Como o Grau Relativo Vetorial Define a Solução do Problema de Controle Não Interativo em Sistemas Multivariáveis Não Lineares

No estudo dos sistemas multivariáveis não lineares, o conceito de grau relativo vetorial no ponto de equilíbrio x = 0 é fundamental para a análise e solução do Problema de Controle Não Interativo. Esta propriedade garante a ausência de soluções triviais, ou seja, aquelas em que algum dos sinais de saída não é afetado por nenhuma entrada no sistema em malha fechada. Tal característica impede que partes do sistema fiquem isoladas do controle, assegurando que cada entrada influencie diretamente uma saída específica.

Ao impor uma lei de realimentação estática do tipo $u = a(x) + \beta(x)v$, onde $a(x)$ e $\beta(x)$ são funções derivadas da inversa da matriz $A(x)$ do sistema, obtém-se um sistema em malha fechada caracterizado por cadeias de integradores que relacionam cada entrada a uma saída correspondente sem interferência mútua. Caso a soma dos graus relativos individuais seja igual à dimensão do espaço de estados $n$, não há partes não observáveis (“sumidouros”) que possam absorver dinamicamente estados sem afetar as saídas. Essa condição assegura que o sistema fechado seja completamente representado por estas cadeias de integradores, tornando o comportamento entrada-saída essencialmente linear.

A existência desse grau relativo vetorial não é apenas uma condição suficiente, mas também necessária para a existência de soluções do problema. Caso contrário, a matriz $\beta(0)$ apresentaria posto inferior ao número de entradas e saídas, inviabilizando a obtenção do controle não interativo. Em outras palavras, a estrutura intrínseca do sistema deve permitir a diferenciação das trajetórias de saída a partir das entradas, sem que nenhuma saída permaneça insensível a todas as entradas.

Ao aplicar a realimentação que torna o sistema não interativo, a estabilidade interna do sistema passa a depender do comportamento das subsistemas não observáveis, que agem como blocos isolados dentro do conjunto maior. Esses subsistemas, embora afetados por todas as entradas e estados, não impactam as saídas. Portanto, para garantir estabilidade total, é crucial analisar e controlar também esses subsistemas internos.

A compreensão do problema de controle não interativo envolve não apenas a aplicação da teoria do grau relativo vetorial e a construção da realimentação adequada, mas também o reconhecimento de que a estrutura interna do sistema em malha fechada deve ser cuidadosamente examinada. O sucesso do controle depende da inexistência de dinâmicas internas “escondidas” que possam comprometer a resposta global, e da capacidade de traduzir o sistema não linear original em uma forma que permita a implementação prática da realimentação.

Endereçar esses aspectos é vital para projetar controladores robustos para sistemas complexos com múltiplas entradas e saídas, garantindo que o comportamento desejado seja atingido sem interferências indesejadas entre as variáveis controladas.

Qual a importância das distribuições suaves e suas propriedades fundamentais?

Além disso, o comportamento de uma distribuição como uma "função" de $x$ é um aspecto relevante. Já vimos como caracterizar a suavidade de uma distribuição, mas existem outras propriedades que também devem ser consideradas. Uma distribuição $zA$, definida em um conjunto aberto $U$, é chamada de não-singular se existir um número inteiro $d$ tal que a dimensão $\dim(zA(x)) = d$ para todo $x$ em $U$. Caso contrário, a distribuição é chamada de singular, ou, mais especificamente, uma distribuição de dimensão variável. Um ponto $x^0$ de $U$ é considerado um ponto regular de uma distribuição $zA$ se existir um bairro $U^0$ de $x^0$ tal que $zA$ seja não-singular em $U^0$. Qualquer ponto de $U$ que não seja regular é chamado de ponto de singularidade.

Outras propriedades relacionadas a essas noções são bastante simples, sendo suas provas omissas ou apenas esboçadas. Por exemplo, se $A$ for uma distribuição suave e $x^0$ for um ponto regular de $A$, e $\dim(Zl(x^0)) = d$, então existem um bairro aberto $U^0$ de $x^0$ e um conjunto $\{ f_1, \dots, f_d \}$ de campos vetoriais suaves definidos em $U^0$, de modo que os vetores $f_1(x), \dots, f_d(x)$ são linearmente independentes para todo $x \in U^0$, e $A(x) = \text{span}\{ f_1(x), \dots, f_d(x) \}$.

Por exemplo, considere em $\mathbb{R}^3$ a distribuição $A = \text{span}\{ f_1, f_2 \}$, onde $f_1(x)$ e $f_2(x)$ são definidos de forma tal que $A$ não seja involutiva. Isso é evidenciado pela matriz de Lie associada $[A, A]$, que não possui uma estrutura involutiva.

Em alguns casos, quando se parte de uma distribuição que não é involutiva, é útil construir uma distribuição involutiva apropriada a partir da distribuição original. Para isso, se $A_1$ e $A_2$ são distribuições involutivas contendo $A$, a interseção $A_1 \cap A_2$ será uma distribuição involutiva contendo $A$. Assim, conclui-se que a família de todas as distribuições involutivas contendo $A$ possui um elemento mínimo único, que é a interseção de todas essas distribuições. Essa distribuição é chamada de fechamento involutivo de $A$, denotada por $\text{inv}(zA)$.

Além disso, em muitos casos, as operações com distribuições podem ser facilitadas se, ao invés de trabalhar diretamente com as distribuições, considerarmos objetos duais, chamados de codistribuições.