Deutsch
Francais
Nederlands
Svenska
Norsk
Dansk
Suomi
Espanol
Italiano
Portugues
Magyar
Polski
Cestina
Русский
Tabell C.17 og C.18 gir numeriske resultater som kan benyttes for å analysere oppførselen til et ideelt plastisk materiale under syklisk og monotont lastpåvirkning. Den første tabellen (C.17) viser hvordan materialet responderer på en syklisk belastning, der de ulike parameterne som umax, ε, σtrial, σ, εpl, og Δλ er gitt for flere tilfeller, som deretter kan benyttes til å forstå den plastiske responsen på belastning. Det er viktig å merke seg at tabellen presenterer forskjellige trinn av belastning, både for forover- og bakoverlaster. Disse resultatene belyser hvordan spenningen i materialet utvikler seg over tid i forhold til de spesifikke endringene i deformasjon.
I de første trinnene av syklisk lasting (fra umax = 0,4 mm til 1,6 mm) forblir spenningen uforandret, noe som indikerer elastisk oppførsel. Når belastningen øker, vises et klart skifte i responsen, hvor materialet begynner å vise plastisk deformasjon. I tilfelle 4, for eksempel, når umax når 1,6 mm, ser vi at σtrial og σ skiller seg ut: σtrial forblir på 840 MPa, mens σ synker til 690 MPa. Dette kan forklares ved at materialet har nådd sin elastisk-plastiske grense og gjennomgår plastisk flyt. Deretter øker deformasjonen, og det er bemerkelsesverdig at Δλ (som indikerer endringer i plastisk deformasjon) forblir uforandret etter et visst punkt, noe som kan tyde på at materialet har nådd et stabilt plastisk nivå.
En viktig observasjon i tabellen er også hvordan de elastiske komponentene i materialet (Eelpl) forblir på null gjennom de fleste av lastene, noe som tyder på at all deformasjon har blitt plastisk på dette punktet. Dette kan indikere at det er et maksimum for elastisk respons i materialet før det gjennomgår permanent plastisk deformasjon. Samtidig kan vi se at εpl og εeff øker markant etter hvert som lastene påføres.
På den andre siden viser tabell C.18 resultatene for monotone påkjenninger, og disse er basert på lineær hardning for stål. Dette skaper et annet bilde av materialets respons. I dette tilfellet er det en jevn økning i både trialspenningen og plastisk deformasjon, der σtrial øker med økende deformasjon, men σ, som er den faktiske spenningen, viser en tregere økning, noe som indikerer at materialet gradvis begynner å motstå den påførte belastningen gjennom hardning.
Når belastningen overskrider en viss terskel, når plastisk flyt et punkt hvor materialet ikke lenger er i stand til å tilbakeføre de elastiske deformasjonene, og det forblir plastisk. Dette kan igjen bli brukt til å forstå hvordan materialer reagerer på kontinuerlige, gradvis økende påkjenninger som i mange praktiske ingeniørapplikasjoner. Dette krever en mer grundig forståelse av materialets hardningsegenskaper.
For både de sykliske og monotone tilfellene er det essensielt å merke seg at plastisk deformasjon kan føre til en akselerasjon av materialslitasje, spesielt ved høyere påkjenninger, og dette er kritisk når man arbeider med materialer som utsettes for høy syklisk belastning, slik som i strukturer utsatt for vibrasjoner eller repetitiv belastning.
Når man ser på tilnærmingen for differensialer som diskuteres i C.17, C.18, og C.19, blir det klart at presisjonen til numeriske metoder som fremdriftsdifferensialer og sentrerte differensialer er avgjørende for nøyaktigheten til de resulterende simuleringene. Differensialapproksimasjonene gir oss muligheten til å forutsi materialets respons ved hjelp av et sett med diskretiserte verdier for de ulike deformasjonene og påkjenningene, som kan anvendes for å videreutvikle prediksjonsmodeller for komplekse strukturelle systemer.
Det er også verdt å merke seg hvordan numeriske metoder som fremdriftsdifferensial og sentrerte differensialer benyttes i analysen av slike materialer. Disse metodene brukes for å tilnærme de første og høyere ordens derivatene, noe som gir en viktig innsikt i hvordan materialer kan beskrives matematisk. Effektiviteten av disse metodene vil avgjøre hvor nøyaktige resultatene blir, noe som er viktig for ingeniører som søker å modellere materialoppførsel under realistiske forhold.
