Como Compreender as Expansões Funcionais e o Teorema de Realização no Contexto de Sistemas de Controle Não-Lineares

Dado um conjunto de campos vetoriais analíticos $g_0, g_1, \dots, g_m$ e uma função real analítica $A$ definida em um domínio $U$, considera-se, em um ponto $x^\circ \in U$, a série formal de potências definida por:

Onde $L_{g_{i}} A(x^\circ)$ representa as derivadas sucessivas de $A$ na direção dos campos vetoriais. Para garantir que esta série tenha um comportamento adequado, existem números reais $K > 0$ e $M > 0$ que satisfazem a condição de crescimento indicada pela equação (3.2).

É possível associar com os campos vetoriais $g_0, \dots, g_m$ e a função $A$ uma funcional, $v(t)$, dada por:

Esse formalismo é útil para representar comportamentos dinâmicos de sistemas de controle não-lineares, onde as variáveis de entrada e os parâmetros são expressos em termos de séries formais de potências. O comportamento dessas séries fornece um meio de modelar e analisar o controle de sistemas cujas respostas podem ser descritas como funções analíticas.

Além disso, se tivermos funções analíticas $A_1, \dots, A_m$ definidas em $U$, podemos formar combinações dessas funções em um novo funcional. A composição de funcionais, por exemplo $v_i(t)$ gerados por $A_i$, leva a uma nova série de potências associada à função composta. Essa operação pode ser visualizada como uma operação de convolução entre as séries de potências associadas a $A_1$ e $A_2$, resultando em uma nova série que descreve o sistema composto.

Por exemplo, a multiplicação dos funcionais $v_1(t)$ e $v_2(t)$, definidos por funções $A_1$ e $A_2$, leva a uma combinação termodinâmica dos dois, dada por:

Essa expansão é importante para modelar interações não-lineares entre as variáveis de entrada e pode ser generalizada para o caso de múltiplas funções analíticas. O produto de séries formais é útil não apenas na teoria de controle, mas também na análise de sistemas dinâmicos complexos, onde a interdependência entre os componentes do sistema deve ser cuidadosamente modelada.

A expansão funcional de Fliess, associada à representação do sistema de controle, é uma das ferramentas centrais para a realização de sistemas de controle em teoria de sistemas não-lineares. A fórmula fundamental (ou expansão funcional de Fliess) de $y_j(t)$, ou qualquer outra variável de saída $y(t)$, pode ser expressa como uma série de potências da forma:

Aqui, $h(x)$ pode ser uma função vetorial, e a série converge uniformemente e absolutamente em um intervalo de tempo. Isso é de fundamental importância quando se trata de sistemas com saídas vetoriais, pois a expansão funcional fornece uma maneira de modelar as respostas do sistema a diferentes entradas de maneira eficiente.

Além disso, o conceito de espaço de observação $O$, que consiste nas combinações lineares dos termos da série de Fliess, é crucial para entender como a observabilidade do sistema afeta a dinâmica do mesmo. A série (3.7) é uma expansão funcional que oferece uma descrição detalhada de como o sistema responde a variações nas variáveis de entrada.

Para o controle de sistemas com múltiplas entradas, uma série de convoluções generalizadas pode ser usada para descrever a resposta do sistema. Cada termo dessa série descreve a interação entre as funções de entrada com base em seu kernel. A convergência uniforme e absoluta da série de convoluções garante que a descrição do sistema seja estável e previsível ao longo do tempo.

Por fim, a convergência das séries de potências, como expressas nas equações (3.9) e (3.10), é garantida por condições rigorosas, como as que envolvem as propriedades de crescimento das funções envolvidas e seus parâmetros. Com isso, podemos aplicar essa técnica de maneira robusta, sabendo que as representações matemáticas dos sistemas de controle permanecerão válidas mesmo para entradas altamente complexas ou não-lineares.

Como Resolver o Problema de Controle Não Interativo com Estabilidade por Feedback Estático?

