O desenvolvimento inicial dos modelos de consenso em sistemas multiagentes pode ser rastreado até pesquisas nas ciências sociais e comportamentais, especialmente na análise de redes sociais. O modelo baseado em agentes mais pioneiro foi o modelo de French-DeGroot, apresentado em publicações seminais [1, 2]. A evolução desse campo é amplamente resumida em artigos tutoriais [6, 7]. No campo da física, os modelos de consenso também foram explorados por meio de simulações computacionais [9, 14]. Uma explicação teórica para o comportamento de consenso observado no modelo de Vicsek [14] foi fornecida pela aplicação da teoria dos grafos e da teoria das matrizes, que analisou o impacto da conectividade do grafo na obtenção do consenso [3].

A abordagem em [3] depende da troca bidirecional de informações em grafos não direcionados. As propriedades da matriz Laplaciana foram utilizadas em [5] para estudar o problema de consenso de sistemas MAS de integradores de primeira ordem com grafos direcionados, exigindo que o grafo fosse fortemente conectado e balanceado. O trabalho em [8] estende esses resultados para grafos direcionados que contêm uma árvore geradora direcionada. O conteúdo da Seção 3.1 é baseado principalmente nessas descobertas. O avanço subsequente envolve estender os resultados de integradores de primeira ou segunda ordem para sistemas lineares mais gerais e invariantes no tempo. Esse desenvolvimento, centrado na comunicação de estados, pode ser encontrado em [12, 15, 17]. O conteúdo na Seção 3.2 é baseado nesses resultados; no entanto, é apresentado de forma autossuficiente, em vez de derivado diretamente de uma única referência.

O design de consenso para sistemas lineares foi ainda mais refinado para incorporar a comunicação de saída, conforme explorado em [10, 13]. Uma solução mais abrangente é fornecida em [11], e a Seção 3.3 baseia-se principalmente nesta referência. Além disso, avanços adicionais em sistemas multiagentes lineares, especialmente aqueles envolvendo agentes heterogêneos, foram explorados em [4, 16]. Contudo, esses tópicos não são abordados neste livro, que foca em agentes heterogêneos com dinâmicas não lineares.

Na pesquisa de sistemas não lineares homogêneos, o foco está em alcançar consenso em uma classe de sistemas não lineares homogêneos, que podem ser vistos como instâncias específicas de um sistema geral. Para facilitar a análise de sistemas não lineares em rede, considera-se um cenário simplificado onde as dinâmicas do sistema apresentam menor variação. Suponha-se uma matriz de controle identidade e não linearidades homogêneas sem incertezas. Assim, a dinâmica do sistema pode ser descrita pela equação

s˙i=Assi+Esgs(si)+ui,qi=Cssi,i∈N,\dot{s}_i = A_s s_i + E_s g_s(s_i) + u_i, \quad q_i = C_s s_i, \quad i \in \mathbb{N},

onde gsg_s é uma função não linear continuamente diferenciável. Esse sistema representa um sistema de controle totalmente atuado, onde todos os graus de liberdade podem ser controlados diretamente através dos atuadores disponíveis. Além disso, a função não linear é precisamente conhecida e não contém parâmetros desconhecidos. Caso a função gs(si)g_s(s_i) seja diretamente cancelada por uiu_i para cada agente, o sistema se torna linearizado por feedback, e o consenso pode ser alcançado utilizando os métodos estudados no capítulo anterior. No entanto, em alguns cenários, opta-se por não cancelar gs(si)g_s(s_i), pois é crucial manter as características não lineares no comportamento dos agentes ao alcançar o consenso, como em osciladores não lineares. Ou seja, o objetivo é alcançar consenso no padrão

s˙0=as(s0),\dot{s}_0 = a_s(s_0),

onde as(s0)=Ass0+Esgs(s0)a_s(s_0) = A_s s_0 + E_s g_s(s_0). Com essa função asa_s, o sistema pode ser reescrito como

s˙i=as(si)+ui,i∈N.\dot{s}_i = a_s(s_i) + u_i, \quad i \in \mathbb{N}.

Além disso, o capítulo investiga uma rede especial de líder-seguidor introduzida no Remark 2.1. A suposição da rede é explicitamente declarada como segue:

Suposição 4.1 O grafo GG de uma rede direcionada NN é um grafo de líder-seguidor. Sob esta suposição, o agente 1 serve como líder ao longo de todo o capítulo, sem perda de generalidade. Isso implica que o padrão de consenso é determinado pela dinâmica do líder, ou seja, do agente 1, uma vez que o consenso seja alcançado.