Endringer og tilleggsinformasjon som kan være viktig for leseren:
Det er viktig å forstå at selv om de numeriske tilnærmingene gir innsikt i materialets respons under sykliske og monotone belastninger, må man også vurdere at materialets oppførsel kan være mer kompleks enn hva som kan fanges opp av enkle modeller. Effekten av mikrostrukturelle skader, som sprøbrudd og korrosjon, kan føre til at materialet ikke følger den forventede oppførselen under de samme lastforholdene.
Videre er det avgjørende å ta hensyn til temperaturens innvirkning på materialegenskapene, ettersom materialets elastiske og plastiske egenskaper kan endres betydelig med temperaturforandringer. Selv små variasjoner i temperatur kan føre til uforutsigbare endringer i materialets respons.
Modellen som benyttes i tekstene her forutsetter ideelle forhold, som kan være urealistiske i enkelte industrielle applikasjoner. I praksis er det ofte nødvendig å bruke mer avanserte modeller som inkluderer plastisk flyt, bruddmekanikk og forskjellige hardningslover for å forutsi oppførselen til materialer mer nøyaktig under varierte og ekstreme forhold.
Hvordan beregne bøyningsmomentet og deformasjoner i en Bernoulli-bjelke?
For en Bernoulli-bjelke som bøyes, er det første trinnet å uttrykke de relevante forholdene mellom bøyningsmomentet og krumningen, spesielt i den elastiske og elasto-plastiske tilstanden. For den elastiske tilstanden, er bøyningsmomentet relatert til krumningen ved hjelp av ligningen:
hvor er Youngs modul, er bredden på bjelken, er høyden på tverrsnittet, og er avstanden fra nøytralaksen. Denne ligningen gir oss det elastiske bøyningsmomentet ved maksimal elastisk krumning. Når belastningen når det elastiske grensebøyemomentet , vil krumningen være maksimal og definert som:
hvor er flytegrensen for materialet. Dette bøyningsmomentet kan deretter relateres til krumningen ved:
Videre, dersom momentet overskrider dette elastiske grenseverdien, vil materialet begynne å oppføre seg elasto-plastisk, og den elastiske sone vil gradvis bli mindre, mens den plastiske sonen utvider seg. I denne tilstanden kan momentet uttrykkes som:
hvor representerer forholdet mellom elastiske og plastiske områder, og er det fullstendig plastiske grensebøyemomentet som er definert som:
Denne differensieringen mellom elastisk og plastisk tilstand viser at det er en overgang mellom to forskjellige atferder av bjelken: i den elastiske tilstanden er deformasjonen linjær og proporsjonal med bøyningsmomentet, mens i den plastiske tilstanden skjer en økning i deformasjonene på en mer kompleks måte. Ved å bruke de tidligere nevnte ligningene for å relatere og , kan vi observere forskjellen i forholdet mellom det plastiske og elastiske momentet:
I det elastoplastiske området, mellom de elastiske og plastiske grensene, kan vi beskrive krumningen ved:
hvor er det aktuelle bøyningsmomentet. Denne ligningen er viktig for å beregne hvordan bjelken vil deformeres under forskjellige belastningsforhold.
I tillegg til beregningen av bøyningsmomentene og krumningene, er det også viktig å forstå hvordan belastningen påvirker den vertikale forskyvningen av bjelken . I det elastiske området kan denne forskyvningen beregnes ved den andre ordenens differensialligning:
hvor er det andre arealmomentet av tverrsnittet. Ved å integrere denne ligningen to ganger, kan vi finne forskyvningen for en gitt belastning .
Når bjelken går over til det elastoplastiske området, blir ligningen for forskyvningen mer kompleks. Under plastisk deformasjon kan det benyttes en tilnærming der krumningen for små deformasjoner er relatert til den andre ordenens derivasjon av forskyvningen:
Integrering av denne gir en uttrykk for vertikal forskyvning i det elastoplastiske området:
Der konstantene og bestemmes ved de ytre rammene og , som reflekterer de betingelsene som er knyttet til støtten i endene av bjelken.
Dette resulterer i en ny ligning som kan brukes til å beregne deformasjonen i elasto-plastiske forhold. Grafisk kan vi visualisere dette ved å plotte forholdet mellom bøyningsmomentet og forskyvningen, som gir et klart bilde av hvordan bjelken oppfører seg fra ren elastisk til plastisk respons.
