Como Determinar a Solução de Elasticidade Exata para Torção em Secções Transversais Retangulares e Estudo das Secções Finas e Abertas

A solução exata de elasticidade para torção em uma secção transversal retangular envolve uma análise detalhada do torque líquido e da tensão máxima de cisalhamento, representada por $\tau_{\text{max}}$ . O torque está relacionado à taxa de torção, dada pela fórmula:

T = G \hat{J} \varphi'

Onde $T$ é o torque, $G$ é o módulo de elasticidade de cisalhamento, $\varphi'$ é a taxa de torção e $\hat{J}$ é a constante de torção. A constante de torção $\hat{J}$ para uma secção retangular é dada pela expressão:

\hat{J} = \frac{1}{3} h t^3 \left(1 - \beta_J \right)

Aqui, $h$ e $t$ representam, respectivamente, a altura e a espessura da secção transversal, enquanto $\beta_J$ é um coeficiente que depende da razão entre $h$ e $t$ , que varia conforme mostrado nas figuras da seção. As equações envolvem somatórios infinitos, mas estes convergem rapidamente, requerendo apenas alguns termos para resultados precisos.

Para secções finas retangulares, as aproximações para a constante de torção e a tensão de cisalhamento máxima são dadas por:

\hat{J} = \frac{1}{3} h t^3 \quad \text{e} \quad \tau_{\text{max}} = \frac{T}{t \hat{J}}

Essas fórmulas demonstram ser bastante precisas para secções finas, tornando-se uma base fundamental para análises subsequentes de secções com múltiplos segmentos retangulares. A constante de torção para uma secção aberta pode ser generalizada pela fórmula:

\hat{J} = \sum_{i=1}^N \frac{1}{3} h_i^3 t_i

Onde $h_i$ e $t_i$ são a altura e a espessura de cada segmento retangular, e $N$ é o número total de segmentos. No caso de peças curvas, a altura $h_i$ será a distância do arco da linha central. A tensão máxima de cisalhamento em uma secção aberta e fina também pode ser aproximada por:

\tau_{\text{max}} = \frac{T}{t_i \hat{J}}

Isso indica que a maior tensão de cisalhamento ocorre na peça mais espessa da secção.

Em um exemplo prático, a determinação da constante de torção de uma viga I de altura $h$ , largura $b_f = h/2$ , espessura da flange $t_f = h/10$ e espessura da alma $t_w = h/15$ é dada por:

\hat{J} = \frac{1}{3} h^3 t_w + \left( \frac{1}{3} b_f t_f^3 \right)

Contrastando este valor com o momento polar de inércia, é possível perceber como as secções abertas e finas são muito mais flexíveis à torção em comparação com as secções sólidas.

Nos casos de torção em barras com restrição ao warping, onde o efeito de restrição ao warping aumenta a rigidez da barra, os resultados podem ser alterados. Contudo, a análise de barras finas com restrição ao warping vai além do escopo deste capítulo, pois essas tensões podem ser significativamente diferentes das tensões de cisalhamento puras.

Por fim, em secções transversais fechadas finas, as tensões de cisalhamento se desenvolvem de forma semelhante às observadas em barras circulares, com a diferença de que o fluxo de cisalhamento $q(x)$ se mantém constante ao longo da secção, sendo função apenas da espessura do material. O comportamento de torção dessas barras é caracterizado por uma distribuição constante de tensões de cisalhamento ao longo da espessura da parede, sem variações significativas de normal. O estudo de secções fechadas requer a análise do comportamento do fluxo de cisalhamento ao longo do contorno da secção, o que é fundamental para uma descrição precisa das tensões e da distribuição do torque.

