Hvordan kan vi forstå parametre av orden og symmetriabrudd i systemer med mange komponenter?

Når vi ser på systemer der de mikroskopiske frihetsgradene er koblet gjennom en ordensparameter, som i spinnsystemer, oppstår det interessante fenomener som kan forklares gjennom teori om gjennomsnittsfelt. Denne tilnærmingen gir oss et rammeverk for å forstå hvordan fysiske egenskaper endres når vi nærmer oss kritiske temperaturer eller overganger mellom forskjellige faser.

I et spinnsystem kan vi betrakte to hovedretninger, de langsgående og tverrgående. Ved temperaturer over den kritiske temperaturen, T_c, er den korrelasjonsfunksjonen og susceptibiliteten isotrop, og den gir de samme resultatene som de klassiske teoriene for ordensparametere. Men under T_c, blir det imidlertid store forskjeller mellom oppførselen i de langsgående og tverrgående retningene. I den langsgående retningen er ordenen fullstendig, mens i den tverrgående retningen kan vi se betydelig symmetriabrudd som gir opphav til excitations som er nesten uavhengige av energikostnader.

For systemer med flere spinnkomponenter, spesielt når antallet komponenter øker, vil de tverrgående komponentene vise seg å oppføre seg annerledes. I tilfelle av 2 eller flere komponenter, er effekten av de tverrgående komponentene mer markant. Når symmetrien brytes, vil det kreve svært lite energi å generere eksitasjoner i disse retningene, noe som fører til en proliferasjon av spinnbølger. Denne proliferasjonen er ansvarlig for divergensen i både susceptibiliteten og korrelasjonslengden.

Gjennomsnittsfelteorien kan også anvendes på mange generelle systemer, forutsatt at en lokal ordensparameter kan defineres. I et slikt system kan partisjonsfunksjonen uttrykkes som en funksjonell integrasjon over et felt, som representerer ordensparameteren. Ved å bruke et slikt perspektiv kan vi analysere systemer på mikroskopisk nivå, og den termiske gjennomsnittsverdien av denne parameteren gir oss informasjon om den makroskopiske tilstanden til systemet.

Teorien kan anvendes på både spin- og væskefaser, som i overgangene mellom gass og væske. Her fungerer densiteten som en naturlig ordensparameter, og endringene i densitet mellom de to fasene kan studeres gjennom den samme teoriens rammeverk. Ved å integrere over densiteten i systemet, får vi et uttrykk for systemets partisjonsfunksjon som er analogt med Ising-modellen. Det er viktig å merke seg at de kritiske eksponentene som beskriver faseovergangene, er universelle i teorien og ikke avhenger av detaljene i systemets spesifikasjoner, som dimensjon eller antall komponenter.

Et viktig aspekt av denne teorien er at den, til tross for sine fordeler, ikke tar med de virkelige fluktuasjonene som skjer i et system. Det er her at fluktuasjonene kommer inn i bildet. I virkelige systemer vil små avvik fra gjennomsnittet føre til endringer i de kritiske eksponentene, og disse fluktuasjonene kan være betydelige, spesielt når vi går bort fra de enkle tilfellene der gjennomsnittsfeltet dominerer. Når vi tar fluktuasjonene i betraktning, blir effekten av dimensjonene, antallet komponenter og koblingsmatrisen (J_ij) mer synlige.

Ved å studere disse effektene kan vi få en dypere forståelse av hvordan fysikk på mikroskopisk nivå påvirker makroskopiske egenskaper, som kan hjelpe oss til å lage mer presise modeller av faseoverganger og kritiske fenomener.

Hva avslører den todimensjonale Ising-modellen om kritiske fenomener og symmetribrudd?

I høyt temperaturregime kan partisjonsfunksjonen til modellen ekspanderes i potenser av den reduserte koplingskonstanten $K = \beta J$, hvor $\beta = 1/k_B T$. Ved å utnytte identiteten $e^{KS_i S_j} = \cosh(K)(1 + S_i S_j \tanh K)$ og summere over spinnkonfigurasjonene, kan man vise at bare lukkede polygonale grafer på gitteret gir ikke-null bidrag. Hver graf bidrar med en vekt som avhenger av antall involverte bindinger og deres geometriske struktur. Dette gir en elegant forbindelse mellom den statistiske vekten til spinnkonfigurasjoner og topologiske egenskaper ved lukkede stier på gitteret.