Det er viktig å merke seg at bøyningsmomentet påvirker ikke bare de elastiske og plastiske deformasjonsområdene, men også den generelle strukturen til bjelken. I praksis, selv om materialet er elastisk i starten, vil enhver overbelastning føre til plastisk deformasjon i deler av bjelken, noe som kan føre til permanent skade. Denne effekten er spesielt relevant i design og analyse av bjelker som skal tåle både statiske og dynamiske belastninger. Det er derfor viktig å forstå og bruke de korrekte ligningene for å sikre at strukturen fungerer optimalt gjennom hele sitt livsløp.
Hvordan Finite Differanse Metode Brukes til Å Beregne Bjelkens Deformasjon
Metoden for finitte differanser (finite difference method) er en nyttig teknikk for å finne numeriske løsninger på differensialligninger, spesielt i problemer som involverer bjelkedeformasjon under påførte krefter. Ved å bruke et diskret grid kan vi tilnærme løsningen på elastiske bjelker under belastning ved hjelp av et sett med algebraiske likninger, som er lettere å løse enn de originale differensiallikningene.
Som et eksempel, når vi ser på en Bernoulli-bjelke som er understøttet på ulike måter, som en "enkelt understøttet" bjelke eller en "kragebjelke", kan vi bruke den finite differanse tilnærmingen for å finne ut hvordan bjelken vil bøye seg under belastning. Denne tilnærmingen innebærer at vi deler bjelken inn i små seksjoner eller noder, og at vi bruker diskrete differanser for å approximere de nødvendige deriverte.
For en kanterbjelke under konstant distribusjonslast, kan differansemetoden brukes til å utvikle ligninger som beskriver forholdene ved de indre nodene. For eksempel, ved å bruke fem gridpunkter (eller en avstand på ), finner vi følgende ligning for en indre node (node 2) i den kanterbjelken:
Her representerer vertikal forskyvning ved nodene, og er bjelkens bøyningsstivhet. Vi kan skrive lignende tilnærminger for de andre nodene, og ved å bruke grensetilstander som (fast støtte) og (null rotasjon ved støtte), kan vi sette opp et system med likninger som vi deretter løser for å finne nodenes ukjente forskyvninger.
I tilfelle av en bjelke med en fast støtte (kragebjelke), finnes det også grensebetingelser på høyre kant. En vanlig utfordring er at vi introduserer fiktive noder for å håndtere disse grensene, og dette kan skape kompleksiteter i løsningen. Dette kan overvinnes ved å bruke bakover-differanse tilnærminger for de eksterne noder og justere systemet for de interne reaksjonene.
Et eksempel på den numeriske løsningen er:
Her ser vi at de nøyaktige forskyvningene på nodene kan estimeres ved å bruke enkle algebraiske operasjoner, og det relative feilen i forhold til den analytiske løsningen kan beregnes. I tilfelle av den kanterbjelken, for eksempel, er den relative feilen som følge av den numeriske løsningen:
Denne tilnærmingen gir oss en feilanalyse som hjelper oss med å vurdere nøyaktigheten til numeriske løsninger sammenlignet med analytiske løsninger, og kan brukes til å justere modeller eller finjustere gridoppløsningen for mer presise resultater.
I mange tilfeller, som i dette eksemplet, kan den numeriske løsningen ha en viss feil, men ved å analysere feilen og optimalisere grid-størrelsen (som i vårt tilfelle ), kan vi få bedre resultater.
I tillegg til de grunnleggende beregningene, er det viktig å forstå hvordan endringer i bjelkens materialegenskaper, som bøyningsstivhet (), eller geometri, kan påvirke resultatene. For eksempel, hvis bjelken er laget av et annet materiale eller har en annen form, må tilnærmingene justeres for å ta hensyn til disse endringene. Også når man jobber med numeriske metoder, er det viktig å være oppmerksom på gridens oppløsning og hvordan den kan påvirke presisjonen til løsningen. Dette er spesielt viktig når man arbeider med mer komplekse belastninger eller geometrier, hvor en høyere oppløsning kan være nødvendig for å få nøyaktige resultater.
Det er også viktig å merke seg at, selv om metoden for finitte differanser gir en effektiv måte å approximere løsningene på, kan den ikke alltid fange opp de fineste detaljene, spesielt ved kompliserte grensebetingelser eller i tilfellet av sterke ikke-lineariteter i materialet. Derfor er det ofte nødvendig å bruke metoden sammen med andre teknikker, som finite element metoden (FEM), for å få en mer komplett forståelse av systemets oppførsel.