I fysikkens verden spiller tilnærminger en uunnværlig rolle, spesielt når det gjelder løsningen av kompliserte problemer. Tilnærminger som oppstår naturlig i funksjonelle integraler inkluderer perturbasjonsekspansjoner, sløyfeekspansjoner rundt stasjonære løsninger, samt stokastiske tilnærminger. Før vi går videre til mer generelle systemer med mange partikler, er det nyttig å illustrere den grunnleggende ideen med Feynman path integral, som opprinnelig ble introdusert i et banebrytende papir av P.A.M. Dirac i 1933, og senere videreutviklet av R.P. Feynman på slutten av 1940-tallet og begynnelsen av 1950-tallet.

Feynman path integral er en sentral del av kvantemekanikk, og det er spesielt nyttig når vi ser på tidsutvikling i kvantemekaniske systemer. Konseptet er bygd på ideen om at en partikkels tilstand kan beskrives av alle de mulige banene den kan ta, hvor hver bane bidrar med en vektet sum, som er eksponensialen av handlingen langs banen. Dette er matematisk uttrykt som et integral over alle mulige baner som partikkelen kan følge mellom to punkter.

For å forstå denne tilnærmingen i detalj, kan vi først se på evolusjonsoperatoren for et kvantemekanisk system. Evolusjonsoperatoren beskriver hvordan en kvantemekanisk tilstand utvikler seg over tid. Når tidsintervallet er svært kort, kan denne operatoren tilnærmes på en måte som gir oss muligheten til å bruke et funksjonelt integral. Hvis vi deler et endelig tidsintervall i uendelig små steg og evaluerer evolusjonsoperatoren for hvert steg, kan vi deretter kombinere disse bidragene for å få et resultat for det totale tidsintervallet.

I denne tilnærmingen er det viktig å bruke en form av normalordnet operator, spesielt når man arbeider med operatorer som er uttrykt i form av posisjon og momentum. Dette gjør det mulig å skape et presist funksjonelt integral som kan brukes til å beregne egenskaper som bølgefunksjonens utvikling. Den viktigste fordelen med denne tilnærmingen er at den, i grensen når tidsintervallet går mot null, gir korrekt utvikling av bølgefunksjonen, selv om tilnærmingen kan inneholde små feil i høyere ordener.

Når vi går videre til et system med mange partikler, kan Feynman path integral gi oss en måte å beregne overganger mellom tilstander i et system som er langt mer kompleks enn hva som kan oppnås med tradisjonelle metoder. Et viktig aspekt av denne tilnærmingen er at vi ser på alle mulige baner (eller tilstander) som et system kan gå gjennom, og det er summen over disse banene som gir oss den endelige løsningen.

I praksis kan Feynman path integral brukes til å beskrive hvordan kvantemekaniske systemer evolverer over tid. For et enkelt system, som en partikkel i et potensial, kan dette uttrykkes som et integral over alle banene som starter på en posisjon ved et gitt tidspunkt og ender på en annen posisjon på et senere tidspunkt. Denne banen bidrar med en eksponensial av den klassiske handlingen langs banen. Et viktig trekk ved denne tilnærmingen er at i grensen når h-bar går mot null, vil de dominerende bidragene komme fra de banene som nærmer seg den klassiske banen. Denne klassiske banen er den banen som systemet ville ta i et klassisk system, og dens betydning blir tydelig gjennom Feynmans formalisme.

Det finnes flere tilnærminger som kan forbedre nøyaktigheten i beregningene som involverer Feynman path integral. En viktig tilnærming er stasjonær-fase tilnærmingen, hvor man ser på de banene som bidrar mest til overgangsamplituden, og dette skjer når man nærmer seg den klassiske banen. Denne tilnærmingen kan være svært effektiv når man arbeider med systemer som er nært til den klassiske grensen.

I kvantemekanikkens verden oppstår kvantemekanisk interferens direkte fra summene over alle mulige baner. Hver mulig bane kan bidra med en fasefaktor, og summen av alle slike bidrag kan føre til konstruktiv eller destruktiv interferens, avhengig av banenes relative faser. Denne interferensen er det som gir opphav til de kvantemekaniske effektene som ikke kan forklares av klassisk fysikk.

For å oppsummere, gir Feynman path integral en kraftfull metode for å beskrive kvantemekaniske systemer, spesielt når man arbeider med tidsutvikling og flere partikler. Det gir en måte å integrere over alle mulige baner eller tilstander som et system kan gjennomgå, og summen av disse banene gir oss den nødvendige informasjonen for å beskrive systemets oppførsel. En viktig ting å merke seg er at denne tilnærmingen er spesielt nyttig når man arbeider med systemer som er nær den klassiske grensen, men at det også finnes flere metoder for å forbedre nøyaktigheten i beregningene ved å benytte ulike approksimasjoner.

Hva er quasipartikler, og hvordan beskriver Landau-teorien deres vekselvirkninger i normale Fermi-væsker?

En normal Fermi-væske er et system der vekselvirkningen mellom fermionene kan slås på adiabatiskt, slik at grunntilstanden til det ikke-vekselvirkende systemet kontinuerlig utvikler seg til grunntilstanden til det vekselvirkende systemet. Det sentrale postulatet i Landau-teorien er at det finnes en én-til-én-korrespondanse mellom tilstandene i det ideelle Fermi-gasset og tilstandene i det vekselvirkende systemet. Disse tilstandene kalles quasipartikler, og de representerer eksitasjoner som er svakt modifiserte versjoner av de frie partikkeltilstandene.

