Jak zachować zasady zachowania pędu i momentu pędu w układach wielocząsteczkowych?

W tej części książki omawiamy dwa fundamentalne pojęcia fizyczne: pęd liniowy oraz moment pędu. Są to wielkości, które w określonych warunkach, o których mowa w dalszej części, mogą być wielkościami zachowującymi się, co oznacza, że ich wartość pozostaje stała w trakcie fizycznego procesu. Zasada zachowania pędu lub momentu pędu może być wykorzystana do rozwiązywania problemów, porównując stan układu przed i po danym procesie fizycznym. Będziemy również badać układy wielocząsteczkowe, rozkłady masy ciągłej (czyli układy, które nie są punktami materialnymi) oraz środek masy. Rozwinęliśmy związki między całkowitym pędem układu cząsteczek a pędem środka masy tego układu. Analogicznie, opracowaliśmy związki między momentem pędu układu cząsteczek a momentem pędu środka masy. Pokazaliśmy, że te zależności obowiązują również dla rozkładów masy ciągłej. Na koniec omawiamy techniki całkowania numerycznego, które będą przydatne przy wyznaczaniu środka masy układu.

Zanim jednak przejdziemy do bardziej zaawansowanych zagadnień, warto przyjrzeć się dwóm podstawowym prawom, które wprowadzą nas do omawianych problemów. Pierwszym z nich jest trzecie prawo Newtona, które mówi, że jeżeli cząsteczka 1 działa na cząsteczkę 2 siłą $F_{21}$ , to cząsteczka 2 działa na cząsteczkę 1 siłą o tej samej wartości, ale przeciwnym kierunku, czyli $F_{12} = -F_{21}$ . To prawo prowadzi nas do interesującego wyniku, jeśli rozważymy dwie cząsteczki oddziałujące ze sobą poprzez siłę, którą nazwiemy „siłą wewnętrzną”. Załóżmy, że obie cząsteczki doświadczały również sił zewnętrznych pochodzących od innych ciał, jak na przykład siła grawitacyjna Słońca działająca na Ziemię i Księżyc.

Netto siła $F_1$ działająca na cząsteczkę 1 jest wtedy opisana przez wyrażenie:

F_1 = F_{12} + F_{\text{ext 1}},

gdzie $F_{12}$ to siła na cząsteczkę 1 wywołana przez cząsteczkę 2, a $F_{\text{ext 1}}$ to siła zewnętrzna działająca na cząsteczkę 1. Z kolei dla cząsteczki 2 mamy wyrażenie:

F_2 = F_{21} + F_{\text{ext 2}}.

Jeśli przyjmiemy, że $p_1$ i $p_2$ oznaczają pędy obu cząsteczek, wówczas drugie prawo Newtona pozwala zapisać zależności:

\dot{p}_1 = F_1 = F_{12} + F_{\text{ext 1}},

\dot{p}_2 = F_2 = F_{21} + F_{\text{ext 2}}.

Szukając całkowitego pędu $P = p_1 + p_2$ , obliczamy jego czasową pochodną:

\dot{P} = \dot{p}_1 + \dot{p}_2 = F_{\text{ext 1}} + F_{\text{ext 2}} = F_{\text{ext}}.

Jeśli zatem siły zewnętrzne $F_{\text{ext}}$ się równoważą (tj. $F_{\text{ext 1}} + F_{\text{ext 2}} = 0$ ), całkowity pęd jest stały, co prowadzi nas do zasady zachowania pędu:

\dot{P} = 0 \quad \text{jeżeli} \quad F_{\text{ext}} = 0.

Wówczas pęd całkowity układu pozostaje stały, o ile żadne zewnętrzne siły nie wpływają na układ. Ta zasada jest kluczowa w fizyce, ponieważ pozwala na rozwiązanie problemów w sytuacjach, gdzie siły zewnętrzne sumują się do zera.

