Hvordan Finite Element Metode (FEM) Forenkler Strukturproblemer og Lar Oss Løse Dem

Den matematiske tilnærmingen kan gi nøyaktige resultater, men dens anvendelse i praksis er sterkt begrenset på grunn av den enorme innsatsen som kreves for å formulere og finne løsningen på et problem med en stor struktur som kan bestå av et stort antall frihetsgrader. Kun for svært enkle rammestrukturer eller enkeltelementer med enkle laster og randbetingelser er en klassisk tilnærming mulig. Finite element metode (FEM) er på mange måter lik andre numeriske metoder, som den endelige differansemetoden og grenseelementmetoden, da den nærmer seg det opprinnelige struktursystemet som har et uendelig antall frihetsgrader, ved hjelp av en forenklet matematisk modell med et begrenset antall frihetsgrader.

Ved å erstatte de opprinnelige differensiallikningene og kontinuitets- og randbetingelser med matriselikningene for finite elementer, som kan løses på en systematisk måte, reduseres ikke bare antallet frihetsgrader for det aktuelle problemet, men man unngår også de uoverkommelig vanskelige utfordringene som følger med å finne løsningen på det klassiske randverdi-problemet. Når det gjelder rammestrukturer som analyseres med den lineære teorien, kan FEM-prosessen oppsummeres i flere trinn.

Først begynner designet av en struktur med valg av tverrsnitt og dimensjoner for hver del av strukturen, basert på tidligere erfaring. Som første trinn i FEM-analysen, deles hele rammestrukturen opp i flere linjeelementer som kobles sammen på nodale punkter. For referanse får hvert element et elementnummer og hvert node et nodenummer. Deretter formuleres stivhetslikningene for hvert element i forhold til de nodale frihetsgradene. Dette trinnet sikrer at likevekten for de enkelte elementene blir oppfylt i en svak eller gjennomsnittlig forstand.

Ved å transformere elementenes stivhetslikninger fra lokale koordinater for hvert element til de globale koordinatene for strukturen, og ved å opprettholde nodal kompatibilitet og likevekt mellom tilkoblede elementer, kan vi samle alle elementlikningene og utlede de globale stivhetslikningene for hele strukturen. Videre, ved å pålegge passende geometriske randbetingelser, oppnår strukturen kinetisk stabilitet, i den forstand at stive kroppers bevegelser fjernes, som indikert ved at den globale stivhetsmatrisen er positivt definert.

Selve diskretiseringen eller idealiseringen av strukturen er første steg i FEM-prosedyren. I dette steget må det gjøres antagelser om geometri, tverrsnittsegenskaper, forbindelser, materialer, randbetingelser og lastbetingelser. Med slike antagelser kan en struktur som i utgangspunktet fremstår som et kontinuum med komplekse laster og randbetingelser, tilnærmes som en matematisk modell med et endelig antall frihetsgrader, slik at nøyaktige analyser kan gjennomføres.

All informasjon som angår strukturen, må forberedes som inputdata før et FEM-program kan kjøres. Tradisjonelt ble denne forberedelsesfasen kalt preprosessering, i motsetning til selve prosesseringsfasen for å utføre analysen, og postprosessering for å vise resultatene. Selv om ulike preprosessorer har blitt utviklet tidligere for å forbedre effektiviteten i datainnsamlingen, for eksempel ved hjelp av interaktiv datagrafikk, forblir datainnsamling fortsatt den mest kritiske delen av FEM-analyse, både når det gjelder tid og innsats brukt av ingeniører i designkontorer.

En av utfordringene er at prosedyren for valg og kontroll av strukturell geometri er iterativ i natur, og at menneskelige feil er vanlige i tilfelle av store, komplekse strukturer. Denne boken forutsetter at leserne er kjent med prosedyrene for lineær FEM-analyse og forberedelse av strukturelle data som kreves for slike prosedyrer. Det vil derfor ikke bli gjort et forsøk på å gå i detalj om de grunnleggende programmeringsaspektene ved FEM-analyse.

Gjennom boken vil strukturelle elementer som kun kan bære aksiale krefter, som støttebjelker i stålramsystemer, bli omtalt som stang- eller trusselementer. Derimot vil strukturelle elementer som kan motstå aksiale, bøynings- og torsjonskrefter, som bjelker og søyler, bli omtalt som bjelke- eller rammeelementer. For å gjøre det lettere for leserne å forstå symbolene og notasjonen som brukes, vil derivasjonen av likningene for de lineære problemene bli presentert som en forenklet form for de mer kompliserte ikke-lineære problemene som vil bli behandlet i de senere kapitlene.

Det grunnleggende konseptet for lineær analyse kan oppsummeres ved at strukturen behandles som en elastisk lineær struktur under forutsetning om at de geometriske endringene forårsaket av deformasjon er ubetydelige. I denne analysen kan ingen forskjell mellom de totale og oppdaterte Lagrange-strain-tensorene gjøres, ettersom disse blir identiske, noe som indikerer at den lineære analysen er en spesiell form for den ikke-lineære analysen som kun krever ett lastøkningstrinn. Dermed kan vi forstå lineær analyse som en forenkling der de geometriske og materialrelaterte endringene forutses å være så små at de kan neglisjeres i analysen.