Em relação ao controle de sistemas não lineares, o capítulo explora abordagens de controle com alto ganho linear para sistemas não lineares em rede. Embora a abordagem linear possa parecer simples, ela é capaz de lidar com certos tipos de sistemas não lineares específicos. A eficácia do controlador linear é avaliada através da suposição de que o conjunto de matrizes que caracteriza a parte linear do sistema esteja em uma forma primária, como ilustrado na equação

As=[0⋯010⋯⋮⋱⋱],Es=[0⋮1],Cs=[10⋯].A_s = \begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & \cdots \\ \vdots & \ddots & \ddots \end{bmatrix}, \quad E_s = \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}, \quad C_s = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots \end{bmatrix}.

A adoção de tais controladores pode simplificar a análise e permitir o design de sistemas mais robustos, mesmo diante de não linearidades intrínsecas dos agentes. No entanto, a efetividade desta abordagem depende da correta caracterização das dinâmicas do sistema e da capacidade do controlador de lidar com as interações não lineares de forma adequada.

Em alguns casos, os controladores não lineares são necessários para lidar com mais generalidade nas não linearidades e estruturas do sistema. O uso de controladores específicos para tais cenários permite que o consenso seja alcançado mesmo quando os sistemas exibem comportamentos mais complexos que os simples controladores lineares não podem tratar adequadamente.

Outro avanço significativo é a adaptação de controladores para garantir uma convergência de consenso em tempo fixo, o que representa um passo crucial para aplicações práticas em sistemas de controle real-time e distribuído. Ao permitir que todos os agentes de uma rede multiagente converjam para um consenso em um tempo pré-determinado, é possível garantir a eficiência e a previsibilidade no comportamento da rede.

Como a Comunicação Dinâmica Filtrada Pode Impactar Redes de Agentes Autônomos em Sistemas de Ordem Superior

Em um cenário de redes de agentes autônomos, é essencial que a comunicação entre os agentes seja adaptada para lidar com as dinâmicas complexas que surgem em sistemas de ordem superior. Um exemplo disso é o sistema de segunda ordem, descrito pela equação:

s˙i=Assi+Bs[gi(vi,wi)+ui],i∈N\dot{s}_i = A_s s_i + B_s[g_i(v_i, w_i) + u_i], \quad i \in \mathbb{N}

onde uiu_i é o controle aplicado ao agente ii, e gi(vi,wi)g_i(v_i, w_i) descreve uma função não linear associada ao comportamento do sistema. Quando se lida com sistemas de ordem superior, como o acima, as dificuldades de estabilidade e de consenso entre os agentes aumentam significativamente, especialmente quando redes de comunicação variáveis entram em cena.

O Impacto das Redes de Comunicação Variáveis

Considerando uma rede de comunicação em troca de estados, a dinâmica do sistema se altera, refletindo um controle mais complexo. Quando o sistema passa a depender de uma rede de comunicação com estados alternantes, a dinâmica do estado sis_i passa a ser denotada como sσ(t)(t)s_{\sigma(t)}(t), onde σ(t)\sigma(t) refere-se ao comportamento de comutação da rede em um dado momento.

O controlador para esse tipo de rede de comunicação pode ser descrito pela equação:

ui=−Ksσ(t)(t)+ξi−εi(vi)u_i = - K s_{\sigma(t)}(t) + \xi_i - \varepsilon_i(v_i)

onde ξi\xi_i é uma variável de compensação e εi(vi)\varepsilon_i(v_i) é um erro do sistema, com as dinâmicas de compensação sendo governadas pela equação:

ξ˙i=−dεi(vi)Ksσ(t)(t)\dot{\xi}_i = - d\varepsilon_i(v_i) K s_{\sigma(t)}(t)

A introdução de uma rede de comunicação com estados alternantes gera desafios adicionais, pois as propriedades de estabilidade e consenso dos agentes se tornam muito mais difíceis de alcançar.

