Hva er de grunnleggende egenskapene ved fraksjonell Brownsk bevegelse og fraksjonell Gaussisk støy?

Fraksjonell Brownsk bevegelse (fBM) med en enhetlig intensitet er en stasjonær prosess som viser anomal diffusjon. Dette kan karakteriseres av Hurst-indeksen, H, som bestemmer hvilken type diffusjon prosessen følger. Hvis H er mindre enn 1/2, oppstår sub-diffusjon, en prosess der partikler har en tendens til å bevege seg langsommere enn forventet under vanlig Brownsk bevegelse. Når H = 1/2, oppstår normal diffusjon, som er karakteristisk for klassisk Brownsk bevegelse. Dersom H er mellom 1/2 og 1, vil vi se super-diffusjon, hvor partikler sprer seg raskere enn ved normal diffusjon. Når H = 1, oppstår en spesiell type diffusjon kjent som trajektoridiffusjon, som er en ekstremt lang rekke hendelser som kan være praktiske for studier av veldig langvarige fenomener i naturen og fysikk.

Inkrementet av fraksjonell Brownsk bevegelse, uttrykt som 𝛿BH(t) = BH(t + 𝛿t) − BH(t), kan beskrives ved en matematisk formel som viser at prosessen er stasjonær. Dette betyr at prosessen har den samme statistiske oppførselen uavhengig av når den observeres, noe som er viktig for å forstå at slike prosesser ikke er avhengige av spesifikke tidspunkter, men snarere av tidsintervallene mellom observasjonene. Denne stasjonariteten er et kjennetegn ved fraksjonell Brownsk bevegelse og legger grunnlaget for videre bruk i ulike felt som kommunikasjon, finans og bioengineering.

Fraksjonell Gaussisk støy (fGn) er nært knyttet til fraksjonell Brownsk bevegelse, da det defineres som den deriverte av fraksjonell Brownsk bevegelse. Dette betyr at fGn kan skrives som 𝑊H(t) = dBH(t)/dt. Likt som for fraksjonell Brownsk bevegelse, er inkrementene av fGn stasjonære, og dette viser seg i den matematiske definisjonen av korrelasjonsfunksjonen til fGn, som er uavhengig av tid, men kun av tidsforskjellen mellom to punkter.

En annen viktig egenskap ved fGn er at dens gjennomsnittsverdier er uendelige, noe som betyr at det ikke kan betraktes som et ekte støyfenomen på samme måte som vanlig Gaussisk hvit støy. Dette er en viktig observasjon fordi det peker på at slike prosesser kan beskrive systemer som har lange tidskorrelasjoner, som for eksempel i finansielle markeder eller i biologiske prosesser, der effektene fra tidligere tilstander kan vedvare over lengre tid.

En viktig parameter for å analysere slike prosesser er langtidavhengighet (long-range dependence), som måler graden av korrelasjon i en stasjonær prosess over tid. Dette defineres ved indeksen μ, som bestemmer hvor raskt korrelasjonsfunksjonen avtar når tidsforskjellen mellom to hendelser blir større. Når μ er liten, betyr det at korrelasjonene avtar saktere, noe som gir et langvarig minne om tidligere hendelser. Dette er et fundamentalt begrep i teorien om stasjonære prosesser og har mange anvendelser innen fysikk og finans.

I tilfelle når H = 1/2, korresponderer fraksjonell Brownsk bevegelse til vanlig Brownsk bevegelse, og den matematiske behandlingen av slike prosesser blir forenklet til den vanlige Wiener-prosessen. Dette viser hvordan fraksjonell Brownsk bevegelse kan generalisere ideene bak tradisjonell stokkastisk prosessbeskrivelse, og hvordan disse generaliseringene kan ha praktiske anvendelser i områder som stokkastiske differensialligninger.

Fraksjonelle stokkastiske differensialligninger er en videreutvikling av de tradisjonelle stokkastiske differensialligningene, og de brukes til å modellere dynamiske systemer som er påvirket av fraksjonell støy. Disse ligningene tar hensyn til at inkrementene av prosessene kan være av høyere orden enn det som vanligvis blir betraktet i klassiske stokkastiske modeller. For eksempel, for en fraksjonell Brownsk prosess, vil termer som involverer 𝛿t^2H (der H > 1/2) bli neglisjert i stokkastiske differensialligninger for funksjoner som beskriver systemets utvikling.

