I numeriske simuleringer av elasto-plastisk oppførsel er målet å bestemme spenningsnivået etter en lastinkrement, hvor materialet gjennomgår både elastisk og plastisk deformasjon. For å finne det endelige spenningsnivået σₙ₊₁ benyttes en såkalt predictor–corrector-strategi. Først estimeres en prøvespenningstilstand (σ_trialₙ₊₁), som antas å være elastisk. Dersom denne overstiger flytebetingelsen, må korreksjon gjennomføres for å bringe spenningsnivået tilbake til flyteflaten i samsvar med en plastisk strømregel.

Denne korreksjonen formuleres matematisk som:

σₙ₊₁ = σ_trialₙ₊₁ − Δλₙ₊₁ * E * sgn(σₙ₊₁),

hvor Δλₙ₊₁ er det plastiske multiplikatoret og sgn(σₙ₊₁) betegner retningen til plastisk strøm. Denne formuleringen er implisitt fordi sgn-funksjonen evalueres i den ukjente endelige tilstanden. Dette er kjernen i den fullt implisitte backward-Euler-metoden, også kjent som Closest Point Projection (CPP), hvor stressprojeksjonen skjer langs strømretningen tilbake til flyteflaten.

Bakgrunnen for metoden ligger i prinsippet om maksimal plastisk energi under pålagt total tøyning, samtidig som tilstanden skal ligge eksakt på flyteflaten. Denne kombinasjonen gjør problemet til et optimeringsproblem med sidebetingelser – et ekstremalverdi-problem – hvor man søker den plastiske løsningen som minimerer avstanden fra prøvetilstanden til flyteflaten i energisk forstand, ikke nødvendigvis geometrisk.

For å løse dette systemet, som inkluderer flytebetingelsen F(σₙ₊₁, κₙ₊₁) = 0 og utviklingsligningen for herding κₙ₊₁ = κₙ + Δλₙ₊₁, benyttes Newtons metode. Residualfunksjonene for systemet samles i en vektor m(v), der v = [σ, κ, Δλ]ᵀ. Hver iterasjon innebærer inversjon av Jacobimatrisen ∂m/∂v, som er sammensatt av partiellderiverte av residualene med hensyn til tilstandsstørrelsene.

I en en-dimensjonal setting, hvor elastisiteten er lineær og herdekurven k(κ) er differensierbar, kan elasto-plastisk stivhet defineres som:

E_elplₙ₊₁ = ∂σₙ₊₁ / ∂εₙ₊₁,

og utledes direkte fra de konvergerte løsninger av systemet. For det spesielle tilfellet med lineær herdning, hvor ∂k/∂κ = E_pl = konstant, vil løsningen ikke kreve iterasjoner – det finnes et lukket uttrykk.

Ulike tilnærminger for evaluering av sgn(σ) i korreksjonsleddet gir opphav til forskjellige algoritmer. Evalueres sgn(σ) i prøvetilstanden, får man en eksplisitt forward-Euler-metode. Evalueres den på flyteflaten, enten i begynnelsen av plastiseringen eller iterativt underveis, kan man oppnå semi-implisitte eller delvis konsistente metoder som cutting-plane eller mid-point rule. Men kun CPP-algoritmen sikrer at normalregelen overholdes nøyaktig i den endelige tilstanden, noe som er avgjørende for konvergens og fysikalsk korrekthet i generaliserte tre-dimensjonale analyser.

I det generelle tilfellet, hvor herdekurven er ikke-lineær, kreves det høyere ordens derivasjon av flytebetingelsen med hensyn til herdingsvariabelen. Dette innebærer at Jacobimatrisen inneholder ledd som sgn(σ) * ∂k/∂κ samt ∂ sgn(σ)/∂σ, som igjen krever glatthet i flyteflaten for numerisk stabilitet.

En viktig betraktning ved overgangen fra elastisk til plastisk tilstand er valget av initialverdi for Newton-iterasjonen. Et godt valg – ofte σ_trial for stress, κₙ for herdingsvariabel og Δλ = 0 – bidrar til rask konvergens. I praktisk implementering brukes ofte tilnærmede metoder, hvor iterasjonene avbrytes før full konvergens, særlig i eksplisitte dynamiske analyser der beregningshastighet prioriteres over eksakt nøyaktighet.

Det er også essensielt å forstå at i høyere dimensjoner – spesielt i 3D med full anisotropi – vil ikke den en-dimensjonale konsistensen mellom kontinuerlig og diskret elasto-plastisk modulus nødvendigvis holde. Derfor må det i slike tilfeller benyttes en konsistent tangentmodul, som sikrer samsvar mellom lokal materialrespons og global likevekt i den ikke-lineære løsningsprosedyren.

Endelig må det presiseres at korrekt evaluering av flytebetingelsen, dens gradient og eventuelle herdefunksjoner er fundamentalt for robusthet i algoritmen. I mange materialmodeller er det nødvendig å regularisere sgn(σ)-funksjonen for å unngå numerisk ustabilitet, spesielt nær flyteovergangen hvor sgn(σ) kan være udefinert eller ikke-differensierbar.

