É amplamente reconhecido que a solução para um problema de regulação de saída geralmente segue uma abordagem em duas etapas. Primeiramente, um compensador dinâmico, como um modelo interno, é sintetizado. A estabilização do sistema aumentado, composto pela planta original e pelo modelo interno, pode potencialmente oferecer uma solução ao problema de regulação de saída para a planta original. Na segunda etapa, busca-se a estabilização do sistema aumentado. No entanto, em um ambiente interconectado, surge um novo desafio: o problema de regulação de saída robusta perturbada. Neste contexto, ampliamos o escopo para incluir um cenário em que o exossistema, funcionando como modelo de referência, é não-autônomo e sujeito a perturbações externas decorrentes das interconexões da rede. Nesse cenário, a regulação exata torna-se inatingível. O foco passa a ser um objetivo mais prático: limitar o erro de regulação pela perturbação externa, utilizando uma função de ganho. Especificamente, procuramos reduzir o erro de regulação à medida que a perturbação externa diminui. Esta nova formulação é denominada problema de regulação de saída robusta perturbada.

Um problema de regulação de saída perturbada pode ser traduzido em um problema de estabilização de entrada-para-estado para um sistema aumentado. O mesmo processo de tradução de um problema de regulação de saída convencional em um problema de estabilização se aplica aqui, conforme demonstrado no design do modelo interno. Essa abordagem reflete como a resolubilidade de um problema de regulação de saída tradicional é convertida em um problema de estabilização para um sistema aumentado.

Na primeira fase do processo de design, utilizamos as dinâmicas do modelo de referência, descritas pela equação (9.2), que são expressas como:

s˙i=Assi+Bsμi,qi=Cssi,i∈N\dot{s}_i = A_s s_i + B_s \mu_i, \quad q_i = C_s s_i, \quad i \in N

Aqui, aplicamos um controlador de comunicação de estado dado por:

μi=−Ksi,i∈N\mu_i = -K s_i, \quad i \in N

O sistema resultante, composto pelas equações (12.2) e (12.3), é equivalente ao sistema descrito pela equação (3.18). As condições necessárias para o consenso do sistema (3.18) no padrão (3.14) foram analisadas nas Teoremas 3.2 e 3.3. Portanto, assumimos que os modelos de referência construídos atingem consenso no padrão (3.14) para o restante deste capítulo.

A segunda etapa envolve o design do controlador de regulação, dado por:

u˙i=κ1(xi,eregi,ηi),η˙i=κ2(xi,eregi,ηi),i∈N\dot{u}_i = \kappa_1(x_i, e_{\text{reg}}^i, \eta_i), \quad \dot{\eta}_i = \kappa_2(x_i, e_{\text{reg}}^i, \eta_i), \quad i \in N

Esse controlador garante que o erro de seguimento eregi=yi−qie_{\text{reg}}^i = y_i - q_i tenha um ganho assintótico em relação à entrada limitada μi\mu_i, expressa como:

lim sup⁡t→∞∥eregi(t)∥≤γi(lim sup⁡t→∞∥μi(t)∥),i∈N\limsup_{t \to \infty} \| e_{\text{reg}}^i(t) \| \leq \gamma_i \left( \limsup_{t \to \infty} \| \mu_i(t) \| \right), \quad i \in N

O objetivo é garantir que o erro de regulação, embora não se anule completamente devido à perturbação externa, seja limitado em função da magnitude da perturbação. Esse problema é o núcleo do problema de regulação de saída robusta perturbada, cuja solução garante que a dinâmica dos agentes seja sincronizada, mesmo diante das perturbações externas.

O teorema 12.1 resume os passos para a resolução do problema de sincronização. Considerando o Sistema Multi-Agentes (MAS) descrito por (12.1), com o modelo de referência (12.2) e (12.3), e o controlador (12.4), que resolve o problema de regulação de saída robusta perturbada conforme definido em (12.6), o sistema de malha fechada atinge a sincronização de saída no padrão (2.65). A prova baseia-se no fato de que o modelo de referência atinge o consenso conforme o padrão (3.14), e, portanto, o erro de regulação tende a zero à medida que a perturbação externa diminui.