Det er viktig å merke seg at i tilfelle med flere dimensjoner, der flere uavhengige fraksjonelle Brownsk bevegelser med forskjellige Hurst-indekser er involvert, vil det være nødvendig å bruke en mer kompleks form for stokkastiske differensialligninger for å beskrive systemets oppførsel. Dette er et viktig aspekt når man arbeider med multivariabel fraksjonell støy, spesielt i økonomiske eller biologiske modeller hvor flere faktorer samhandler.

Endelig er det viktig å forstå at mens fraksjonell Brownsk bevegelse og fraksjonell Gaussisk støy er matematisk elegante og generelle modeller, har deres anvendelser i praksis flere utfordringer. For eksempel, det faktum at fraksjonell støy ikke har et endelig gjennomsnittsverdi, betyr at den kan være vanskelig å bruke i eksperimentelle situasjoner uten å justere for dens uvanlige statistiske egenskaper. Når slike prosesser benyttes i finansielle eller biologiske modeller, må man være oppmerksom på langtidavhengigheten som er iboende i slike prosesser, og hvordan denne avhengigheten kan påvirke modellens prediksjoner på lang sikt.

Hvordan forstå stokastisk gjennomsnittsmetode i ikke-lineære dynamiske systemer?

Ergodisiteten på noen delmanifolder av disse fem klassene av Hamiltoniansystemer fremheves, noe som gir et grunnlag for å erstatte tidsgjennomsnitt med romlig gjennomsnitt. Til slutt introduseres matematiske modeller for genetiske effektkrefter, inkludert hysterese, viskoelastiske krefter og fraksjonell derivasjonsdemping.

De detaljerte utledningene av amplitude-envelope og energi-envelope stokastiske gjennomsnittte ligninger, samt deres tilhørende FPK-ligninger for en-dofs ikke-lineære dynamiske ligninger under eksitasjoner som Gaussisk hvit støy, bredbånds støy, harmonisk og bredbånds støy, Poisson hvit støy og fraksjonell Gaussisk støy, presenteres. Videre forklares hvordan man kan dekomponere viskoelastiske krefter til elastiske gjenopprettingskrefter og viskøse dempe krefter, og deretter anvende stokastisk gjennomsnittsmetode.

En viktig påpekning er at de ovennevnte stokastiske gjennomsnittmetodene ikke kan benyttes for sadelpunktet og homoklinisk bane i et system med to potensbrønner. Alternativt må stokastiske gjennomsnittsmetoder anvendes på én potensbrønn om gangen. For lesere som er nye for stokastisk gjennomsnittsmetode, anbefales det å lese dette kapitlet nøye for å få en dyp forståelse og et solid grunnlag for de påfølgende kapitlene.

Stokastisk gjennomsnitt for eksitasjon med Gaussisk hvit støy krever ikke nødvendigvis en gjennomsnittsprosess, men det er viktig å identifisere de langsomt varierende prosessene i de fem klassene av quasi-Hamiltoniansystemer og deretter utlede gjennomsnittte Itô stokastiske differensialligninger via tidsgjennomsnitt over drift- og diffusionskoeffisientene. En utfordring er hvordan man kan bruke ergodisiteten til Hamiltoniansystemer på delmanifolder til å erstatte tidsgjennomsnitt med romlig gjennomsnitt med hensyn til raskt varierende prosesser. En annen utfordring er hvordan man kan få den omtrentlige sannsynlighetstettheten for det opprinnelige systemet ut fra den stasjonære sannsynlighetstettheten som oppnås ved å løse den gjennomsnittte FPK-ligningen.

For quasi-nonintegrerbare Hamiltoniansystemer med et begrenset antall frihetsgrader (DOF) er den gjennomsnittte ligningen en-dimensjonal, og en enhetlig uttrykk for stasjonær sannsynlighetstetthet kan oppnås. Dette resultatet er overraskende enkelt og ligner på metoden for kraftspektraldensitet for alle lineære stokastiske systemer. Det kommer imidlertid med en kostnad i form av utfordringer knyttet til integralberegning.

Kapittel 6 i volum 1 skiller seg fra kapittel 5 ved at Poisson hvit støy er en type ikke-Gaussisk hvit støy og kan betraktes som den deriverte prosessen til den sammensatte Poisson-prosessen. Quasi-Hamiltoniansystemer som er excitert av både Gaussisk og Poisson hvit støy, omdannes til stokastiske differensialligninger med tillegg av Wong-Zakai og Di Paola-Falsone korrigeringstermer. Disse ligningene kan skrives om til ekvivalente stokastiske differensialintegralligninger med Poisson stokastiske integraler.

