Gradient descent er en effektiv metode for å finne minimum av en funksjon, spesielt innen maskinlæring og statistikk. Denne algoritmen starter med et initialt punkt og beveger seg iterativt mot et minimum ved å justere parametrene langs gradienten av funksjonen. Når vi har en tap (loss)-funksjon, for eksempel, er gradienten den retningen der funksjonen vokser raskest. Ved å bevege seg i motsatt retning av gradienten, kan vi gradvis minimere tapet og finne en optimal løsning.

Anta at vi har en tapfunksjon ℓ som er avhengig av vektene ww. Gradientdescent-metoden begynner med et initialt punkt w0w_0, og itererer som følger:

wt=wt−1−μ∇ℓ(yiT,wt−1xi)w_t = w_{t-1} - \mu \nabla \ell(y^T_i, w_{t-1} x_i)

Her er μ\mu steglengden, en positiv konstant som bestemmer hvor store skritt algoritmen tar i hver iterasjon. Hvis tapet er konvekst, vil gradient descent konvergere til et globalt minimum, forutsatt at steglengden er liten nok. Ved ikke-konveks tap kan algoritmen derimot ende i et lokalt minimum, som ikke nødvendigvis er optimalt. Ved diskontinuerlig tap, som i 0/1-tapet, kan imidlertid gradient descent ikke brukes, ettersom metoden forutsetter kontinuitet i tapfunksjonen.

I spesialtilfellet med kvadratisk tap (som representerer en Gaussisk negativ log-likelihood), finnes det en lukket form for løsningen. Når vi har en matrise XX med dimensjonene n×dn \times d, der radene representerer de individuelle datapunktene xiTx_i^T, og en vektor yy som inneholder de respektive etikettene, kan problemet formuleres som:

min⁡∥y−Xw∥2\min \| y - Xw \|^2

Ved å sette den deriverte av tapfunksjonen med hensyn til ww lik null, får vi den normale ligningen:

XT(y−Xw)=0X^T(y - Xw) = 0

Løsningen til dette systemet er:

w=(XTX)−1XTyw = (X^T X)^{ -1} X^T y

Der XX er full-rangert og dermed invertibel. Imidlertid krever dette beregning av matriseinversen, som kan være kostnadskrevende i beregningstid og plass, spesielt når dimensjonen dd er stor. Derfor brukes ofte iterative metoder som Landweber-iterasjon for å finne en tilnærmet løsning uten å måtte beregne inversen direkte.

En iterativ metode som kan benyttes for å oppnå dette er gradient descent, som tilpasser vektene ved hvert steg. Denne metoden er spesielt nyttig når dimensjonen dd er stor, og vi ønsker en løsning på en tidsbesparende måte. Gradient descent for kvadratisk tap kan uttrykkes som:

wt=wt−1−γXT(y−Xwt−1)w_t = w_{t-1} - \gamma X^T(y - Xw_{t-1})

Her er γ\gamma steglengden som styrer hvor mye vi justerer vektene ved hvert steg. Det er viktig at γ\gamma er riktig valgt, ettersom for store skritt kan føre til at algoritmen divergerer, mens for små skritt kan resultere i at konvergensen blir veldig treg.

For gradient descent å konvergere effektivt, må eigenverdiene til XTXX^T X være under en viss grense, som sikrer at algoritmen ikke overskrider konvergenskravene. Dette skjer når γ\gamma er mindre enn 2λmax−1(XTX)2 \lambda_{\text{max}}^{ -1}(X^T X), der λmax\lambda_{\text{max}} er den største eigenverdien av XTXX^T X. I slike tilfeller vil feilen i gradient descent-konvergensen avta eksponentielt over tid, noe som gir en god indikasjon på effektiviteten i denne metoden.

I store datasett, der både antallet treningseksempler nn og dimensjonen dd kan være stor, er en mer praktisk variant av gradient descent kjent som inkrementell gradient descent. I denne versjonen behandles bare ett eksempel av gangen, noe som gjør metoden mye mer skalerbar for svært store datasett.

Inkrementell gradient descent har også vist seg nyttig for å håndtere regulerte metoder som ridge regression og lasso, samt ulike tapfunksjoner som hinge loss, som ofte brukes i støttevektormaskiner (SVM). En fordel med denne fremgangsmåten er at den er svært effektiv når det gjelder å håndtere store datamengder, da den reduserer beregningsbehovet ved å oppdatere vektene basert på individuelle datapunkter snarere enn hele datasettet.