O problema de sincronização de saída é então transformado em um problema de regulação de saída robusta perturbada, com a introdução de modelos de referência linear homogêneos projetados artificialmente. Este problema representa uma versão mais ampla do problema de regulação robusta, já abordado em (Seção 2.6). Para resolver esse problema robusto de regulação de saída perturbada, desenvolvemos um modelo interno que é projetado para cada agente individualmente, sem envolver comunicação de rede no processo. A seguir, apresentamos a formulação para o design do modelo interno e do controlador de estabilização de entrada-para-estado.

Expansão e Considerações Importantes

No design de controladores para sistemas interconectados, além das condições gerais para garantir a regulação robusta, é essencial compreender a natureza das perturbações externas e a sua dinâmica nas interconexões. O comportamento das perturbações pode ser altamente dependente da topologia da rede e das características das comunicações entre os agentes. Outro ponto crucial é a escolha das funções de ganho no controlador, as quais devem ser projetadas levando em consideração tanto a robustez do sistema quanto o comportamento assintótico do erro de regulação.

Além disso, os modelos de referência, que são fundamentais para o controle de regulação, precisam ser cuidadosamente adaptados para o contexto de sistemas não lineares. A presença de não linearidades nos sistemas pode complicar significativamente a análise de estabilidade e regulação, tornando necessário um tratamento mais sofisticado das interações entre os componentes do sistema.

Como a Sincronização Autônoma e Adaptativa Impactam Sistemas Multiagente

A sincronização autônoma em sistemas multiagente (MAS) é um fenômeno crucial para a coordenação eficiente de agentes em redes, especialmente quando se busca otimizar a convergência de suas dinâmicas para estados comuns. A dinâmica de consenso, em que todos os agentes convergem para um valor constante, depende fundamentalmente dos parâmetros e condições iniciais, como evidenciado nos experimentos descritos. Para que a sincronização seja alcançada, é necessário que certos parâmetros, como o ganho ρ (ρα) e a matriz de sistema, atendam a condições específicas estabelecidas nas equações diferenciais de controle.

O comportamento da sincronização autônoma em sistemas com parâmetros bem ajustados, como quando ρα = 1.3, demonstra que a convergência dos agentes para uma solução comum é possível, sendo esse processo visualizado nas figuras de consenso de dinâmica e sincronização de trajetórias. Esses gráficos evidenciam como os agentes, representados pelos vetores αi, convergem para constantes e como as trajetórias se alinham ao longo do tempo, conforme previsto pela teoria. No entanto, a convergência pode ser sensível ao valor dos parâmetros envolvidos, como mostrado em uma simulação com ρα = 0.65, onde, embora o consenso dinâmico tenha sido alcançado, a sincronização das trajetórias falhou devido à taxa mais lenta de convergência.

A aplicação dos controladores definidos pelas equações (16.13) e (16.14) visa a resolução do problema de sincronização autônoma, onde o ganho ρα deve ser suficientemente grande para garantir a convergência do sistema. A condição ρα > k{λAs max}/λ2 deve ser atendida para garantir que a rede de agentes alcance um estado sincronizado. No entanto, essa abordagem requer o conhecimento das propriedades da matriz de sistema As e do valor eigenλ2 do Laplaciano L para ser eficaz. Em muitos casos, essas informações podem ser desconhecidas ou difíceis de obter, o que leva à necessidade de desenvolver uma lei de atualização dinâmica para o ganho ρ e o parâmetro K, que substitua a dependência de As e λ2.