Innføringen av Grassmann-variabler gir et mer kompakt og systematisk rammeverk for å generere disse grafene med korrekte vekter. Grassmann-integralet konstrueres ved å assosiere skapelses- og annihilasjonsoperatorer til horisontale og vertikale bindinger på gitteret. Det resulterende funksjonalintegralet gir ved ekspansjon nøyaktig de samme polygonstrukturene som den kombinatoriske analysen i høyt temperaturregime, og verifiserer dermed konsistensen i metoden. Bruken av Wick's teorem gir en mekanisme for å identifisere hvilke kontraksjoner som gir ikke-null bidrag, og dette begrenser grafene til nettopp de lukkede polygonene.

I denne grensen fremkommer den fri energien per spinn eksplisitt, med Onsagers kjente resultat:

Modellens kraft ligger ikke bare i dens evne til å forutsi kritiske eksponenter nøyaktig, men i hvordan den relaterer mikroskopisk symmetri – her, $\mathbb{Z}_2$-symmetrien under spinninversjon – til makroskopiske fenomener som spontan symmetribrudd. Når temperaturen krysser under $T_c$, oppstår en ikke-null forventningsverdi for magnetiseringen, som fungerer som en ordenparameter for faseovergangen. Dette markerer overgangen fra en desorganisert til en organisert fase og demonstrerer hvordan kollektiv oppførsel kan oppstå fra enkle vekselvirkninger.

Det er viktig å forstå at analysen av denne modellen gir innsikt som strekker seg langt utover dens opprinnelige rammer. Tilnærmingene som brukes – fra formell perturbasjonsteori til bruk av Grassmann-variabler og feltteoretiske metoder – legger grunnlaget for studier av kvantefeltteori, fermionsystemer, og topologiske faser av materie. De gir også et klart eksempel på hvordan matematisk struktur kan avdekke dyp fysisk innsikt, særlig når det gjelder universelle egenskaper ved kritiske punkter.

Hvordan Grønne Funksjoner Er Knyttet Til Fysiske Observerbare Størrelser

For å få grunn tilstands forventningsverdi av en $n$-partikkel operatør, kreves det at matriselementet for $n$ skapelsesoperatorer plasseres til venstre for $n$ ødeleggende operatorer. Dette kan direkte utledes fra $n$-partikkel Grønne funksjoner ved å evaluere alle tidene knyttet til skapelsesoperatorene til en tid $t + \epsilon$, som er infinitesimalt senere enn tidspunktet $t$ for de ødeleggende operatorene.

En generell en-partikkel operatør kan uttrykkes som:

Hvor forventningsverdien kan skrives som:

I systemer med et tidsuavhengig Hamiltonian kan Fourier-transformasjon av frekvenser brukes for å forenkle beregningene. Dette kan uttrykkes som:

For translationalt invariante systemer kan det være nyttig å benytte Fourier-transformasjon i bølgenummerrommet. Dette kan gi en mer effektiv måte å håndtere systemets symmetrier på.

Energien til et system kan bestemmes ved å bruke disse funksjonene. For eksempel, for et system som inneholder to- kroppers krefter, kan energien beregnes ved hjelp av to-kropps Grønne funksjoner. På den annen side kan man også bruke en en-partikkel Grønne funksjon i systemer med Heisenberg-ligningene for bevegelse, som gir direkte uttrykk for energien i form av operatører.

For systemer med vekselvirkninger er det viktig å merke seg at tilnærminger som kun involverer en-partikkel Grønne funksjoner kan være utilstrekkelige. Selv små feil eller tilnærminger som påvirker en-partikkelegenskaper kan ha stor innvirkning på de to-kroppsinteraksjonene, som igjen kan påvirke større systemegenskaper som termisk energi eller grandpotensialet.

En viktig teknikk som ofte brukes for å forenkle de termiske beregningene, stammer fra Pauli, som foreslo å bruke en parameterisert mengde Hamiltonianer som har spesifikke egenverdier. Denne tilnærmingen kan generere uttrykk for energiforskjellen mellom et fullt interaktivt system og et ikke-interaktivt system.

Det er også viktig å merke seg at enkelte tilnærminger, som ser en-partikkel Green's funksjoner isolert, kan føre til feilaktige konklusjoner. Dette er fordi systemets to-kropps korrelasjoner kan være veldig følsomme for slike tilnærminger, og derfor er det nødvendig å bruke mer sofistikerte metoder som tar hensyn til hele mangepartikelsystemet i beregningene.