Det er også viktig å merke seg at ulike tapfunksjoner påvirker gradient descent-metoden på forskjellige måter. For eksempel er hinge loss, som brukes i SVM, en konveks funksjon, og derfor vil gradient descent konvergere til et globalt minimum. Dette gjør den særlig godt egnet for klassifiseringsproblemer med linært separerbare data. På den annen side, tapfunksjoner som 0/1-tap er ikke-konvekse, og derfor kan gradient descent kun finne et lokalt minimum, som kan være suboptimalt for slike problemer.

For praktisk anvendelse er det viktig å vurdere både valg av tapfunksjon og algoritme, avhengig av datatypen og problemets natur. Inkrementell gradient descent og tilpasning av steglengde er nøkkelen til suksess i store skala-problemer, og forståelsen av hvordan man velger og bruker disse metodene riktig kan ha stor innvirkning på ytelsen til en maskinlæringsmodell.

Hvordan Stokastisk Gradientnedstigning (SGD) Konvergerer og Forholdet til Funksjoner og Feil

Stokastisk gradientnedstigning (SGD) er en kraftig teknikk for å minimere tap (loss) i ulike maskinlæringsmodeller. Når vi anvender SGD, spesielt i settinger med least squares, kan vi analysere hvordan algoritmen konvergerer mot den optimale løsningen. La oss vurdere et tilfelle der vi har en serie av tapfunksjoner ℓt(w), hvor w representerer parameterne i modellen, og t refererer til de ulike iterasjonene eller treningspunktene.

I et slikt tilfelle kan vi bruke en teorem som beskriver hvordan differensen mellom verdiene av tapfunksjonene i den nåværende og optimale løsningen reduseres over tid. Ved å bruke teorien kan vi konstatere at summen av de kvadrerte forskjellene mellom verdiene for wt og w* over alle t, blir redusert med en hastighet som er invers proporsjonal med antallet iterasjoner T. Dette betyr at jo flere iterasjoner vi gjør, desto nærmere kommer vi den optimale løsningen.

I sammenheng med minst kvadraters problemer, antar vi at tapfunksjonen for hvert punkt t er gitt av ℓt(w) = (yit - wTxit)², der yit er det faktiske resultatet og xit er funksjonene for det aktuelle punktet. Gradientene av disse funksjonene kan uttrykkes som ∇ℓt(w) = -2(yit - wTxit)xit, og ved å analysere gradientens størrelse kan vi se at den er begrenset. Dette gir en teoretisk garanti for at SGD-konvergerer til løsningen med en hastighet som avhenger av antallet iterasjoner, samt størrelsen på de opprinnelige parameterne og dataene.

En av de viktigste innsiktene fra denne analysen er at den gir en øvre grense for hvordan feilene i modellen kan avta. Dette innebærer at feilene, som er målt som residualene mellom de predikerte verdiene og de faktiske observasjonene, vil konvergere til de feilene som oppstår når vi bruker den optimale løsningen w*.

I et annet vanlig tilfelle, der vi har å gjøre med klassifisering, er det nødvendig å vurdere tapfunksjonene som for eksempel log-tap eller hinge-tap. I denne sammenhengen antar vi at de faktiske resultatene yi er enten +1 eller -1, og vi har en normbegrensning på funksjonene xi. Et viktig mål er å analysere hvordan SGD fungerer når vi har en margin i klassifiseringen, som vi kan definere som avstanden fra beslutningsgrensen til de nærmeste treningspunktene. Dette bidrar til å vise hvordan gradientbaserte metoder kan brukes til å finne en beslutningsgrense som korrekt skiller de ulike klassene.

Videre kan vi også analysere hvordan denne tilnærmingen fungerer i praktiske scenarier som perceptron-algoritmen, hvor målsetningen er å finne en hyperplan som separerer dataene i to klasser. Dette kan også relateres til marginbaserte tapfunksjoner som hinge-tap, og hvordan vi kan bruke gradientnedstigning til å minimere feilene.

En annen viktig innfallsvinkel til SGD er når vi tar i bruk Bayesiansk inferens, som tilbyr en annen måte å tilnærme seg parameterestimering på. I Bayesiansk analyse betrakter vi et sett med sannsynlighetsmodeller parametrisert ved θ, og vi bruker Bayes’ teorem for å beregne den posteriore sannsynligheten for θ gitt de observerte dataene. Den posteriore distribusjonen reflekterer hvordan sannsynligheten for ulike verdier av parameteren θ endres i lys av de observerte dataene.