En viktig forståelse for leseren er at stokastiske gjennomsnittsmetoder tilbyr en kraftig tilnærming til å håndtere komplekse stokastiske systemer, spesielt når de systematiske eksitasjonene er preget av både raske og langsomme prosesser. Leseren bør være klar over at løsningene som oppnås fra slike metoder ofte innebærer kompliserte uttrykk og integrasjonsberegninger som kan kreve ytterligere litteraturkonsultasjon for å få fullt utbytte av metodene.

Hvordan Stokastisk Gjennomsnitt fungerer i Kvasi-Hamiltonske Systemer og deres Anvendelser i Støyteori

Når det gjelder systemer som utsettes for støy, er det viktig å forstå forskjellen mellom hvit støy og farget støy, spesielt når det gjelder deres effekt på dynamiske prosesser. Farget støy, som den som er representert ved fraksjonell Gaussisk støy, er langt mer kompleks enn hvit støy, da den inneholder korrelasjoner over tid, og derfor krever en annen tilnærming i analysen av systemets oppførsel.

I tilfelle av kvasi-Hamiltonske systemer, der systemet er underlagt fraksjonell Gaussisk støy, er det første man bør merke seg at tidsgjennomsnittning alene ikke er tilstrekkelig. I stedet kan romlig gjennomsnittning brukes i de tilfellene hvor prosessene varierer raskt. Når man overfører sannsynlighetstettheten til det systemet som er gjennomsnittet, er det bemerkelsesverdig at formelen for å transformere sannsynlighetstettheten til det gjennomsnittlige systemet forblir uendret. Dette gjelder både for fysiske prosesser og for statistiske beregninger.

En av de viktigste forskjellene som oppstår i slike systemer, er at når et kvasi-Hamiltonsk system som er eksitert av fraksjonell Gaussisk støy, omformes til en stokastisk differensialligning, mangler det en korreksjonsterm. Prosessen som er styrt av den gjennomsnittlige stokastiske differensialligningen blir dermed ikke-Markov, og dens sannsynlighetstetthet samt statistikk kan kun beregnes gjennom Monte Carlo-simulering. Dette skaper både utfordringer og muligheter; den største fordelen ved å bruke stokastisk gjennomsnittning er den betydelige besparelsen i beregningstid sammenlignet med å simulere det originale systemet direkte.

Det er også viktig å forstå at nesten alle virkelige randomiserte eksitasjoner er farget støy, som kan være enten bredbånd eller smalbåndet. I mange tilfeller kan støyen ha et bredbåndsutseende i noen frekvensbånd, samtidig som den kan ha et smalbåndsutseende i andre. Denne karakteristikken må tas med i betraktningen når man utvikler stokastiske gjennomsnittsmetoder for systemer som utsettes for slike støyforhold. Dette krever at både stokastisk og tidsgjennomsnittning benyttes når støyen er bredbånd.

En ytterligere kompleksitet oppstår når man ser på systemer som er underlagt både harmonisk og farget støy. I tilfeller der harmonisk eksitasjon har en betydelig innvirkning på systemet, særlig når ekstern resonans inntreffer, er det nødvendig å skille mellom flere resonansbetingelser, som ekstern resonans og intern resonans. Dette gjør at man kan derivere stokastiske differensialligninger for prosesser som varierer langsomt, og kombinere disse med stokastisk og tidsgjennomsnittning for å utvikle de nødvendige Fokker-Planck-ligningene som beskriver systemets stasjonære sannsynlighetstetthet.

Når kvasi-Hamiltonske systemer er eksitert av både bredbånds og harmonisk støy, kan responsen fra systemet være en tilfeldig periodisk prosess. For disse systemene blir det avgjørende å forstå hvordan man kan kople deterministiske og stokastiske ligninger på en måte som gir mening for systemets fysiske natur. I slike situasjoner blir det nødvendig å bruke romlig gjennomsnittning for å håndtere de raske variasjonene som kan oppstå i systemet.

I mer avanserte systemer kan krefter som hysterese, viskoelastiske krefter, fraksjonelle deriverte dempingskrefter og tidsforsinkelsesrelaterte krefter være til stede. Disse kreftene utgjør en ekstra utfordring for modelleringen, da de ikke er uavhengige, men kobler både elastiske og dempende krefter. Derfor er det nødvendig å "dekople" disse kreftene, slik at de kan behandles som elastiske krefter og viskøse dempingskrefter som avhenger av systemets amplituder eller energi. Dette gjør at man kan bruke de samme stokastiske gjennomsnittsmetodene som er utviklet for kvasi-integrable Hamiltonske systemer, selv når genetiske effekter er til stede.

