Jakie matematyczne podstawy stoją za sieciami neuronowymi?

Sieci neuronowe, które są jedną z kluczowych technologii sztucznej inteligencji, mogą na pierwszy rzut oka wydawać się czymś zupełnie niezrozumiałym i tajemniczym. W rzeczywistości jednak ich matematyczne podstawy są oparte na klasycznych zagadnieniach z algebry liniowej, analizy matematycznej oraz teorii optymalizacji. Te podstawowe narzędzia pozwalają na zrozumienie mechanizmów, które leżą u podstaw funkcjonowania sieci neuronowych i ich zdolności do nauki.

Ważnym aspektem w pracy sieci neuronowych jest ich zdolność do „uczenia się” – oznacza to, że na początku procesu treningowego sieć nie posiada żadnej informacji o tym, jak rozwiązać konkretne zadanie. Dopiero w trakcie treningu sieć dostosowuje swoje połączenia wewnętrzne, minimalizując błąd w przewidywanych wynikach, aż do uzyskania optymalnej odpowiedzi. Ta iteracyjna procedura jest podstawą algorytmu uczenia, który jest wykorzystywany w praktyce do nauki sieci neuronowych.

Aby zrozumieć matematyczną stronę działania sieci, należy przyjrzeć się kilku kluczowym pojęciom. Jednym z nich jest backpropagation, czyli algorytm propagacji wstecznej, który został zaprezentowany przez Seppo Linnainmaa w 1970 roku. Backpropagation umożliwia efektywne dostosowanie wag w sieci, obliczając gradienty błędów i modyfikując parametry w kierunku minimalizacji funkcji kosztu. Ten algorytm zrewolucjonizował wydajność sieci neuronowych, umożliwiając ich skuteczne uczenie w bardziej skomplikowanych zadaniach.

Sieci neuronowe różnią się od klasycznych metod statystycznych, które działają na zasadzie reguł opartych na z góry określonych parametrach. Główną różnicą jest to, że sieci neuronowe uczą się z danych, bez konieczności ręcznego definiowania reguł czy funkcji matematycznych. Proces uczenia polega na dostosowywaniu parametrów w taki sposób, aby uzyskać jak najlepsze przybliżenie rzeczywistych danych wejściowych i wyjściowych.

Matematyczna definicja sieci neuronowych jest zatem ściśle związana z podstawami algebry liniowej. Przykładem może być analiza funkcji w przestrzeni wektorowej, gdzie macierze odpowiadające wagom połączeń w sieci neuronowej są wykorzystywane do reprezentacji procesów przepływu informacji przez różne warstwy sieci. Kluczowe pojęcia, takie jak symmetric matrices czy positive semidefinite matrices, odgrywają ważną rolę w optymalizacji parametrów sieci oraz w analizie jej efektywności.

Z kolei zasada singular value decomposition (rozkład wartości osobliwych) jest wykorzystywana do rozkładania dużych zbiorów danych na mniejsze komponenty, co pozwala na lepsze zrozumienie struktury danych i poprawia efektywność modelu. W tym kontekście, różne metody dekompozycji, takie jak PCA (Principal Component Analysis), są niezbędne do analizy danych wejściowych i selekcji cech, które są istotne dla poprawnego działania sieci neuronowej.

Ważnym zagadnieniem jest również kwestia overfittingu i underfittingu, czyli problemów związanych z przeuczeniem oraz niedouczeniem sieci. Overfitting występuje wtedy, gdy model jest zbyt skomplikowany i dopasowuje się za bardzo do danych treningowych, tracąc zdolność generalizacji na nowych, nieznanych danych. Z kolei underfitting ma miejsce, gdy model jest zbyt prosty i nie jest w stanie uchwycić skomplikowanej struktury danych. W celu uniknięcia tych problemów, sieci neuronowe wymagają odpowiedniego doboru architektury oraz technik regularizacji.

Dodatkowo, w kontekście zastosowań praktycznych, sieci neuronowe znalazły szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach, takich jak rozpoznawanie obrazów, analiza danych medycznych, rozpoznawanie mowy czy też w finansach. Celem jest wykorzystanie tych zaawansowanych metod matematycznych do rozwiązywania problemów, które wcześniej wydawały się zbyt trudne lub niemożliwe do rozwiązania za pomocą tradycyjnych algorytmów.