Bayesiansk inferens skiller seg fra maksimal sannsynlighet (MLE) ved at den tar hensyn til a priori informasjon om parameterne, noe som kan gi mer robust estimasjon, spesielt i situasjoner med usikkerhet eller begrenset data. For eksempel kan vi bruke en prior for temperaturmålinger som er begrenset til et spesifikt intervall, basert på fysisk kunnskap om hva som er rimelig i virkeligheten. Dette kan gi bedre resultater enn å stole utelukkende på observasjoner uten noen a priori informasjon.

En av de mest interessante aspektene ved SGD er hvordan metodens konvergensrate påvirkes av størrelsen på de opprinnelige parameterne og datadensiteten. Ved å bruke mer spesifik informasjon om dataene, som å kjenne til et maksimum på normene til funksjonene xi, kan vi stramme grensene for hvordan feilene utvikler seg over tid. Dette kan være nyttig i praktiske applikasjoner der dataene er begrenset eller støyete.

Det er også viktig å merke seg at mens teoretiske garantier gir en klar forståelse av hvordan SGD fungerer, kan praktiske implementeringer møte utfordringer som overfitting, feiljusterte hyperparametre eller ustabile gradienter, som kan forstyrre konvergensen. Dermed er det viktig å utføre grundige eksperimenter og validering for å sikre at algoritmen fungerer som forventet i virkelige applikasjoner.

Endtext

Hva er sammenhengen mellom Bayesiansk estimering og optimering av vektparametre i maskinlæring?

I maskinlæring er estimering av modellparametre en avgjørende del av prosessen for å finne den beste beskrivelsen av dataene. En vanlig tilnærming til estimering er å benytte Bayesiansk teori, som gjør det mulig å inkorporere både data og tidligere antagelser om parameterne. Når vi har en modell som beskriver forholdet mellom inngangene og resultatene, uttrykt som en funksjon av parametrene, kan vi bruke Bayes' teorem til å finne den mest sannsynlige verdien for disse parameterne.

Bayesiansk estimering er basert på posterior sannsynlighet, som er forholdet mellom den a priori sannsynligheten for parametrene og sannsynligheten for dataene gitt parametrene. Mer spesifikt, når vi har et sett med data {(xi,yi)}i=1n\{(x_i, y_i)\}_{i=1}^n, der xix_i er inngangsvektorene og yiy_i er de tilhørende observasjonene, kan vi definere den posterior sannsynligheten for parametrene ww som:

p(w∣x,y)∝p(w)exp⁡(−ℓ(y,wTx))p(w | x, y) \propto p(w) \exp\left(-\ell(y, w^T x)\right)

Her er ℓ(y,wTx)\ell(y, w^T x) en tapsfunksjon som måler forskjellen mellom de observerte verdiene yiy_i og de predikerte verdiene wTxiw^T x_i, og p(w)p(w) er den a priori sannsynligheten for parametrene.

Når vi estimerer vektene ww, benytter vi ofte den maksimale a posteriori (MAP) estimering, som søker å maksimere den posterior sannsynligheten:

wMAP=arg⁡max⁡w∑i=1nℓ(yi,wTxi)−log⁡p(w)w_{MAP} = \arg\max_w \sum_{i=1}^n \ell(y_i, w^T x_i) - \log p(w)

En vanlig tilnærming til regularisering i Bayesiansk rammeverk er å bruke spesifikke priors på vektene. For eksempel, hvis vi antar at vektene har en Gaussisk fordeling med en liten varians, vil dette tilsvare en "ridge" regularisering, som kan uttrykkes som:

p(w)∝exp⁡(−λ∥w∥22)p(w) \propto \exp\left(-\lambda \|w\|^2_2\right)

Hvis vi i stedet benytter en ℓ1\ell_1-norm på vektene, som en prior, får vi en "lasso" regularisering:

p(w)∝exp⁡(−λ∥w∥1)p(w) \propto \exp\left(-\lambda \|w\|_1\right)

Disse regulariseringene hjelper til med å forhindre overtilpasning ved å legge til en straff for store vekter. Valget av prior har en stor innvirkning på hvordan modellen generaliserer til nye data, og i praksis kan det være viktig å eksperimentere med forskjellige typer priorer for å finne den beste tilnærmingen.