Como Resolver Problemas de Barras Axiais Estaticamente Indeterminadas

A análise de barras axiais sujeitas a forças internas ou externas é um aspecto fundamental na engenharia estrutural. Porém, quando a barra está fixada nas duas extremidades, ela se torna um exemplo clássico de sistema estaticamente indeterminado. Em tais situações, não é possível determinar as forças de reação apenas com as equações de equilíbrio estático. Este capítulo aborda como lidar com problemas desse tipo, utilizando um conjunto completo de equações que inclui o equilíbrio, a deformação-deslocamento, a lei de Hooke e as condições de contorno.

Em um problema simples de barra axial, a força interna axial $N(x)$ pode ser completamente determinada pelas equações de estática. Uma vez conhecida a força interna, o deslocamento axial $u(x)$ pode ser obtido por meio da equação diferencial associada à deformação do material. Quando uma barra é fixa nas duas extremidades, como em um problema típico de barra fixa-fixa, surgem dificuldades adicionais. Nesse caso, não é possível resolver unicamente as forças de reação utilizando apenas as equações de equilíbrio estático, já que há duas forças desconhecidas e apenas uma equação de equilíbrio global.

Para resolver esse tipo de problema, é necessário incluir as equações de cinemática, que relacionam o deslocamento à força interna, e aplicar as condições de contorno de deslocamento. Em sistemas estaticamente indeterminados, o número de condições de contorno sobre o deslocamento é maior do que nos problemas estáticos determinados, o que permite resolver as forças de reação desconhecidas. Este conceito é essencial para entender como a estrutura responde a diferentes tipos de carga e fixações.

No exemplo clássico de uma barra fixa-fixa sujeita a uma carga linearmente crescente $p_o$ aplicada na extremidade direita, o primeiro passo é estabelecer a função de carregamento $p(x)$ , que pode ser expressa como uma função linear do tipo $p(x) = ax + b$ , onde os coeficientes $a$ e $b$ são determinados pelas condições de carga. A análise das forças internas segue com a formulação do equilíbrio da barra inteira, levando em conta o efeito da carga distribuída. A partir disso, obtemos uma relação entre as forças de reação desconhecidas, que ainda não podem ser determinadas unicamente pela estática.

O próximo passo é usar a equação de deformação-deslocamento para relacionar a força interna $N(x)$ ao deslocamento axial $u(x)$ . Este processo resulta em uma equação diferencial que pode ser resolvida, mas que ainda contém as forças de reação desconhecidas. Por meio das condições de contorno, como $u(0) = 0$ e $u(L) = 0$ , conseguimos calcular essas forças de reação e completar a solução para o deslocamento $u(x)$ .

A solução final para o problema, incluindo as forças de reação $R_A$ e $R_B$ , bem como o deslocamento axial $u(x)$ , pode ser obtida substituindo os valores das forças de reação na equação do deslocamento. Além disso, é sempre recomendável verificar as unidades e a consistência das equações para garantir que o resultado seja fisicamente plausível. No caso deste problema específico, as forças de reação $R_A$ e $R_B$ devem ser negativas, já que elas devem resistir à direção da carga aplicada.

Outro ponto importante é a diferença entre os problemas estaticamente determinados e indeterminados. Embora o processo de resolução envolva um número maior de condições de contorno em problemas indeterminados, o conceito de equilíbrio estrutural e as equações de deformação-deslocamento permanecem fundamentais. Em última análise, a solução desses problemas não se dá apenas pela aplicação das leis de estática, mas pela combinação de diferentes abordagens, envolvendo cinemática e propriedades materiais.

Além disso, quando se trabalha com barras não prismáticas — ou seja, com barras cujo seção transversal varia ao longo de seu comprimento — as equações governantes permanecem basicamente as mesmas, mas a forma do material e suas propriedades precisam ser tratadas adequadamente para refletir a variação da área da seção.

É importante notar que, em problemas estaticamente indeterminados, o balanço entre as forças reacionais e as condições de contorno torna-se crucial para encontrar a solução correta. Esse processo reforça a ideia de que o número de equações necessárias para resolver um sistema depende da natureza das condições de contorno e da distribuição das cargas aplicadas.

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