Controladores com Estado Filtrado

A fim de melhorar a comunicação entre os agentes e mitigar os problemas causados pela troca de estados na rede, uma estratégia comum é a introdução de um estado filtrado s^i\hat{s}_i, como descrito na equação:

ui=−Ks^i+ξi−εi(vi)u_i = - K \hat{s}_i + \xi_i - \varepsilon_i(v_i)

Esse estado filtrado permite que as diferenças entre os estados dos agentes e as comunicações da rede sejam suavizadas, ajudando a alcançar uma performance mais eficiente. A dinâmica filtrada do estado s^i\hat{s}_i é dada por:

s^˙i=(As−BsK)s^i+κ(sσ(t)(i)−s^σ(t)(i))\dot{\hat{s}}_i = (A_s - B_s K) \hat{s}_i + \kappa(s_{\sigma(t)}(i) - \hat{s}_{\sigma(t)}(i))

onde κ\kappa é uma constante ajustável que representa a intensidade da filtragem. A eficácia dessa modificação no controlador é evidente na melhoria da estabilidade do sistema, embora, em alguns casos, o consenso entre os agentes ainda não seja alcançado devido às complexas interações dinâmicas.

Análise da Estabilidade e Desafios na Implementação

Com a introdução de um estado filtrado, o sistema fechado resulta em uma série de equações interdependentes que, em muitos casos, se tornam ainda mais difíceis de analisar. A dinâmica global dos agentes é afetada por transformações coordenadas que alteram as equações de estado, resultando em:

s˙=(IN⊗As)s−(IN⊗BsK)s^+(IN⊗Bs)[g(v,w)+ξ−ε(v)]\dot{s} = (I_N \otimes A_s) s - (I_N \otimes B_s K) \hat{s} + (I_N \otimes B_s)[g(v, w) + \xi - \varepsilon(v)]

Essa reorganização da dinâmica do sistema envolve uma troca de estados que podem ser descritos por variáveis como η\eta e η^\hat{\eta}, cujas interações precisam ser cuidadosamente monitoradas para garantir que a estabilidade do sistema seja mantida. No entanto, em sistemas de ordem superior, o comportamento das dinâmicas pode se tornar muito mais instável, levando à necessidade de uma análise mais profunda sobre a convergência e estabilidade.

Desafios Adicionais em Sistemas de Ordem Superior

O principal desafio ao lidar com sistemas de ordem superior, como os de segunda ordem, é garantir que as dinâmicas filtradas e os parâmetros do controlador, como KK, κ\kappa, e ρ \rho, se ajustem adequadamente para preservar a estabilidade e o consenso. Quando a rede de comunicação alterna seus estados, os controladores devem ser ajustados para lidar com as oscilações nas interações entre os agentes, sem que o sistema se torne instável.

Além disso, a introdução de variáveis dinâmicas adicionais, como a δ\delta, que representa as diferenças nos estados dos agentes, e a complexidade das interações entre essas variáveis, tornam a análise de estabilidade ainda mais difícil. O sistema descrito por:

δ˙=(G(v,w)−E(v))δ−G(v,w)[(IN⊗K)s]\delta \dot{} = (G(v,w) - E(v)) \delta - G(v,w) \left[(I_N \otimes K) s\right]

representa uma interação não trivial entre as variáveis de controle e as variáveis de erro, o que demanda o uso de técnicas avançadas de análise de sistemas comutáveis e de controle adaptativo.

Conclusão

A introdução de filtros dinâmicos e a comunicação filtrada em redes de agentes autônomos de ordem superior são fundamentais para melhorar a estabilidade e a performance dos sistemas. No entanto, é necessário um estudo detalhado das interações entre as diferentes variáveis do sistema, e o ajuste adequado dos parâmetros do controlador. A estabilidade e o consenso podem ser alcançados, mas os desafios aumentam consideravelmente à medida que a ordem do sistema cresce, exigindo métodos de análise e controle mais sofisticados.

Como a Sincronização de Modelos de Referência Pode Ser Alcançada em Sistemas Multiagente?

O problema de correspondência assintótica de modelos em sistemas dinâmicos está intimamente relacionado à capacidade de um sistema multiagente (MAS) de atingir sincronização com um modelo de referência determinado, geralmente visando um desempenho desejado em termos de estabilidade e precisão. Esse desafio se torna ainda mais complexo quando introduzimos controladores e interações entre agentes, exigindo uma análise detalhada da dinâmica do sistema e das condições necessárias para garantir uma solução eficaz.

No contexto de um sistema multiagente, como descrito no Teorema 10.1, consideramos um sistema de controle baseado em um modelo de referência específico. Neste cenário, a dinâmica do MAS é dada por uma equação diferencial que depende de matrizes de controle e interações entre agentes. A principal condição para que a correspondência assintótica de modelos seja alcançada é a estabilidade dos sistemas de controle individuais, representados por matrizes AiA_i, BiB_i e CiC_i, que devem ser controláveis e satisfazer certas equações reguladoras. O controlador, expresso como KxK_x, é escolhido de modo que a matriz AxA_x seja Hurwitz, o que implica na estabilidade assintótica do sistema.

