Hva er Green–Lagrange deformasjonstensor, og hvordan brukes den i ikke-lineær mekanikk?

Green–Lagrange deformasjonstensor er et grunnleggende verktøy for å beskrive store deformasjoner i kontinuerlige materialer. Den måler endringen i kvadratet av elementlengder mellom forskjellige konfigurasjoner, og relaterer dem til referansekonfigurasjonen, vanligvis betegnet som C0. Deformasjonen kan uttrykkes gjennom koordinatforskyvninger mellom konfigurasjoner, der (2ds)², (1ds)² og (0ds)² representerer kvadratene av de infinitesimale elementlengdene i de aktuelle konfigurasjonene C2, C1 og C0.

Symmetrien til Green–Lagrange-tensoren følger av dens konstruksjon og uttrykkes ved at komponentene tilfredsstiller $\varepsilon_{ij} = \varepsilon_{ji}$. Dette har betydning for hvordan materialets interne krefter og spenninger behandles, da symmetri i tøyetensoren sikrer balanse i deformasjonene.

I praktisk bruk skifter man ofte notasjonen for enklere forståelse og håndtering: Koordinater og forskyvninger i konfigurasjonene C0, C1 og C2 skrives om til enklere symboler som (x, y, z) og (u, v, w) med tilhørende indekser. Dette gjør det enklere å skrive ut og tolke komponentene til tøyetensorene i deres fulle form, som for eksempel i ligningene (1.17a) til (1.17g). Disse komponentene inneholder delderivater av forskyvningene, inkludert kvadratiske ledd som representerer ikke-lineære effekter.

Ved små deformasjoner forsvinner den ikke-lineære delen, og den inkrementelle Green–Lagrange-tensoren går over i den infinitesimale tøyetensoren, som kun inkluderer førsteordens deriverte. Det forenkler beregninger, og denne tilnærmingen kalles lineær elastisitet. Men i situasjoner med store deformasjoner må den fullstendige ikke-lineære formuleringen benyttes.

Transformasjoner mellom tøyetensorer med referanse til ulike konfigurasjoner er nødvendige for å sammenligne eller kombinere resultater fra forskjellige trinn i en analyse. Disse transformasjonene kan uttrykkes ved hjelp av de partielle deriverte av koordinatene mellom konfigurasjonene.

En fullstendig forståelse av Green–Lagrange-tensoren krever også innsikt i hvordan den forholder seg til deformasjoner i 3D-rommet, inkludert hvordan den kobler til materialets respons og spenningstilstand. Å kjenne til tensorens oppbygning gir mulighet til å modellere komplekse fenomener som store plastiske deformasjoner, materialavhengigheter og geometrisk ikke-linearitet i konstruksjonsanalyser.

Videre har praktiske numeriske metoder som den totale Lagrange (TL) og oppdaterte Lagrange (UL) tilnærmingen stor betydning. TL bruker den opprinnelige konfigurasjonen som referanse, mens UL kontinuerlig oppdaterer referansekonfigurasjonen for hver inkrementell deformasjon, noe som forbedrer stabiliteten og nøyaktigheten ved store bevegelser.

Endelig, den matematiske formalismen som benytter Kronecker-delta for å uttrykke symmetri og identiteter i tensorene, danner grunnlaget for en konsistent teoretisk behandling og implementering i numeriske analyser.

Hvordan vurdere og teste finitte elementer for ikke-lineære analyser

I mekaniske analyser av strukturer er finitte elementer (FE) essensielle for å representere komplekse systemer på en effektiv måte. For lineære problemer finnes det en rekke etablerte metoder for å vurdere kvaliteten på de brukte elementene, for eksempel den velkjente patch-testen. Imidlertid er det betydelig mindre forskning på kvalitetstesting av finitte elementer som brukes i ikke-lineære problemer. Den store utfordringen her er at det ikke finnes en enkel test, som for patch-testen, som kan benyttes for å sikre at et finit element er egnet for en ikke-lineær analyse.

