Como Entender e Utilizar Matrizes de Rotação

As matrizes de rotação desempenham um papel fundamental na descrição da orientação e do movimento de corpos rígidos no espaço tridimensional. Elas têm múltiplas interpretações geométricas que são essenciais para quem estuda cinemática ou trabalha com sistemas que envolvem transformações de coordenadas.

A rotação de um corpo rígido no espaço pode ser visualizada como a mudança de orientação de um sistema de coordenadas. Por exemplo, ao rotacionar um sistema de coordenadas $O$ em torno de um eixo $z$ por um ângulo $\alpha$, a matriz de rotação associada é dada por:

Essa matriz descreve como as coordenadas de qualquer ponto no sistema de referência original $O$ são transformadas para o sistema rotacionado $O'$. De maneira similar, se a rotação ocorrer em torno dos eixos $x$ ou $y$, as matrizes de rotação são obtidas por meio de transformações trigonométricas correspondentes.

Uma das propriedades importantes das matrizes de rotação é que elas são inversíveis. A inversa de uma matriz de rotação é simplesmente sua transposta:

Essa propriedade é útil quando é necessário reverter uma rotação ou quando se deseja entender como a orientação de um sistema de coordenadas pode ser recuperada após uma transformação.

Além disso, as matrizes de rotação podem ser usadas como operadores que aplicam a rotação a um vetor. Quando um vetor $\mathbf{p}$ é multiplicado por uma matriz de rotação $R$, o resultado $\mathbf{p'}$ é o vetor $\mathbf{p}$ rotacionado. Essa operação pode ser expressa como:

A norma do vetor $\mathbf{p'}$ permanece a mesma que a de $\mathbf{p}$, pois a rotação não altera as magnitudes dos vetores, apenas sua direção.

Isso permite a troca de coordenadas entre diferentes sistemas de referência com uma única operação matemática.

Portanto, ao realizar múltiplas rotações, é crucial estar atento à sequência das transformações, pois a ordem das operações afeta o resultado final.

Ademais, apesar das matrizes de rotação oferecerem uma descrição globalmente válida para a orientação de um corpo rígido, elas envolvem nove elementos, dos quais três são redundantes, devido às condições de ortonormalidade. Essas redundâncias podem ser eliminadas, oferecendo uma descrição mais compacta da orientação, geralmente utilizando apenas três parâmetros independentes, o que caracteriza uma representação mínima da orientação no espaço.

Importância Adicional

Como Controladores Adaptativos Garantem Rastreabilidade de Trajetórias em Espaço de Juntas: Uma Abordagem Baseada em Passividade

O sistema descrito na equação (6.54) é dependente do tempo, o que se deve à dependência de $\sigma$ na trajetória desejada $q_d(t)$. Essa dependência pode ser verificada ao reescrever o sistema nas variáveis de estado originais $(q, \dot{q})$. A estabilidade assintótica global, no entanto, pode ser garantida aplicando o lema de Barbalat (Apêndice D.2), que assegura que o erro de rastreamento eventualmente desaparecerá, desde que a função $V$ seja limitada inferiormente por zero, $\dot{V}$ seja não-positiva e $\ddot{V}$ seja limitada.

A propriedade que permite a criação de uma versão adaptativa simples do controlador de rastreamento acima é a linearidade nos parâmetros do modelo dinâmico do robô. Em geral, as equações não-lineares do movimento podem sempre ser expressas de forma linear em relação a um conjunto adequado de coeficientes dinâmicos constantes. Isso pode ser visto na equação (5.83), que permite escrever o modelo dinâmico de forma simplificada como $M(q)\ddot{q} + C(q, \dot{q})\dot{q} + g(q) = Y(q, \dot{q}, \ddot{q})\rho$, onde $\rho$ é um vetor de coeficientes dinâmicos de dimensão $r$, e $Y$ é a matriz de regressores correspondente, dependente da posição, velocidade e aceleração das juntas.

O esquema adaptativo modifica a estimativa $\hat{\rho}$ como parte da lei de controle, tornando o controlador dinâmico em vez de estático. Assim, para investigar as propriedades de estabilidade do sistema resultante, a função de Lyapunov é expandida para incluir esses estados adicionais:

onde $K_\rho$ é uma matriz simétrica positiva definida. Essa função é positiva definida em qualquer vizinhança do equilíbrio desejado $(e = 0, \dot{e} = 0, \tilde{\rho} = 0)$, e radialmente não limitada. O tempo derivado dessa função, dado por $\dot{V}$, é não-positivo, o que leva à conclusão de que o erro de rastreamento irá eventualmente desaparecer.

Este controle adaptativo resolve um problema direto de controle adaptativo, em vez de um problema indireto mais complexo, que exigiria a identificação simultânea dos coeficientes dinâmicos. A convergência do erro de rastreamento a zero é garantida pela estrutura do controlador, sem a necessidade de identificar explicitamente os coeficientes dinâmicos. Caso a condição de persistência de excitação seja atendida, o erro de rastreamento também será eliminado rapidamente, sem a necessidade de transientes no início da execução de uma nova trajetória desejada.

Além disso, o controlador adaptativo pode ser modificado para usar um número maior de parâmetros dinâmicos, como uma estimativa completa do conjunto de parâmetros dinâmicos do robô, o que garantirá a convergência do erro de rastreamento a zero. No entanto, isso aumentaria a complexidade computacional da lei adaptativa, sem melhorar significativamente suas propriedades de convergência.