A prova do Teorema 10.1 ilustra como a dinâmica do sistema, após transformações coordenadas apropriadas, resulta em uma condição em que o erro de sincronização ei(t)=yi(t)−qi(t)e_i(t) = y_i(t) - q_i(t) converge para zero quando o tempo tende ao infinito. Isso significa que os estados dos agentes no MAS convergem para o modelo de referência, garantindo que o sistema atenda ao comportamento desejado.

É importante destacar que a condição necessária para o sucesso da correspondência de modelos assintóticos é que o par (Ai,Bi)(A_i, B_i) seja controlável. Caso contrário, a correspondência entre o modelo de referência e o comportamento real do sistema não será possível, independentemente das técnicas de controle empregadas. Além disso, a existência de soluções para as equações reguladoras, que vinculam as variáveis de estado e controle, é crucial para a construção do controlador adequado.

No Teorema 10.2, a situação é expandida para sistemas mais complexos, onde a interação entre agentes é modelada através de uma rede de comunicação. O controlador é modificado para incluir um termo que permita sincronizar os agentes de maneira mais eficiente. A condição de estabilidade, agora expressa pela matriz AζA_\zeta, deve ser Hurwitz para garantir a convergência do sistema. Nesse contexto, a sincronização das saídas dos agentes é alcançada, como indicado pela condição de consenso no padrão definido em (2.65), onde os estados dos agentes convergem para um valor comum ao longo do tempo.

Para ilustrar as ideias teóricas, um exemplo numérico é fornecido, mostrando como as condições do Teorema 10.1 podem ser aplicadas a um MAS com seis agentes. As matrizes AiA_i, BiB_i e CiC_i para os diferentes agentes são especificadas, e as simulações confirmam a eficácia do controlador em alcançar a sincronização desejada. No entanto, a introdução de incertezas no sistema pode comprometer o desempenho do controlador. Isso é evidente quando os parâmetros de um MAS incerto não atendem mais às condições exigidas, levando a falhas na sincronização do sistema.

Essas falhas podem ocorrer porque, com incertezas, a solução das equações reguladoras se torna dependente dos parâmetros incertos wiw_i, o que dificulta a construção do controlador de forma fixa. Essa situação é analisada de forma detalhada no próximo capítulo, onde se busca uma solução robusta para sistemas com incertezas, mantendo a mesma estrutura de modelo de referência, mas relaxando as condições de controle.

Ao considerar incertezas, o objetivo de correspondência assintótica de modelos robustos é ajustado para garantir que o sistema permaneça estável e atinja um comportamento próximo ao desejado, mesmo diante de perturbações externas. Esse controle robusto pode ser formulado através de uma matriz Γi(wi)\Gamma_i(w_i), que permite uma adaptação ao sistema dinâmico com base nas incertezas presentes. Com isso, o modelo alternativo de referência é ajustado para permitir uma maior flexibilidade, ainda que as variáveis de estado ou de saída não possam ser diretamente medidas devido à incerteza dos parâmetros do sistema.

Esse desenvolvimento de controladores robustos é essencial para garantir que o sistema multiagente possa operar de maneira eficiente, mesmo diante de mudanças imprevistas nas condições de operação ou de incertezas nos parâmetros do modelo. A robustez do controlador permite que o sistema continue a atingir a sincronização desejada, mesmo em condições adversas.

Como a Sincronização e Regulação de Sistemas Não Lineares Impactam o Projeto de Controladores

A regulação de um sistema envolve o design de um controlador de feedback que direciona a saída do sistema para seguir uma trajetória temporal específica, incluindo o caso especial em que essa trajetória é constante. A principal preocupação aqui é garantir que a trajetória do sistema permaneça dentro de limites controlados. Já o problema de estabilização, que geralmente é formulado para sistemas individuais, se torna mais complexo quando lidamos com múltiplos sistemas interconectados. Nesse contexto, o desempenho no estado estacionário não pode ser formulado como uma constante ou trajetória pré-determinada para cada sistema individualmente, mas como um acordo entre os sistemas. Isso significa que os sistemas podem concordar com qualquer trajetória, desde que não esteja previamente definida, e o design de um controlador que promova essa concordância é denominado sincronização.