Rozważmy teraz przykłady, w których zasada zachowania pędu znajduje swoje zastosowanie. Pierwszy przykład dotyczy zderzenia nieelastycznego dwóch ciał, które po zderzeniu łączą się w jedno. Załóżmy, że mamy dwa obiekty o masach $m_1$ i $m_2$ , poruszające się z prędkościami $v_1$ i $v_2$ , które zderzają się i łączą, poruszając się jako jedno ciało z prędkością $v$ . Ignorując siły zewnętrzne działające podczas zderzenia, zastosujemy zasadę zachowania pędu. Całkowity pęd przed zderzeniem wynosi:

P_{\text{initial}} = m_1 v_1 + m_2 v_2,

a po zderzeniu:

P_{\text{final}} = (m_1 + m_2) v.

Ponieważ pęd całkowity się nie zmienia, możemy zapisać:

P_{\text{initial}} = P_{\text{final}},

co daje:

v = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}.

Prędkość $v$ jest średnią ważoną prędkości początkowych, gdzie masy obiektów pełnią rolę wag.

Inny przykład dotyczy zderzenia sprężystego dwóch ciał. Załóżmy, że cząsteczka o masie $m_1 = 0,10 \, \text{kg}$ porusza się z prędkością $v_0 = 10,0 \, \text{m/s}$ i zderza się z cząsteczką o masie $m_2 = 0,20 \, \text{kg}$ , która jest w spoczynku. Po zderzeniu każda cząsteczka porusza się w sposób przedstawiony na wykresie. Zderzenie jest sprężyste, co oznacza, że zarówno całkowita energia kinetyczna, jak i pęd są zachowane. Aby rozwiązać ten problem, musimy wykorzystać zarówno zasadę zachowania pędu, jak i zasady dotyczące energii kinetycznej.

Ostatecznie, zasady zachowania pędu i momentu pędu stanowią fundament wielu rozwiązań w fizyce, od analizy zderzeń po obliczenia związane z ruchem ciał niebieskich. Ich zastosowanie wykracza daleko poza te przykłady, obejmując bardziej złożone układy, takie jak układy cząsteczek w fizyce ciała stałego czy układy wielkoskalowe w astrofizyce.

Jak analizować ruch tłumionych oscylatorów harmonicznych: przypadki niedotłumionego, krytycznie tłumionego i przetłumionego ruchu

Analiza ruchu oscylatorów harmonicznych tłumionych jest kluczowa w wielu dziedzinach fizyki i inżynierii, szczególnie w kontekście układów mechanicznych, gdzie tłumienie odgrywa istotną rolę w zachowaniu systemu. W tym rozdziale omówimy szczegółowo trzy przypadki oscylacji tłumionych: niedotłumiony, krytycznie tłumiony oraz przetłumiony. Analiza tych przypadków pozwala zrozumieć, jak zmienia się charakter ruchu w zależności od wartości współczynnika tłumienia.

Rozważmy układ masy $m$ zawieszony na sprężynie o stałej sprężystości $k$ i poddany oporowi tłumienia $b$ . Równanie ruchu tego układu opisuje druga równanie różniczkowe:

m \ddot{x}(t) + b \dot{x}(t) + k x(t) = 0

gdzie $x(t)$ to przemieszczenie masy w czasie, $m$ to masa, $k$ to stała sprężystości, a $b$ to współczynnik tłumienia.

Niedotłumiony ruch

Kiedy współczynnik tłumienia $b$ jest mały, mówimy o przypadku niedotłumionym. Dla niedotłumionego ruchu, w którym $\omega^2$ (częstotliwość oscylacji) jest ujemne, otrzymujemy układ, którego rozwiązaniem jest funkcja trygonometryczna:

x(t) = A_0 e^{ -\gamma t} \left( \cos(\omega_d t) + \sin(\omega_d t) \right)

gdzie $\omega_d$ to częstotliwość oscylacji w przypadku tłumienia, a $\gamma$ to współczynnik tłumienia. Dla $b = 1$ i $m = 1$ , możemy obliczyć wartość $\omega$ , a zatem znaleźć funkcję rozwiązującą ruch układu.

W tym przypadku układ wykazuje oscylacje, choć ich amplituda z czasem maleje, co wynika z obecności tłumienia. Ruch jest wykładniczo tłumiony, co oznacza, że z czasem jego energia maleje, jednak ruch nadal jest okresowy, z charakterystyczną częstotliwością.