Hvordan forstå Green's funksjoner i kvantefeltteori: En analytisk tilnærming

Green's funksjoner kan uttrykkes på ulike måter, som den retarderte og avanserte versjonen (GR og GA), avhengig av hvordan de håndterer tidsavhengighet. Disse funksjonene er utformet for å skille mellom "fremover" og "bakover" i tid, og deres poles i det komplekse planet har direkte implikasjoner for de fysiske egenskapene til et system. Figuren 5.1 viser hvordan disse funksjonene er representert i det komplekse w-planet, og hvordan analysen av disse kan føre til dypere forståelse av interaksjoner i mange-partikkelsystemer.

For et translasjonelt invariante system kan Green's funksjoner forenkles betydelig. I slike systemer er det praktisk å måle energier relativt til kjemisk potensial, ettersom p(N) = p i grensen av store systemer. Energi- og impulsløse observasjoner er ofte det beste utgangspunktet for videre analyse, hvor Fourier-transformasjonen av Green's funksjon til impulsrommet gir et konkret bilde av hvordan systemets dynamikk kan forstås i termer av partikkelbevegelse. Den retarderende og avanserte Green's funksjonen knytter sammen sannsynligheten for å finne en partikkel i tilstanden som beskrives av enten en (N+1)- eller (N-1)-partikkelsystem.

I tilfelle av endelige systemer, vil polesene til Green's funksjonene bli tett sammenpakket, og man kan derfor bare måle gjennomsnittlige størrelser. Dette gir opphav til definisjonen av spektrale vektfunksjoner som p(k, w), som beskriver sannsynligheten for å finne en partikkel i en gitt tilstand i impuls-rommet. Dette er en viktig komponent for å forstå hvordan systemets respons kan relateres til eksperimentelle observasjoner, spesielt i høyfrekvente eksperimenter som de som involverer (γ, p) eller (e, e') reaksjoner på kjerner. For slike eksperimenter, som vist i figur 5.2, er det spesielt viktig å vurdere hvordan spektre av vekter kan brukes til å analysere hvilke energinivåer og impulser som er relevante i et bestemt eksperimentelt oppsett.

Videre blir Green's funksjoner ved endelig temperatur behandlet med en litt annen analytisk struktur, ettersom de er periodiske i det komplekse t-planet. Termiske Green's funksjoner, som beskriver systemets respons ved endelig temperatur, kan enten være periodiske eller antiperiodiske, avhengig av systemets karakter. Dette skaper et behov for å undersøke analytiske fortsettelser som kan relatere de fysiske Green's funksjonene til de termiske funksjonene på en måte som gir mening både på den virkelige t-aksen og den imaginære t-aksen.

Når man utfører en analytisk fortsettelse av Green's funksjoner til det komplekse t-plan, kan man benytte seg av den periodiske naturen til Green's funksjonene. For eksempel, gjennom endring av variabler i t-planet, kan vi relatere termiske Green's funksjoner til deres virkelige tids-tilstander, noe som gir en konkret metode for å beregne virkelige fysiske responser gjennom termodynamiske betraktninger. Det er essensielt å forstå hvordan disse termiske fortsettelsene gir oss informasjon om systemets oppførsel ved forskjellige temperaturer og kan benyttes til å forutsi reaksjoner ved høyere energinivåer.

Når man går videre til studiet av Green's funksjoner ved endelige temperaturer, er det viktig å merke seg at disse funksjonene kan være relatert til de mikroskopiske egenskapene ved systemet, og deres analyse gir innsikt i hvordan partikler samhandler ved forskjellige energinivåer og temperaturer. De analytiske strukturene som oppstår fra disse fortsettelsene er avgjørende for å kunne knytte den mikroskopiske beskrivelsen av et system til makroskopiske observasjoner.

Den grunnleggende forståelsen som er nødvendig for å navigere i denne teorien, er at Green's funksjoner, enten det er på lav eller høy temperatur, gir et vindu inn i de kvantemekaniske prosessene som styrer partikkeldynamikk. Gjennom den analytiske strukturen kan vi forstå både transient oppførsel i systemet og dets langtidsadferd. Dette er spesielt viktig i sammenhenger der systemer blir utsatt for eksterne felt eller reaksjoner, som i høyenergi fysikk eller kondensert materie-fysikk.