Hvordan beregne og bruke elasto-plastiske matriser i finite element simuleringer

Elasto-plastiske beregninger i finite element analyser (FEA) er nødvendige for å simulere materialer som gjennomgår plastisk deformasjon, som ikke bare oppfører seg elastisk, men også utvikler plastiske spenninger under belastning. Den matematiske behandlingen av slike problemer er kompleks, og involverer bruk av konsistente tangentmodulus-matriser, som i dette tilfellet også kalles algoritmiske stivhetsmatriser.

En viktig komponent i elasto-plastiske simuleringer er det konsistente elasto-plastiske tangentmodulssystemet, som kan uttrykkes ved ligninger som den i Eq. (4.30). Denne ligningen beskriver forholdet mellom spenning, plastisk deformasjonsinnsats og hardhetsparameterne under en gitt belastningstilstand. Her defineres de plastiske og elastiske komponentene som spiller sammen for å gi en nøyaktig representasjon av materialets respons på ytre belastninger.

Først beregnes den prøvede tilstanden (trial state), som representerer en hypotetisk spenning- og deformasjonsstilling, før testen på validiteten av denne tilstanden utføres. Hvis denne prøvede tilstanden oppfyller betingelsene for elastisk eller plastisk deformasjon, kan den resulterende spenningen og den plastiske deformasjonsinnsatsen videre beregnes ved hjelp av en iterativ prosess. Den plastiske deformasjonskomponenten justeres deretter gjennom bakprojeksjon ved bruk av metoden for Newton-Raphson iterasjon, som sikrer konvergens mot den fysiske løsningen. Resultatet er en rekke parameteroppdateringer for både spenning, plastisk deformasjonsinnsats og isotrop hardning, som alle reflekterer endringer i materialets oppførsel under belastning.

I den praktiske implementeringen av metoden, som beskrevet i det generelle diagrammet i Fig. 4.5, brukes en kombinert "Predictor-Corrector" metode for å iterere mellom globale og lokale systemer, som til sammen gir en fullstendig beskrivelse av den plastiske responsen til materialet. På globalt nivå, gjennom løsing av de totale systemlikningene, beregnes de nødvendige noder for forskyvningene (u) ved hjelp av Newton-Raphson-metoden. På lokal nivå, som refererer til de enkelte elementene i den finite element analysen, kan plastiske og elastiske deformasjoner samt spenninger oppdateres gjennom beregninger på integrasjonspunktene.

En viktig del av den elasto-plastiske metoden er forståelsen av energibalanse. Komplementær energi spiller en kritisk rolle i beskrivelsen av forholdet mellom elastisk og plastisk energi. Denne energien, som kan deles opp i elastisk og plastisk del, er nødvendig for å løse systemet med konveks optimalisering. Når energien minimeres under de fysiske betingelsene som beskriver materialets oppførsel, kan systemet effektivt beskrives som en løsning på et optimaliseringsproblem, der målsetningen er å minimere den totale komplementære energien mens yield-betingelsene blir oppfylt.

For å implementere denne optimaliseringen, kan man bruke den implisitte Bak-Euler-metoden, som innebærer at de nødvendige parameterne for hver tidsskritt blir oppdatert basert på de nyeste verdiene av de plastiske og elastiske komponentene. Dette tillater en nøyaktig beskrivelse av materialets respons under variende belastningsforhold, inkludert eventuelle plastiske deformasjoner.

Videre, i praktisk bruk, vil numeriske metoder som Newton-Raphson kunne benyttes for å finne løsningene til de ikke-lineære systemene som oppstår ved plastisk deformasjon. Under denne prosessen er det nødvendig å være oppmerksom på at nøyaktigheten av beregningene, spesielt under høy plastisk belastning, er avgjørende for påliteligheten i resultatene. Dette innebærer at riktig valg av numeriske metoder og konvergenskriterier, som for eksempel vektorisering av normene i Newton-metoden, er essensielt for å sikre korrekt løsning.

Den nødvendige energiberegningen og iterasjonene for å oppnå den plastiske løsningen kan beskrives som et konvekst optimaliseringsproblem, der det tas hensyn til både elastisk og plastisk energi i form av de spesifikke komponentene i energimodellen. Ved å bruke denne tilnærmingen kan vi sikre at både spenningstilstandene og plastiske deformasjonsinnsatsene er innenfor de riktige grensene for et elastisk-plastisk materiale.

Det er viktig å forstå at for å oppnå nøyaktige og pålitelige resultater i elasto-plastiske simuleringer er det nødvendig å bruke høypresisjonsnumerikk. Både energiberegningene og iterasjonene krever ekstremt høy nøyaktighet for å sikre at alle plastiske og elastiske overganger mellom elementene blir riktig håndtert.

Endtext

Hva er hardeningens innvirkning på plastiske materialer og flytforhold i ett-dimensjonal plastisitet?