Sincronizar múltiplos sistemas exige uma abordagem cooperativa através do design de controle ao longo de toda a rede de sistemas. O problema de sincronização está diretamente ligado ao problema de regulação de cada subsistema, que por sua vez depende da estabilização desses sistemas. Em essência, se não conseguirmos projetar um controlador para um sistema que consiga atingir a regulação, também não conseguiremos projetar controladores para múltiplos sistemas atingirem a sincronização. Similarmente, se não conseguirmos estabilizar um sistema, não conseguiremos projetá-lo para regulação. Dessa forma, as técnicas mais avançadas frequentemente convertem problemas de sincronização ou regulação em problemas de estabilização, utilizando, por exemplo, o teorema de Lyapunov para a análise de sistemas não lineares.

A análise de estabilidade do sistema de malha fechada é fundamental para guiar o design do controlador, particularmente em sistemas não lineares. Ao lidar com sistemas não lineares, a principal técnica de análise recai sobre o estudo da estabilidade, que, ao ser adequadamente abordada, pode converter os problemas de sincronização e regulação em desafios de estabilização. A regulação e estabilização representam, portanto, desafios fundamentais nesses sistemas, e a compreensão dos conceitos e resultados básicos relacionados a esses problemas é essencial.

Quando se fala em sistemas de controle, o desempenho transitório refere-se ao comportamento do sistema enquanto ele se ajusta para alcançar seu estado estacionário. Esse desempenho é um fator crucial na hora de projetar controladores, pois envolve aspectos como a taxa de convergência, que define quão rápido o sistema atinge um estado estacionário, seja ele uma condição de equilíbrio constante ou uma trajetória específica. O conceito de convergência exponencial é relevante, pois ele indica que a taxa de convergência segue um padrão de decaimento exponencial, ou seja, o sistema se aproxima do estado desejado de maneira mais rápida e eficiente. Já a convergência em tempo fixo ou finito garante que o sistema atinja o estado estacionário dentro de um intervalo de tempo predeterminado, o que pode ser crucial em muitos cenários em que a rapidez da resposta é fundamental.

Em relação a outras características do comportamento transitório, os fenômenos de overshoot e undershoot, ou sobrecarga e subcarga, são comuns em muitos sistemas dinâmicos. Esses efeitos indesejados ocorrem quando a resposta do sistema excede ou fica abaixo do valor desejado durante o processo de ajuste ao estado de equilíbrio. Para evitar esses problemas, é preciso um ajuste preciso dos parâmetros do sistema ou a implementação de técnicas de controle que otimizem as características da resposta transitória, minimizando tanto o overshoot quanto o undershoot.

Além de minimizar essas oscilações transitórias, alguns sistemas exigem um desempenho prescrito, no qual parâmetros específicos precisam ser atendidos durante a operação. O desempenho ótimo, por outro lado, envolve a busca pela melhor performance possível dentro de determinados critérios ou objetivos. Isso pode exigir uma análise detalhada de todos os possíveis índices de desempenho transitório, que, embora importantes, podem não ser abordados de maneira exaustiva neste contexto.

Outro aspecto relevante no design de controladores envolve o controle de condições específicas para sistemas dinâmicos. O uso de controladores estáticos ou dinâmicos depende da necessidade ou não de armazenar informações de estados anteriores. Controladores de feedback de estado se baseiam no conhecimento completo do estado do sistema, enquanto controladores de feedback de saída usam apenas uma parte dos estados do sistema, geralmente os valores medidos de saída, o que torna o controle mais simples, porém menos potente. Esse equilíbrio entre a complexidade do controlador e a quantidade de informações disponíveis é fundamental para um bom desempenho.

Em sistemas em rede, o controle de comunicação entre os estados pode ser feito de maneira centralizada ou distribuída. No controle centralizado, um único controlador toma todas as decisões para o sistema, enquanto no controle distribuído, múltiplos controladores, trabalhando com informações locais, colaboram para alcançar um objetivo comum. A escolha entre esses dois tipos de controle depende de fatores como a topologia da rede e a natureza das informações disponíveis.

A topologia da rede pode ser direta ou indireta, e essa estrutura pode mudar ao longo do tempo, o que impõe desafios adicionais no design do controlador. Além disso, a transmissão do sinal na rede pode envolver modulação, o que torna o controle ainda mais complexo, especialmente quando se trata de sistemas com modulação de frequência. Isso exige uma abordagem mais robusta para garantir que o controlador seja eficaz, mesmo diante das variações e desafios da comunicação entre sistemas distribuídos.

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