Til slutt er det viktig å merke seg at metodene for stokastisk gjennomsnittning ikke bare er begrenset til fysikk og mekanikk, men også kan anvendes på biologiske og økologiske systemer. Eksempler som predator-byttedyr-økologiske systemer, der støy er en viktig komponent, kan også analyseres ved hjelp av stokastisk gjennomsnittsmetode for to-dimensjonale dynamiske systemer med første integraler. Dette kan brukes til å forstå og modellere effektene av forskjellige typer støy, som hvit Gaussisk støy eller farget støy, på slike systemer.

Hva er Stokastisk Gjennomsnittsmetode for Quasi-Hamiltonske Systemer?

De nye ligningene i systemet inkluderer de første tre ligningene i Eq. (6.224) og Eq. (6.225). I dette systemet er I1, I2 og ψ prosesser som endres sakte, mens 2 er en prosess som varierer raskt. Ved å bruke stokastisk gjennomsnittsmetode oppnår man en trukket gjennomsnittlig FPK-ligning som ligner på Eq. (6.191). Denne metoden benytter seg av langsomme varierende prosesser for å forenkle dynamikken til et system som inneholder raske og langsomme variabler.

I den trukne FPK-ligningen (6.226), som kan løses numerisk ved hjelp av metoden for endelige forskjeller og over-relaksasjonsiterasjon, får man en stasjonær løsning for systemet, p(I1, I2, ψ). Deretter kan den felles stasjonære sannsynlighetstettheten p(q1, p1, q2, p2) for de generaliserte forskyvningene og de generaliserte momentene til det originale systemet beregnes. Dette gjør det mulig å trekke statistikk og analysere systemets oppførsel, inkludert de stasjonære sannsynlighetstetthetene p(I1), p(I2) og p(ψ), som beskriver de respektive variablene i systemet.

Metoden gir en god tilnærming til å forstå de langsomme endringene i systemet og er spesielt nyttig i tilfeller der systemets dynamikk er kompleks, med både raske og langsomme prosesser. Når man sammenligner resultatene fra den stokastiske gjennomsnittsmetoden med de som er oppnådd gjennom Monte Carlo-simulering, finner man at de er godt samsvarende.

En ytterligere innsikt som kan trekkes fra den stokastiske gjennomsnittsmetoden er hvordan parametrene i systemet påvirker responsen. For eksempel, når parameteren α11 reduseres, øker størrelsen på den diffundente grensesyklusen, som kan observeres gjennom endringer i den stasjonære sannsynlighetstettheten p(q1). Dette indikerer at metodene ikke bare gir en statistisk fordeling, men også kan brukes til å forstå hvordan systemets dynamikk endres med forskjellige parametere.

Når man ser på Quasi-Hamiltonske systemer, som har delvis integrerbare Hamiltonske subsystemer, kan slike systemer omformes ved en kanonisk transformasjon til et system som består av r-1 integrerbare Hamiltonske subsystemer og et ikke-integrerbart subsystem. Denne transformasjonen fører til et system der Hamiltonfunksjonen er delt opp i flere deler som beskriver de forskjellige subsystemene, som vist i Eq. (6.232). For hvert av de integrerbare subsystemene kan man introdusere handlings- og vinkelvariabler, Iη og θη, som beskriver systemets dynamikk på en enklere måte.

Videre kan transformasjonene som er beskrevet i Eq. (6.233) og (6.234) brukes til å oppnå en forenkling av den opprinnelige Hamiltonfunksjonen, der integrerbare deler kan behandles uavhengig av de ikke-integrerbare delene. Denne tilnærmingen er nyttig når man ønsker å studere dynamikken til systemer som har både integrerbare og ikke-integrerbare komponenter, og gir en måte å håndtere disse forskjellige delene på en effektiv måte.

Som et siste punkt, vil det være verdt å merke seg hvordan metoden kan tilpasses for å analysere systemer med støy og stokastisk påvirkning. De stokastiske differensialligningene som er formulert i Eq. (6.236) til (6.240) viser hvordan støy påvirker systemets oppførsel ved å introdusere tilfeldige svingninger i de dynamiske variablene. Dette kan gi verdifull innsikt i hvordan systemet reagerer på støy og hvordan man kan modellere støyens effekt på systemet.