O problema do controle não interativo com estabilidade através de feedback estático é abordado de forma detalhada no contexto de sistemas dinâmicos não lineares. A solvência deste problema depende de condições específicas, que devem ser verificadas a partir de aproximações lineares do sistema. Em termos gerais, o controle não interativo visa separar as dinâmicas de um sistema, de forma que as variáveis de controle atuem de maneira independente, sem interferência entre elas, enquanto ainda se garante a estabilidade do sistema.

Para que o problema seja solucionável, existem duas condições principais que precisam ser atendidas:

1. A estabilidade da aproximação linear do sistema (5.1) em x° = 0: Esta condição é essencial para garantir que o sistema possa ser estabilizado na primeira aproximação, especialmente no que diz respeito ao termo $f(x) + g(x)a(x)$. A estabilidade linear do sistema no ponto de equilíbrio $x° = 0$ é uma condição necessária, uma vez que, sem ela, não é possível alcançar a estabilidade assintótica.

2. A estabilidade assintótica da aproximação linear do sistema (7.14) em x° = 0: A segunda condição trata da estabilidade do sistema linearizado em torno de $x° = 0$ no contexto da equação (7.14). Para que o problema seja solucionável, não basta que a primeira condição seja atendida, mas também é necessário que o sistema linearizado seja assintoticamente estável, garantindo assim que as perturbações do sistema desapareçam ao longo do tempo.

Essas duas condições são, portanto, interdependentes. A necessidade da primeira condição segue diretamente da exigência de alcançar a estabilidade assintótica na aproximação linear de $f(x) + g(x)a(x)$. Já a segunda condição, que garante a estabilidade assintótica do sistema linearizado, foi previamente demonstrada.

O campo vetorial das dinâmicas zero, denotado como $f^(x)$, é obtido pela restrição do campo vetorial original $f(x)$ à subvariedade $Z*$. Em coordenadas $(x_3, x_4)$ de $Z*$, o campo vetorial das dinâmicas zero pode ser expresso por $x_3 = x_1$, $x_4 = -X4$. Note-se que o ponto $x = 0$ representa um ponto de equilíbrio instável para essas equações. Isso implica que, ao tentar resolver o problema de controle não interativo utilizando o método descrito na Seção 5.3, o sistema resultante pode ser instável.

Por essa razão, para verificar se o problema de controle não interativo com estabilidade é solucionável, é necessário calcular o campo vetorial definido na equação (7.14). Para isso, deve-se inicialmente calcular as distribuições $P*, P2*$ e $P*$, que são expressões fundamentais para a determinação das condições de solvência do problema. As distribuições podem ser determinadas usando o algoritmo definido na equação (1.39). Como exemplo, as distribuições $P*$ e $P2*$ podem ser expressas através de combinações lineares dos vetores $f(x)$, $g_1(x)$, $g_2(x)$ e outros vetores base do sistema. O feedback não interativo padrão, como o escolhido nesse contexto, leva a uma forma específica de controle, dada pela equação de feedback $o(x) = o_1x_2 + X_3$, com a função de controle correspondente a $9i(x) = -X_2e^{X3} - X4$.

Para alcançar uma solução satisfatória para o problema de controle não interativo com estabilidade, o processo envolve uma combinação precisa de ajustes nas distribuições do sistema e nas funções de controle, sempre garantindo que a estabilidade global do sistema seja preservada.

Em um nível mais profundo, é essencial que o leitor entenda não apenas as condições técnicas necessárias para a solvência do problema, mas também a importância de cada uma das distribuições e o papel do algoritmo na determinação das soluções. O algoritmo fornecido, juntamente com o feedback adequado, torna-se uma ferramenta poderosa para a análise e solução de sistemas não lineares, mas seu sucesso depende de uma compreensão sólida dos conceitos de estabilidade e controle não interativo. A análise das dinâmicas zero e das condições de estabilidade local e assintótica são pontos cruciais que devem ser cuidadosamente considerados em qualquer aplicação prática dessa teoria.