Przy pracy z sieciami neuronowymi niezwykle istotne jest zrozumienie pojęć związanych z optymalizacją. Minimizacja funkcji kosztu, dobór odpowiednich algorytmów optymalizacyjnych, a także analiza wyników w kontekście różnych funkcji aktywacji to podstawowe elementy skutecznego projektowania modeli. Takie podejście pozwala na tworzenie sieci, które potrafią uczyć się z danych i dostarczać trafnych prognoz, nawet w trudnych, zmiennych warunkach.

Jak wykrywanie i usuwanie odstających wartości wpływa na proces uczenia maszynowego?

W procesie uczenia maszynowego jednym z kluczowych wyzwań jest radzenie sobie z danymi, które odbiegają od oczekiwanych wartości, tzw. outlierami. Przykładem może być sytuacja, w której czas bloku w harmonogramie lotów znacznie odbiega od rzeczywistego czasu realizacji, co może nastąpić w wyniku nadzwyczajnych warunków pogodowych lub strajków. Choć takie przypadki są rzadkością, mogą one wprowadzić zamieszanie w analizie danych, zaburzając proces optymalizacji sieci neuronowej, gdyż prowadzą do powstawania dużych strat w funkcji celu.

Aby rozwiązać ten problem, konieczne jest wykrywanie oraz usuwanie takich odstających wartości. Jednym ze sposobów jest obliczenie różnicy między zaplanowanym a rzeczywistym czasem bloku, co tworzy nową kolumnę danych, którą nazywamy DiffBlock. Następnie, za pomocą metody rozstępu międzykwartylowego (IQR), można wykrywać wartości odstające. Ta metoda zakłada, że 50% różnic pomiędzy czasem zaplanowanym a rzeczywistym mieści się w określonym przedziale IQR, a granice tego przedziału można rozszerzyć o czynnik 1,5, co pozwala usunąć dane wykraczające poza ten zakres.

Kolejnym krokiem w analizie danych jest podział zbioru na dwie oddzielne części: zbiór treningowy (80% danych) oraz zbiór testowy (20% danych), co pozwala na testowanie modelu na nieznanych wcześniej danych. Dodatkowo, przed przetwarzaniem danych przez perceptron wielowarstwowy, warto je "centrować", czyli odejmować średnią, aby poprawić efektywność procesu uczenia.

Po przygotowaniu danych, przechodzimy do budowy różnych modeli perceptronów wielowarstwowych, które mają za zadanie prognozowanie czasów bloków w zadanym problemie regresji. Celem jest obserwacja zdolności uczenia się poszczególnych modeli oraz ocena ich dokładności na danych testowych. Przy budowie modeli stosujemy różne architektury: prostą (z dwoma warstwami ukrytymi), głębszą (z czterema warstwami), szerszą (z dwoma szerokimi warstwami) oraz model wykorzystujący analizę głównych składowych (PCA).

W trakcie uczenia modeli za pomocą funkcji aktywacji ReLU oraz funkcji straty w postaci średniego błędu kwadratowego, monitorujemy proces treningu. Zastosowanie optymalizatora Adam, który jest zaawansowaną metodą stochastycznego spadku gradientu, pozwala na szybkie dostosowanie wag w modelu. Aby uniknąć nadmiernego dopasowania, wprowadzono także mechanizm wczesnego zatrzymania treningu, gdy funkcja straty nie poprawia się przez określoną liczbę epok.

Po zakończeniu treningu modeli, następuje ich ocena na zbiorze testowym, który zawiera dane, których model nie widział podczas treningu. Wyniki analizy wykazały, że modele głębsze i prostsze mają tendencję do szybszego przeuczenia, co skutkuje nieoptymalnymi wynikami. Z kolei szerszy model wykazuje lepsze wyniki, kończąc trening z mniejszym błędem średnim absolutnym, ale z nieco większymi błędami prognoz dla konkretnych lotów.

Z analizy wynika, że model głęboki, mimo że wykazuje większe błędy absolutne, okazał się najlepszym rozwiązaniem dla tego konkretnego przypadku, ponieważ minimalizuje ryzyko opóźnień, które mogłyby wpływać na inne loty. Zatem wybór odpowiedniego modelu nie zależy wyłącznie od jego zdolności do minimalizacji błędu, ale także od tego, jak dobrze radzi sobie z błędami, które mogą mieć poważniejsze konsekwencje w rzeczywistych warunkach.

Warto dodać, że oprócz wykrywania odstających danych, kluczowym aspektem przy budowie modeli w problemach regresji jest odpowiednie przygotowanie danych oraz wybór takich metod, które będą w stanie uwzględnić specyficzne cechy danego zbioru. Istotne jest również monitorowanie procesu uczenia, aby zapobiec przeuczeniu modelu, które może prowadzić do spadku jakości predykcji na nowych danych.