Modelagem Dinâmica de Robôs com Juntas Elásticas: Derivação das Equações e Controle

A modelagem dinâmica de sistemas robóticos com juntas elásticas é um tema fundamental para o entendimento do comportamento e do controle de manipuladores modernos. No caso específico de um robô com duas juntas articuladas, a complexidade da modelagem se intensifica devido à presença de elásticos acoplados, que introduzem dependências adicionais nas equações de movimento. A expressão completa para o modelo dinâmico desse robô, levando em consideração o acoplamento inercial dependente da configuração, é dada pela equação:

$$M(q) \ddot{q} + S(q) \ddot{\theta} + c(q, \dot{q}) + c_1(q, \dot{q}, \dot{\theta}) + g(q) + K(q - \theta) = 0$$

$$S^T(q) M_m \ddot{\theta} + c_2(q, \dot{q}) + K(\theta - q) = \tau$$

Essa equação descreve a interação entre os componentes de um robô com juntas elásticas, incluindo a matriz de inércia $M(q)$, os efeitos de Coriolis e centrífugos, as forças de atrito $c(q, \dot{q})$, o efeito de gravidade $g(q)$, e as forças elásticas $K$. Além disso, a estrutura da matriz $S(q)$ é estritamente triangular superior, refletindo a dependência dos elementos dessa matriz em relação às variáveis articulares do robô.

A matriz $S(q)$, por exemplo, é uma função da configuração do robô e descreve como a elasticidade das juntas afeta a dinâmica geral do sistema. Essa matriz possui a seguinte estrutura:

$$S(q) = \begin{pmatrix}$$

0 & S_{12}(q_2) & S_{13}(q_2, q_3) & \cdots & S_{1n}(q_2, \cdots, q_{n-1}) \\ 0 & 0 & S_{23}(q_3) & \cdots & S_{2n}(q_3, \cdots, q_{n-1}) \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & S_{3n}(q_4, \cdots, q_{n-1}) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & S_{n-1,n} \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix}

Além disso, as leis de controle propostas para estabilizar esse sistema, como as expressões para $\tau$ nos modelos de controle (11.23) e $\tau = u_q - (K_P M_m \theta + K_D q \dot{q})$, não conseguem estabilizar o sistema de forma assintótica de maneira geral. Isso ocorre porque as leis de controle não conseguem lidar com a complexidade do acoplamento dinâmico introduzido pelas juntas elásticas, especialmente quando consideramos o comportamento não linear do sistema. O critério de Routh-Hurwitz, que pode ser aplicado para encontrar condições necessárias e suficientes para a estabilização assintótica do sistema, é essencial para a análise do controle adequado das variáveis de ganho $K_P$ e $K_D$.

$$M \ddot{q} + S \ddot{\theta} + K (q - \theta) = 0$$

Essa expressão permite verificar a relação entre o torque de entrada $\tau$ e a saída $q = \theta + \delta$, obtendo-se uma função de transferência que não é de fase mínima, o que implica em desafios adicionais para o controle do sistema.

No entanto, mesmo com o uso dessas estratégias, o controle de sistemas robóticos com juntas elásticas continua a ser um desafio significativo, especialmente quando se trata de garantir a estabilidade assintótica e o comportamento desejado do sistema. A análise da estabilidade por meio da função de Lyapunov e do teorema de LaSalle oferece uma base sólida para avaliar o comportamento assintótico do sistema, mas ainda há desafios no controle de sistemas com elasticidade e acoplamento dinâmico.

Além disso, ao estudar o comportamento de robôs com juntas elásticas e o controle dessas articulações, é importante considerar o impacto da flexibilidade tanto na modelagem quanto na implementação do controle. Em muitos casos, a introdução de elasticidade nas juntas permite uma maior flexibilidade no movimento, mas também introduz complicações no controle devido às interações não lineares entre as forças internas e as forças de controle aplicadas.

A compreensão dos efeitos de elasticidade e da modelagem dinâmica precisa ser aprofundada, pois essa flexibilidade pode ser tanto uma vantagem quanto uma desvantagem, dependendo do tipo de tarefa que o robô está executando. Além disso, a consideração de robustez e a adaptação dos controles a diferentes condições operacionais e configurações do robô são fundamentais para o sucesso da implementação de tais sistemas em ambientes reais.

Como o Dimensionamento Dinâmico de Trajetórias Pode Melhorar a Desempenho de Atuadores de Robôs

Em sistemas robóticos, o controle dinâmico eficiente das trajetórias é essencial para garantir que as tarefas sejam realizadas de maneira eficaz e dentro dos limites operacionais dos atuadores. Uma das técnicas importantes para otimizar o movimento de um robô é o dimensionamento dinâmico das trajetórias. Esse processo envolve a modificação da escala temporal da trajetória original para melhorar o desempenho dinâmico, seja acelerando ou desacelerando o movimento, dependendo das limitações de torque e da capacidade dos atuadores.

Quando se trabalha com uma trajetória original que não utiliza completamente a capacidade dos atuadores, o dimensionamento temporal pode ser usado para acelerar o movimento, explorando melhor as capacidades do sistema. Isso pode ser feito aplicando o procedimento de escala de tempo uniforme, que permite que a trajetória seja executada mais rapidamente ou mais devagar, dependendo de como o tempo é reescalado. Especificamente, se tomarmos um fator de escala de tempo $k$, podemos redefinir a variável de tempo como $r = k t$, onde $t$ é o tempo original e $k$ é uma constante positiva. Esse fator ajusta o tempo de movimento, seja para acelerar (quando $k < 1$) ou desacelerar (quando $k > 1$) a trajetória.

Além disso, o dimensionamento dinâmico pode ser usado para tornar uma trajetória inicialmente inviável dinamicamente, viável. Se o torque calculado para a trajetória original exceder os limites dos atuadores, o dimensionamento de tempo pode ser usado para reduzir os torques excedentes e garantir que o movimento se mantenha dentro das capacidades do sistema. O procedimento para encontrar o fator de escala ideal envolve o cálculo de quanto o torque em cada ponto da trajetória excede os limites do atuador. O fator $k$ é ajustado até que todos os torques estejam dentro dos limites de operação, garantindo a viabilidade dinâmica da trajetória.

Entretanto, vale destacar que o dimensionamento de tempo uniforme pode ser uma solução subótima. Se um único torque exceder o limite por um intervalo de tempo muito curto, esse método pode resultar em uma desaceleração excessiva em toda a trajetória, o que não é o ideal. Em tais casos, o dimensionamento não uniforme do tempo pode ser necessário para otimizar o tempo total de movimento, minimizando o tempo sem violar os limites de torque.

Nos sistemas não redundantes, o modelo dinâmico em espaço de tarefa pode ser descrito em termos de um conjunto de coordenadas generalizadas para o sistema mecânico, e a relação entre as forças generalizadas $\gamma$ e as variáveis de tarefa $y$ pode ser obtida usando a fórmula de trabalho virtual, como discutido anteriormente. A partir disso, é possível derivar um modelo equivalente ao modelo de configuração, mas adaptado para a descrição do movimento no espaço de tarefa.

Em resumo, o dimensionamento dinâmico das trajetórias é uma ferramenta poderosa para otimizar o desempenho de sistemas robóticos, especialmente em relação aos limites de torque dos atuadores. Embora o dimensionamento de tempo uniforme seja uma solução prática, ele pode não ser a mais eficiente em todos os casos, especialmente quando se busca um movimento rápido sem violar os limites dos atuadores. O dimensionamento não uniforme pode ser a chave para alcançar o movimento ideal de um robô, minimizando o tempo e maximizando a eficiência.