I den lineære analysen kan både de eksterne kreftene og de indre deformasjonene behandles på en måte som gjør at vi kan beregne hvordan elementene vil reagere på de påførte kreftene uten å måtte ta hensyn til de kompliserte, ikke-lineære interaksjonene som kan oppstå ved større belastninger.

Hvordan forstå stivhetsmatrisens rolle i ikke-lineære elementer og stive rotasjoner

Når et element er i likevekt ved et punkt $C_1$, kan de initiale kreftene $\{1f\}$ uttrykkes som en funksjon av de påkrevde momentene $M_z$ og $M_zb$ og de påkrevde kreftene på elementet. For en bjelke som gjennomgår en stiv rotasjon, hvor rotasjonen er liten, kan elementets forflytning $\{u\}_r$ beskrives ved en enkel vektor som tar hensyn til de stive rotasjonene. Dette kan skrives som $\{u\}_r = \langle 0, 0, \theta_r, 0, L\theta_r, \theta_r \rangle$, hvor $\theta_r$ er den stive rotasjonen som påføres elementet.

En visuell representasjon av hvordan krefter genereres gjennom den geometriske stivhetsmatrisen under en stiv rotasjon kan sees i figurene som er beskrevet i teksten. Når rotasjonen påføres, vil kreftene som virker på elementet endres, og de resulterende kreftene $\{2f\}$ ved punkt $C_2$ kan beregnes. Kreftene er relatert til de opprinnelige kreftene ved $C_1$, men de har blitt rotert med en vinkel som tilsvarer den stive rotasjonen $\theta_r$.

Selv om stiv rotasjon er en viktig del av analysen, er det andre typer stive bevegelser som også kan være relevante. En stiv translasjon er trivial, men for fullstendighet bør alle mulige typer stive bevegelser vurderes i analysen av ikke-lineære elementer.

I tillegg til de tekniske beregningene som er gjort i analysen, er det viktig å forstå at for små stive rotasjoner kan stivhetsmatrisen $[kg]$ håndtere slike bevegelser uten problemer. For store rotasjoner er det derimot viktig å merke seg at selv om den matematiske modellen kan håndtere slike tilfeller, kan det oppstå praktiske utfordringer i numeriske simuleringer. Dette er spesielt relevant i inkrementelle og iterative analyser, hvor store rotasjoner kan skje mellom hvert trinn. En annen viktig observasjon er at de beregnede kreftene etter en stiv rotasjon kan relateres til de opprinnelige kreftene gjennom en enkel transformasjon, som gjør det lettere å bruke disse resultatene i videre analyser.

Hvordan utledes den geometriske stivhetsmatrisen for rombjelker i tredimensjonale rammestrukturer?

Den geometriske stivhetsmatrisen for et tredimensjonalt bjelkeelement i rommet blir utledet med utgangspunkt i den virtuelle arbeidsekvationen som involverer forskyvningsvektorer og deres variasjoner. Her inngår alle komponenter av forskyvningene, både translationskomponenter {ū}, {v̄}, {w̄} og rotasjonskomponenten {θx}, som er relatert til den totale forskyvningsvektoren {u} med tolv frihetsgrader. Denne matrisen, som framkommer som en kombinasjon av flere undermatriser, representerer de elastiske og geometriske bidragene til stivheten i elementet.

Den geometriske stivhetsmatrisen [kg] er basert på en ingeniørtilnærming som inkluderer både aksialt tøy, skjærdeformasjoner og tilhørende spenninger. Det innebærer at alle virkemidlene i bjelken – aksialkrefter, skjærkrefter, moment og torsjonsmomenter – samt deres stabilitetseffekter er medregnet i matrisen. Spesielt tar formuleringen hensyn til hvordan bøyemomentene og torsjonsmomentene oppstår i tverrsnittet ved den deformerte C2-konfigurasjonen. Momentene blir klassifisert som kvasitangensielle for bøyemomentene og semitangensielle for torsjonsmomentene, noe som understrekes av de grensetermene som inngår i den virtuelle arbeidsekvationen.

Det er særlig viktig å merke seg at den induserte momentmatrisen har blitt undervurdert i tidligere forskning på stabilitet i romrammer, til tross for dens avgjørende betydning for korrekt modellering av elementers respons ved stabilitetsbrudd og ikke-lineære analyser.

Ved anvendelse av dette elementet i ikke-lineær analyse økes overflatespenningene trinnvis, noe som fører til en økning i det eksterne virtuelle arbeidet. Dette trinnvise prinsippet sikrer at den geometriske stivhetsmatrisen og de tilhørende momentmatrisene oppdateres korrekt i hver iterasjon, noe som er essensielt for nøyaktige resultater i komplekse rammestrukturer under store deformasjoner og stabilitetsproblematikk.

Videre bør man være klar over at bruken av slike stivhetsmatriser krever nøye oppmerksomhet til knutepunktsforbindelser og samsvar mellom elementene i den endelige strukturen. Bare ved korrekt sammenstilling av elementer kan man sikre symmetrien og konsistensen i det globale stivhetsmatrisenivået, noe som er kritisk for at den numeriske modellen skal gi pålitelige resultater.