O desafio de projetar um sistema adaptativo, onde as atualizações dos ganhos ρi são feitas dinamicamente sem a necessidade de um conhecimento prévio completo sobre As e λ2, levou ao desenvolvimento de um problema de sincronização adaptativa autônoma. A lei de atualização proposta, que envolve um termo de saturação (sat(x)), é essencial para controlar as diferenças entre as variáveis de estado dos agentes, forçando a convergência das trajetórias dentro de limites predefinidos. Isso é crucial para sistemas em que os parâmetros variam com o tempo ou não são completamente conhecidos. O uso de um termo de saturação garante que as diferenças entre os estados dos agentes sejam limitadas, o que ajuda a evitar divergências no sistema e garante a estabilidade geral da rede.

A teoria por trás da sincronização adaptativa é demonstrada formalmente por meio de uma série de equações diferenciais que governam a evolução dos estados dos agentes. A lei de atualização para o ganho ρi, expressa pela equação (16.40), utiliza uma função de saturação para ajustar dinamicamente os ganhos ρi à medida que os agentes se aproximam de um estado de consenso. O resultado é uma sincronização mais robusta, onde o sistema é capaz de se ajustar de forma autônoma, sem precisar de um conhecimento completo sobre as propriedades de rede ou as características do sistema.

A implementação dessa abordagem adaptativa depende de condições que garantem a estabilidade do sistema fechado, como indicado pelo teorema 16.2. A integração de uma função de saturação também facilita o controle das diferenças de estado entre os agentes, prevenindo divergências que poderiam comprometer a sincronização. Essa técnica não apenas melhora a robustez do sistema frente a incertezas, mas também oferece um meio de garantir que a sincronização seja alcançada mesmo em cenários dinâmicos e variáveis.

Entender a teoria de sincronização autônoma e adaptativa é fundamental para projetar sistemas multiagente eficientes e robustos. Contudo, além do que é discutido aqui, é crucial que o leitor compreenda as limitações práticas de implementar essas soluções. Por exemplo, em sistemas reais, os parâmetros de rede e os tempos de resposta dos controladores podem não ser perfeitamente conhecidos ou podem mudar ao longo do tempo, o que exige ajustes finos na lei de atualização do ganho. Além disso, a interação entre os controladores e as características específicas de cada agente pode influenciar significativamente a taxa de convergência, tornando necessário o uso de técnicas de otimização para alcançar o desempenho desejado.

Como a Dinâmica de Sistemas Não Lineares e de Agentes Multi-Agentes Influencia no Design de Controle

No estudo dos sistemas dinâmicos não lineares, um dos conceitos fundamentais que surge é o grau relativo de um sistema. O grau relativo serve como uma medida para quantificar o número de derivadas necessárias para que o efeito de uma entrada seja observado diretamente na saída de um sistema. Para um sistema descrito por equações diferenciais não lineares, o grau relativo é definido em termos das derivadas sucessivas da saída em relação à entrada. Em outras palavras, o grau relativo reflete a posição da entrada no vetor de estados de um sistema não linear. Em sistemas com grau relativo rr, a condição necessária para sua caracterização é que a rr-ésima derivada da saída em relação ao tempo seja diretamente influenciada pela entrada, enquanto as derivadas anteriores não o são.

Um exemplo clássico de um sistema com grau relativo r=1r = 1 pode ser expresso na forma:

y˙=Lfh(x)+Lgh(x)uouy˙=CAx+CBu\dot{y} = L_f h(x) + L_g h(x) u \quad \text{ou} \quad \dot{y} = C A x + C B u

Onde Lfh(x)L_f h(x) e Lgh(x)L_g h(x) representam a aplicação de operadores diferenciais sobre a função de saída h(x)h(x), sendo que a condição Lgh(x)≠0L_g h(x) \neq 0 ou CB≠0C B \neq 0 garante que a entrada uu afete diretamente a derivada de primeira ordem da saída yy. Quando o grau relativo é r=2r = 2, a entrada pode ser observada na segunda derivada da saída. A importância do grau relativo reside em seu papel como uma ferramenta para entender o comportamento de sistemas não lineares em relação à entrada e saída, facilitando o design de estratégias de controle.