For å evaluere gyldigheten av et ikke-lineært finit element, kan vi imidlertid ikke kun stole på den geometriske stivhetsmatrisen. Vi må også vurdere Rigid Body Rule og elementets inkrementelle stivhetslikning som en helhet, basert på den oppdaterte Lagrange-formuleringen, for å avgjøre om det finitte elementet kan håndtere de grunnleggende fysiske reglene for stiv kroppsmotion.

Konseptet med interne og eksterne stivhetsmatriser ble videre utviklet av Gattass (1982) for å forklare likevekten til et todimensjonalt bjelkeelement som gjennomgår en stiv kroppsrørelse, basert på den oppdaterte Lagrange-formuleringen. På samme måte utledet Yang og McGuire (1986a) stivhetslikningen for et tredimensjonalt I-formet bjelkeelement med totalt syv frihetsgrader ved hver ende, inkludert vridning. I en tilknyttet artikkel (Yang og McGuire, 1986b) utviklet de en mer generell variasjonell metode for å etablere de interne og eksterne stivhetsmatrisene for I-bjelken.

Et problem med de nevnte arbeidene er at de kun fokuserer på den geometriske stivhetsmatrisens oppførsel i forhold til stiv kroppsmotion. For å vurdere om et ikke-lineært finit element er gyldig, bør vi imidlertid undersøke hele elementets stivhetslikning, inkludert den geometriske stivhetsmatrisen, i prosessen med stiv kroppsmotion.

For at et finit element med initialkrefter skal være gyldig i en ikke-lineær analyse, må elementet vise samme oppførsel som foreskrevet av stiv kroppsregelen for stiv kroppsmotion. Dette konseptet ligger til grunn for forslaget om en stiv kroppsmotionstest for finitte elementer som skal brukes i inkrementelle ikke-lineære analyser. Et numerisk eksempel viser at svært gode ikke-lineære løsninger kan oppnås hvis det finitte elementet brukt til å modellere strukturen består stiv kroppsmotionstesten, og en konsistent prosedyre benyttes for å beregne elementkreftene i den inkrementelle iterasjonsprosessen.

Det grunnleggende konseptet for stiv kroppsmotiontesten, som her er anvendt på et todimensjonalt bjelkeelement, kan også utvides til mer kompliserte faste elementer, med hensyn til deres formulering for ikke-lineær analyse. Dette gjelder blant annet for romrammeelementet som ble presentert i kapittel 6.

Hvordan kan vi modellere en bjelke i ikke-lineær analyse uten å bruke kurvet bjelketeori?

Innen ikke-lineær analyse av bjelker står man ofte overfor et fundamentalt dilemma: skal man starte analysen fra den initialt deformerte og krumme formen (C1), eller kan man fortsatt betrakte bjelken som rett, og dermed forenkle modellen? Det viser seg at, til tross for geometriske avvik i C1-konfigurasjonen, er det matematisk og numerisk langt gunstigere å anta en rett bjelke med et ortogonalt koordinatsystem ved hvert inkrementelt trinn, forutsatt at deformasjonene er små. Dette danner grunnlaget for de konvektive koordinater, introdusert av Belytschko og Hsieh (1974), som tillater oss å følge bjelkens bevegelse og rotasjon uten å oppgi lineære referanserammer.

Sentralt i denne formuleringen er antakelsen om at tverrsnittet forblir plant og normalt på bjelkens sentralakse – Bernoulli-Eulers hypotesen. Dette muliggjør relasjonene mellom forskyvningene til et generisk punkt N i tverrsnittet og de globale forskyvningene og r

Hvordan bruke stivhetsmatriser i ikke-lineær strukturanalyse for rammekonstruksjoner?