I materialmekanikk er en av de grunnleggende oppgavene å forstå hvordan materialer reagerer under forskjellige lastforhold, spesielt når materialet begynner å oppleve plastiske deformasjoner. En vanlig test for å studere plastiske egenskaper er den uniaxiale strekkprøven med monotont belastning, hvor materialet blir utsatt for en jevn og langsom forlengelse inntil det når sitt bruddpunkt. Ved denne testen er det viktig å merke seg at flytspenningen (yield stress) antas å være identisk både i strekk- og kompresjonsregimet, noe som gir et forenklet, men effektivt, bilde av materialets respons på påkjenning.

En viktig del av teorien for plastisitet er flytkriteriet, som gjør det mulig å bestemme om et materiale gjennomgår kun elastiske eller også plastiske deformasjoner på et gitt belastningspunkt. Under uniaxial strekk begynner plastisk flyt å oppstå når materialet når sin første flytspenning, den såkalte "initial yield stress" (k_init). Generelt kan flytkriteriet uttrykkes som en funksjon av både stress og en intern variabel som representerer isotrop hardening, hvor hardningen av materialet skjer uavhengig av retningen på de påførte kreftene. Denne interne variabelen kan for eksempel være den plastiske strain (ε_pl) eller spesifikt arbeid (w_pl), som beskriver mengden plastisk energi som er blitt konsumert under belastningen.

Når det gjelder ideell plastisitet, vil flytkriteriet kun avhenge av spenningen (σ), og materialet vil forbli plastisk uten ytterligere stivning etter å ha nådd sin flytspenning. I et mer realistisk scenario, der materialet gjennomgår isotrop hardening, vil flytspenningen øke med økende plastisk strain. Dette kan uttrykkes ved at flytspenningen k(κ) avhenger av den plastiske deformasjonsvariabelen κ.

Et annet viktig aspekt ved plastisk deformasjonsmekanikk er flytregelen, som beskriver hvordan plastiske deformasjoner utvikler seg i løpet av belastningshistorien til materialet. Den mest generelle formen for flytregelen knytter endringene i plastisk strain (dε_pl) til en parameter som kalles konsistensparameteren (dλ), som alltid er positiv. Flytregelen kan også beskrives ved å bruke en plastisk potensialfunksjon, som gir en mer nøyaktig modell for visse materialer som ikke følger den assosierte flytregelen (normalregel). For ideell plastisitet, vil flytregelen være knyttet direkte til gradienten av flytkriteriet, og dermed vil plastiske deformasjoner bare oppstå når flytkriteriet er lik null.

Hardening, som er et annet kritisk aspekt av plastisitet, refererer til økningen i materialets flytspenning som et resultat av plastiske deformasjoner. Det finnes forskjellige modeller for hardening, men en vanlig tilnærming er isotrop hardening, hvor flytspenningen øker i takt med den akkumulerte plastiske strain. Isotrop hardening kan beskrives ved en enkel funksjon av den plastiske strain (κ), som er en monoton funksjon av den akkumulerte plastiske deformasjonen. Dette kan føre til en lineær eller ikke-lineær økning i flytspenningen over tid. En annen type hardening er arbeidshardening, hvor hardningen er avhengig av det spesifikke arbeidet som er utført på materialet under plastiske deformasjoner.

For å beskrive hvordan hardening påvirker materialets oppførsel, kan vi bruke et hardeningregime som viser utviklingen av den interne hardeningsvariabelen (κ) i forhold til plastisk strain. Denne utviklingen er viktig å forstå, spesielt i numeriske simuleringer som bruker finite element-metoden, hvor nøyaktige materialmodeller er nødvendige for å forutsi materialets oppførsel under ulike lastforhold.

Modelleringen av plastisk deformasjon og hardening er komplisert, men den gir en dypere forståelse av hvordan materialer oppfører seg under ulike belastninger, og det er avgjørende å bruke passende teorier og modeller for å oppnå realistiske og pålitelige resultater i tekniske anvendelser. Dette er spesielt viktig i områder som konstruksjon, bilindustri og aerospace, hvor materialets styrke og holdbarhet er avgjørende for sikkerhet og ytelse.

Hardeningens betydning ligger i det faktum at det påvirker både flytspenningen og flytregelen, og dermed endrer materialets respons på ytterligere belastninger. Dette innebærer at materialet vil bli mer motstandsdyktig mot plastiske deformasjoner etter hvert som det utsettes for flere sykluser med påkjenning. Dette fenomenet er spesielt merkbart i metaller, som har en tendens til å vise økt styrke med økende plastisk deformasjon.

For å få en mer nøyaktig beskrivelse av materialets respons under plastiske forhold er det viktig å ha et detaljert bilde av hvordan hardening og flytspenning utvikler seg i løpet av belastningen. Kunnskapen om hardeningens mekanisme gjør det lettere å forutsi materialets langvarige oppførsel, som er essensielt i designprosesser der materialet kan oppleve flere belastningssykluser over tid.

Hva var Trump sin forståelse av medier og demokrati?
Hvordan sette Google Chrome som standard nettleser på Windows 11
Hvordan internetkultur former humor, rasisme og ironi: En analyse