Bayesiansk tilnærming til estimering av parametre i binomiske eksperimenter

En interessant anvendelse av Bayesiansk estimering er i binomiske eksperimenter, hvor vi kan bruke denne tilnærmingen for å estimere sannsynligheten for et spesifikt utfall, som i tilfelle av myntkast. La oss anta at vi har en rekke uavhengige myntkast x=[x1,x2,…,xn]x = [x_1, x_2, \dots, x_n], der hvert xix_i kan være enten 1 (kron) eller 0 (mynt). Sannsynligheten for at xi=1x_i = 1 er θ\theta, og xi=0x_i = 0 har sannsynlighet 1−θ1 - \theta.

Sannsynligheten for å observere en gitt sekvens av myntkast xx er gitt ved:

p(x∣θ)=θs(x)(1−θ)n−s(x)p(x|\theta) = \theta^{s(x)}(1 - \theta)^{n - s(x)}

hvor s(x)s(x) er antallet kronkast i sekvensen. I dette tilfellet, for å estimere θ\theta, kan vi bruke en beta-prior, som er en naturlig konjugert prior for Bernoulli-distribusjonen. En beta-fordeling er definert som:

p(θ;α)=Γ(2α)Γ(α)2θα−1(1−θ)α−1p(\theta; \alpha) = \frac{\Gamma(2\alpha)}{\Gamma(\alpha)^2} \theta^{\alpha-1}(1 - \theta)^{\alpha-1}

hvor α\alpha er en parameter som kontrollerer formen på fordelingen. Denne prioren reflekterer vår tro på at θ\theta er omtrent 0,5 (en rettferdig mynt), men den gir samtidig rom for å justere troen på θ\theta basert på observasjonene. Etter å ha observert dataene, kan den posterior sannsynligheten også anta en beta-fordeling, og den betingede forventningen for θ\theta blir gitt som:

E[θ∣x]=s(x)+α−1n+2α−2E[\theta | x] = \frac{s(x) + \alpha - 1}{n + 2\alpha - 2}

Minimax-estimater og risikofunksjoner

Et annet viktig konsept i estimering er minimax-optimalitet, som refererer til en estimator som minimerer den maksimale risikoen. Hvis vi har en risiko-funksjon R(θ^,θ)R(\hat{\theta}, \theta), hvor θ^\hat{\theta} er en estimator og θ\theta er den sanne verdien, er den minimax-optimal estimatoren den som minimerer:

θ^p=arg⁡min⁡sup⁡θR(θ^,θ)\hat{\theta}_p = \arg\min \sup_\theta R(\hat{\theta}, \theta)

I sammenheng med Bayesiansk estimering kan vi vise at den posteriori forventningen E[θ∣x]E[\theta|x] er minimax-optimal under MSE-risiko. Dette kan være nyttig i situasjoner hvor man ønsker å balansere mellom å gjøre estimatene så presise som mulig og samtidig unngå overtilpasning.

Proksimale gradientmetoder og deres anvendelse

Proksimale gradientmetoder er en effektiv klasse av algoritmer for å løse optimeringsproblemer som involverer både differensierbare og ikke-differensierbare funksjoner. De har blitt mye brukt i praktisk maskinlæring, spesielt for problemer som involverer regularisering.

For eksempel, når man løser problemer som ridge-regresjon (med ℓ2\ell_2-regularisering) eller lasso-regresjon (med ℓ1\ell_1-regularisering), kan man bruke proksimale gradientmetoder for å finne den optimale løsningen. I tilfelle ℓ1\ell_1-regularisering, har den proksimale operatoren en lukket form, som er kjent som soft-thresholding operasjonen:

u^=sign(v)max⁡(0,∣v∣−t)\hat{u} = \text{sign}(v) \max(0, |v| - t)

Denne operasjonen setter de mindre verdiene til null og beholder de større, noe som er essensielt i sparsity-induserende metoder som lasso-regresjon. Proksimale gradientmetoder er svært effektive i slike tilfeller fordi de kan håndtere både tap og regularisering samtidig, og de gir en praktisk løsning som kan implementeres med høy ytelse.

Hvorfor ekstreme Trump-tilhengere følger autoriteter og deltar i blodtørstige angrep på motstandere
Hva er betydningen av fotonikk og optoelektronikk i moderne teknologi og industri?
Hvordan Samarbeid Mellom Påtalemyndighetene og Aktorens Kontor Kan Påvirke Etterforskninger
Hvordan håndtere etiske og operasjonelle risikoer ved bruk av autonom kunstig intelligens i detaljhandel?