza o valor de uma variável dinâmica; por exemplo, a energia de uma partícula pode ser indeterminada. Para esses casos, a teoria quântica sugere que o estado do sistema pode ser representado como uma combinação convexa de estados com valores bem definidos. Isso implica que um sistema quântico pode, simultaneamente, existir em dois ou mais estados com energias definidas, o que introduz o conceito de probabilidades no comportamento das partículas.

Essa indeterminação, por sua vez, é acompanhada de um princípio de incerteza: quando medimos uma variável dinâmica, como a posição ou o momento de uma partícula, o valor obtido será uma realização probabilística, e não uma certeza. Isso se deve à natureza dos estados quânticos, que não fornecem informações absolutas, mas sim probabilísticas sobre o que podemos esperar de uma medição.

Junto com o conceito de estado, temos o de observáveis. Os observáveis são grandezas físicas que podem ser medidas, como posição, momento e energia. Em termos matemáticos, um observável é representado por um operador linear que age sobre o estado do sistema. É postulado que os observáveis formam uma álgebra, e os estados são funcionais lineares sobre essa álgebra. Em outras palavras, um observável é uma função matemática que descreve uma medição de uma grandeza física, e o estado determina o valor esperado dessa medição.

Ao tentar entender como a mecânica quântica descreve o comportamento das partículas subatômicas, uma das primeiras questões que surge é: qual a relação entre os estados e os observáveis? A teoria propõe que para cada observável, existe um estado que maximiza a probabilidade de obter um valor bem definido ao ser medido. Além disso, a descrição de sistemas quânticos exige uma abordagem matemática complexa, em que a álgebra dos observáveis e o espaço de estados se entrelaçam para formar uma representação do sistema físico.

Um exemplo de como isso se aplica na prática são as representações dos operadores que satisfazem as relações de comutação canônicas (CCR), comumente conhecidas como operadores de criação e aniquilação. Esses operadores são fundamentais na teoria quântica de campos, onde eles descrevem a criação e destruição de partículas. Em termos gerais, as representações desses operadores ajudam a definir os estados físicos do sistema, como o estado fundamental, que é o estado de menor energia, e os estados excitados, que correspondem a energias maiores.

Essas representações podem ser classificadas em diferentes tipos, sendo as representações cíclicas e as representações da classe s as mais relevantes para a física quântica. Uma representação é cíclica se existe um vetor específico, chamado de vetor cíclico, que pode gerar todo o espaço de Hilbert do sistema através da ação dos operadores de criação. No caso de uma representação da classe s, o vetor cíclico satisfaz uma condição adicional de invariança de gauge, o que é crucial para garantir que os observáveis sejam mensuráveis de maneira consistente, respeitando as simetrias do sistema.

Ao explorar essas representações, é importante entender que a mecânica quântica não oferece apenas um modelo matemático para descrever o comportamento das partículas, mas também uma interpretação física dos processos de medição. A definição dos observáveis, a escolha de estados e as restrições que surgem dessa escolha são aspectos que influenciam diretamente a forma como podemos realizar experimentos e interpretar os resultados.

Além disso, ao lidar com sistemas quânticos, é necessário ter em mente que as medidas realizadas em um sistema podem alterar seu estado. Esse é o princípio fundamental da mecânica quântica, onde a observação de um sistema físico não é apenas um processo passivo, mas sim um processo que interage ativamente com o sistema, alterando suas propriedades. Portanto, a teoria quântica exige que consideremos não apenas os estados e observáveis, mas também as interações complexas entre o sistema e os instrumentos de medição.

Esse entendimento é essencial para quem busca compreender a fundo a teoria quântica, especialmente quando se depara com questões experimentais e as limitações da nossa capacidade de medir certos aspectos da realidade quântica. A mecânica quântica nos ensina que a realidade subatômica não é algo que possa ser descrito de maneira direta e intuitiva, mas sim através de probabilidades, incertezas e uma matemática que nos obriga a repensar conceitos clássicos de causa e efeito, de medida e de interação.

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