Krytycznie tłumiony ruch

Kiedy tłumienie jest na tyle duże, że układ przechodzi w stan krytycznego tłumienia, równanie różniczkowe przyjmuje postać:

x(t) = (C_1 + C_2 t) e^{ -\omega_0 t}

gdzie $\omega_0$ to częstotliwość naturalna układu, a $C_1$ i $C_2$ to stałe określane przez początkowe warunki układu. Krytyczne tłumienie występuje, gdy współczynnik tłumienia wynosi:

b = 2\sqrt{k m}

W przypadku krytycznie tłumionego ruchu, układ nie wykonuje oscylacji, lecz z czasem wraca do położenia równowagi w najkrótszym możliwym czasie. Jest to idealny przypadek, w którym układ wraca do stanu spoczynku, nie przekraczając go. Przykład takiego układu znajduje się w wielu urządzeniach mechanicznych, takich jak amortyzatory, gdzie celem jest szybkie wygaszenie drgań.

Przetłumiony ruch

Przy większym tłumieniu, gdy $\omega^2$ staje się dodatnie, mówimy o ruchu przetłumionym. W takim przypadku rozwiązanie równania ruchu przybiera postać:

x(t) = C_1 e^{(\omega + \gamma)t} + C_2 e^{ -(\omega - \gamma)t}

gdzie $\omega$ to częstotliwość oscylacji, a $\gamma$ to współczynnik tłumienia. Ruch taki nie jest oscylacyjny, a amplituda przemieszczenia maleje wykładniczo. Zjawisko to jest powszechnie obserwowane w układach, w których występują silne siły oporu, jak np. w układach mechanicznych z dużymi oporami powietrza lub innych medium.

Obliczenia numeryczne w Pythonie

Aby uzyskać numeryczne rozwiązanie równania ruchu w różnych przypadkach tłumienia, można skorzystać z narzędzi takich jak SymPy. Przykładowy kod w Pythonie do obliczenia rozwiązania dla różnych wartości $b$ :

python
from sympy import symbols, Function, Derivative as D, dsolve, sqrt

print('-'*28,'CODE OUTPUT','-'*29,'\n')
# define function x and various symbols
x = Function('x')
t = symbols('t', real=True)
m, k, b = 1, 1, 3 # overdamped oscillation
soln = dsolve(m*D(x(t), t, t) + b*D(x(t), t) + k*x(t), x(t), simplify=True).rhs
print('\nFor overdamped oscillations the solution :\nx(t) =', soln)

Energia w ruchu tłumionym

Energia oscylatora harmonicznego tłumionego może zostać obliczona jako suma energii kinetycznej i potencjalnej:

E(t) = \frac{1}{2} m \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + \frac{1}{2} k x^2

W przypadku tłumionego ruchu, gdzie tłumienie jest słabe, energia układu maleje wykładniczo, a całkowita energia w tym przypadku przyjmuje postać:

E(t) = \frac{1}{2} k A_0^2 e^{ -2\gamma t}

gdzie $A_0$ jest amplitudą początkową, a $\gamma$ to współczynnik tłumienia. Ważne jest, aby pamiętać, że w przypadku słabego tłumienia, energia maleje, ale nadal istnieje pewna oscylacja, choć z czasem staje się ona coraz mniejsza.

Zjawisko jakości (Q-factor)

W przypadku oscylatorów tłumionych o słabym tłumieniu, często wprowadza się pojęcie tzw. jakości układu (Q-factor), który charakteryzuje zdolność układu do utrzymywania oscylacji. Jakość jest określana jako stosunek energii przechowywanej w układzie do energii traconej podczas jednej pełnej oscylacji. Dla tłumionych oscylatorów z $\gamma \ll \omega_0$ jakość układu jest związana z:

Q = \frac{\omega_0}{2\gamma}

Im wyższy Q-factor, tym mniej energii układ traci w czasie jednej oscylacji.

Jak działa instrukcja CHIP-8? Zrozumienie podstawowej architektury i instrukcji w maszynach wirtualnych
Jak niski poziom wiedzy obywatelskiej wpływa na funkcjonowanie demokracji?
Jak Wild West Zaskoczył Złodziei w Obozie Górniczym
Jak różne fotoinicjatory wpływają na polimeryzację w druku 3D?