I en iterativ ikke-lineær analyse av strukturer, som den oppdaterte Lagrange-typen, er det avgjørende å forstå samspillet mellom prediktoren og korreksjonsfasen for å få nøyaktige og stabile løsninger. Prediktoren spiller en viktig rolle i å bestemme størrelsen på iterasjonene eller konvergenshastigheten, men påvirker ikke selve løsningen direkte. Det er her den elastiske stivhetsmatrisen [K] kommer til sin rett. Selv om den er tillatt å være en tilnærming, er det viktig at iterasjonsretningen ikke blir villedet. Samtidig kreves det at man benytter stivhetsmatriser som tar hensyn til geometriske effekter, som de som benyttes for stive bjelker og TPE-elementer.

Når det gjelder korreksjonsfasen, er oppgaven å justere kreftene i hvert element basert på de nøyaktige forskyvningene som oppstår ved hvert trinn. Den initiale nodale kraften, {11f}, er definert ved det første trinnet i analysen og må roteres i henhold til den stive rotasjonen fra trinn C1 til C2. Dette gjør at vi kan behandle disse kreftene direkte som de som virker på C2, og dermed beregne kraftendringene {Δf} ved hjelp av den elastiske stivhetsmatrisen [ke] alene, i henhold til den små deformasjonsteorien. Resultatet blir en total kraft {22f} som kombinerer de initiale kreftene og de beregnede endringene.

For å illustrere hvordan stivhetsmatrisene brukes, kan man vurdere to hovedsaker: først, hvordan stivhetsmatrisen er bygget opp i prediktoren, og dernest hvordan korreksjonen justeres basert på forskyvningene. I tilfelle av rammekonstruksjoner benyttes kombinasjoner som [ke] + [kg]r.b., hvor [kg]r.b. representerer den geometriske stivheten for den stive bjelken, eller [ke] + [kg] + [ki], der [ki] er den induserte momentmatrisen. Disse valgene i prediktoren er avgjørende for både nøyaktigheten og beregningstiden i analysen.

For plater og skaller benyttes et annet sett av stivhetsmatriser, slik som [ke]TPE + [kg]TPE for de tre-dimensjonale elementene som simulerer de stive egenskapene i disse strukturene. Denne tilnærmingen gir en detaljert forståelse av hvordan de ulike elementene reagerer på de påførte kreftene og deformasjonene. Det er viktig å merke seg at prediktoren og korreksjonen skal utformes med tanke på de spesifikke egenskapene til strukturen, enten det gjelder bjelker, plater eller andre former for rammeelementer.

En viktig del av analysen er å sammenligne de beregnede resultatene med eksperimentelle data eller andre metoder for å validere de numeriske resultatene. For eksempel viser testene på en enkel bjelke som utsettes for et moment, hvordan den valgte kombinasjonen av prediktor og korrektor kan påvirke både nøyaktigheten og beregningstiden. Det viser seg at den foreslåtte metoden P1C1, som bruker stiv geometrisk stivhet, kan gi løsninger som er like nøyaktige som de som bruker elastisk geometrisk stivhet, men til en høyere beregningstid.

I tillegg til de tekniske aspektene ved valg av prediktor og korrektor, er det viktig å forstå hvordan disse valgene påvirker den numeriske konvergensen og stabiliteten i analysen. Selv om en mer kompleks prediktor kan gi høyere nøyaktighet, kan den samtidig øke beregningstiden betydelig. Derfor er det avgjørende å finne en balanse mellom nøyaktighet og beregningseffektivitet, særlig når analysen involverer strukturer med mange elementer eller kompliserte geometriske egenskaper.

I lys av de avanserte metodene som benyttes i ikke-lineær strukturanalyse, er det essensielt å ha en grundig forståelse av hvordan stivhetsmatriser brukes til å modellere strukturelle elementers oppførsel under belastning. Denne forståelsen gjør det mulig å optimalisere både beregningstid og nøyaktighet i ulike typer strukturelle analyser.