For et system av fermioner uten vekselvirkning består grunntilstanden av en Fermi-sjø, hvor alle tilstander med moment mindre enn Fermi-momentet kFk_F er okkupert. Når en svak vekselvirkning gradvis slås på, antas det at hver plane-bølge-tilstand utvikler seg kontinuerlig til en ny tilstand — en quasipartikkeltilstand. Quasipartikler med ∣k∣>kF|k| > k_F tilsvarer tilførte partikler, mens quasihull med ∣k∣<kF|k| < k_F beskriver fjernede partikler.

For at Landau-teorien skal være gyldig, må denne adiabatiske koblingen ikke resultere i dannelse av bundne tilstander. Dette er grunnen til at teorien ikke anvendes på superledere, hvor Cooper-par ødelegger korrespondansen mellom frie og vekselvirkende tilstander. Vi forholder oss her utelukkende til normale tilstander, enten ved å anta frastøtende vekselvirkninger eller ved å arbeide ved temperaturer over overgangene til superfluid eller superledende faser.

Quasipartikler er meningsfulle konsepter kun nær Fermi-overflaten. Levetiden til en quasipartikkel går som (ϵ−μ)−2(\epsilon - \mu)^{ -2}, noe som betyr at eksitasjoner langt unna Fermi-overflaten raskt vil henfalle og dermed ikke kan betraktes som veldefinerte kvantetilstander. Landau-teorien beskriver derfor kun lavtliggende eksitasjoner og kan ikke gi presis informasjon om total energi til grunntilstanden eller høyt exciterte tilstander.

Energien til en quasipartikkel med impuls k\mathbf{k} i tilstedeværelse av andre quasipartikler er ikke kun bestemt av egenimpulsen, men også av tilstedeværelsen av andre quasipartikler. Landau postulerte at energien til systemet endres i henhold til endringer i okkupasjonstall δn(k)\delta n(\mathbf{k}), og denne endringen er gitt ved et vekselvirkningselement f(k,k′)f(\mathbf{k}, \mathbf{k}'). Dette ff beskriver hvordan en quasipartikkel med impuls k\mathbf{k} vekselvirker med en annen med impuls k′\mathbf{k}', og det er symmetrisk i argumentene: f(k,k′)=f(k′,k)f(\mathbf{k}, \mathbf{k}') = f(\mathbf{k}', \mathbf{k}).

Selv om denne teorien er mer generell enn Hartree-Fock-tilnærmingen, er dens matematiske form i samsvar med Hartree-Fock, hvor egenenergien ϵk\epsilon_k blir bestemt på selvkonsistent vis, og vekselvirkningene beskrives via antisymmetriske matriseelementer av to-legeme vekselvirkninger.

Quasipartikler følger Fermi-Dirac statistikk, og ved endelig temperatur er fordelingen gitt av den vanlige Fermi-fordelingen. Ved null temperatur reduseres denne til en trinnfunksjon. Ved ikke-null temperaturer blir quasipartikkelenergiene selvkonsistente, da de avhenger av okkupasjonstallene, som igjen avhenger av energiene.

For systemer med translasjonssymmetri og uten ytre magnetfelt, kan vekselvirkningene mellom quasipartikler forenkles betraktelig. Vekselvirkningselementet f(k,k′)f(\mathbf{k}, \mathbf{k}') avhenger kun av vinkelen mellom de to impulsene når begge ligger på Fermi-overflaten. Dette muliggjør en ekspansjon i Legendre-polynomer:

f(θ)=∑lflPl(cos⁡θ)f(\theta) = \sum_l f_l P_l(\cos\theta)
hvor flf_l er Landau-parametrene og PlP_l er Legendre-polynomer av orden ll. Disse koeffisientene fanger opp hele vekselvirkningsstrukturen, og i praksis faller de raskt av med ll, slik at et lite antall parametre kan beskrive en stor mengde eksperimentelle data. Dette gir teorien både forutsigbarhet og fysikalsk dybde.

I praksis benyttes Landau-teorien til å beregne observerbare egenskaper til normale Fermi-væsker, som spesifikk varmekapasitet, kompressibilitet og respons på ytre felt. Et fundamentalt resultat er at quasipartikler ved Fermi-overflaten har en effektiv masse m∗m^* som avviker fra den bare partikkelmassen. Denne m∗m^* bestemmes gjennom tettheten av tilstander ved Fermi-overflaten og reflekterer modifikasjoner av dispersjonen grunnet vekselvirkninger.

Quasipartikler er derfor ikke bare matematiske konstruksjoner, men har målbare konsekvenser. Spesielt gir de opphav til korrekt temperaturavhengighet i varme- og transportegenskaper i metaller og kjernevæsker. Landau-teorien gir en sammenhengende ramme for å forstå dette uten å måtte kjenne detaljene i den mikroskopiske vekselvirkningen, så lenge man holder seg til lave energier og lave temperaturer hvor quasipartiklene er veldefinerte.

Det er viktig å forstå at teorien ikke kan anvendes i regimer hvor vekselvirkninger gir opphav til nye faser, som superfluiditet eller kvantetilstander uten én-til-én-korrespondanse til Fermi-sjøen. I slike tilfeller må en mer fundamental behandling til, gjerne basert på mikroskopiske mangelegeme-teorier.

Hvordan Agentbaserte AI-systemer Transformer Detaljhandel: BDI og OODA i Praksis
Hvordan er et typisk hjem i Spania? Hva bør du vite når du leier?
Hvordan håndtere semi-strukturerte data og VARIANT-verdier i Snowflake
Hvordan planlegger man et kjøkken som både fungerer i dag og i morgen?