Em sistemas com grau relativo rr, podemos considerar um exemplo ilustrativo em torno do ponto de origem x=0x = 0. Suponhamos que o vetor de estados seja x=col(x0,x1,…,xr)x = \text{col}(x_0, x_1, \ldots, x_r), e que o sistema tenha a seguinte dinâmica:

x˙0=f0(x0,x1)x˙k=xk+1,k=1,…,r−1\dot{x}_0 = f_0(x_0, x_1) \quad \dot{x}_k = x_{k+1}, \quad k = 1, \ldots, r-1
x˙r=fr(x)+uy=x1\dot{x}_r = f_r(x) + u \quad y = x_1

Neste sistema, o comportamento de x˙r\dot{x}_r revela o grau relativo rr, pois ele representa a rr-ésima derivada de yy com relação ao tempo. A importância da saída y=x1y = x_1 se reflete na sua relação direta com o subsistema inverso, onde a dinâmica associada ao ponto x0=0x_0 = 0 é referida como a dinâmica zero do sistema.

Os sistemas não lineares podem ser transformados para formas canônicas por meio de uma transformação de coordenadas não lineares, uma técnica amplamente abordada em livros fundamentais sobre controle não linear. Esta transformação resulta em uma forma padrão conhecida como "forma normal". Após essa transformação, podemos incorporar incertezas e perturbações não lineares no sistema, preservando a estrutura triangular inferior, que é crucial para a aplicação de abordagens de controle.

Além disso, a forma normal é capaz de lidar com incertezas no sistema. Por exemplo, em um sistema de terceira ordem com incertezas no modelo, podemos aplicar a transformação de coordenadas para obter uma forma reduzida do sistema, com a qual o design de controle se torna mais simples. A estrutura triangular inferior garante que as incertezas podem ser modeladas e controladas de maneira eficaz, evitando complicações que poderiam surgir caso essa estrutura fosse violada. A transição para a forma normal permite que o controle do sistema seja mais acessível, mesmo quando se incorporam termos incertos, como mostrado no exemplo de um sistema com incertezas w1w_1 e w2w_2.

Em sistemas multiagentes não lineares, cada agente é descrito por suas próprias dinâmicas. Cada agente ii pode ser representado por:

x˙i=fi(xi)+gi(xi)uiyi=hi(xi)\dot{x}_i = f_i(x_i) + g_i(x_i) u_i \quad y_i = h_i(x_i)

Onde xix_i, uiu_i, e yiy_i representam o vetor de estados, a entrada e a saída do agente ii, respectivamente. Quando todos os agentes possuem dinâmicas idênticas, o sistema é denominado homogêneo. Caso contrário, se os agentes têm dinâmicas distintas, o sistema é considerado heterogêneo. Cada agente pode adotar a forma canônica com grau relativo rir_i, o que facilita o design de controle. O controle de sistemas multiagentes envolve a coordenação de vários agentes para alcançar objetivos de desempenho desejados, frequentemente necessitando de um controle projetado em rede para garantir a interação entre os agentes.

Quando consideramos sistemas não lineares em rede, a análise de cada agente pode ser tratada de forma individual, com as interações sendo introduzidas posteriormente através do design de controle. Este design pode ser desafiador, especialmente em sistemas heterogêneos, onde a variação nas dinâmicas entre os agentes exige soluções mais sofisticadas para garantir que o sistema como um todo funcione conforme o desejado.

Em todos os casos, entender a estrutura e o comportamento das dinâmicas dos sistemas não lineares e multiagentes é essencial para a criação de soluções de controle eficientes. O uso de transformações coordenadas, como a linearização entrada-saída e a preservação de estruturas triangulares inferiores, permite que o controle de sistemas complexos seja tratado de maneira mais intuitiva e eficaz. A compreensão e a aplicação desses conceitos são fundamentais para os leitores que buscam aprofundar-se no campo do controle de sistemas não lineares e multiagentes.

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