Ved løsning av dynamiske systemer med tidsforsinkelser, der presisjon og stabilitet er essensielle, er partielt spektral (PS) diskretisering en kraftfull tilnærming. Spesielt når systemet er modellert over et forsinkelsesintervall, kreves det en metode som både fanger opp dynamikken i sanntid og historiske effekter i systemets tilstand. PS-diskretisering anvender kollokasjonspunkter og Lagrange-interpolasjon for å uttrykke systemets oppførsel over hvert delintervall, noe som muliggjør en presis og strukturert tilnærming til beregning av tilstandsestimatene.

Diskretiseringen av tidsintegrasjonssegmentet starter med å uttrykke tilstandene x~1,1,k\tilde{x}_{1,1,k} og y~1,1,k\tilde{y}_{1,1,k} som integraler over påvirkningsvariabler multiplisert med systemets basisfunksjoner. Ved å benytte Gauss-Lobatto-kollokasjon og Lagrange-polynomer transformeres disse integralene til en sum over diskrete verdier. Dermed blir integrasjonen eksplisitt formulert i et endelig antall punkter, med initialbetingelsene ϕx,1,0\phi_{x,1,0} og ϕy,1,0\phi_{y,1,0} som basis.

Denne formuleringen leder til en representasjon der tilstandsvektoren nˉ∈R1+Md2\bar{n} \in \mathbb{R}^{1+Md_2} består av sammensatte vektorer for xx- og yy-komponentene over de respektive kollokasjonspunktene. Videre gir kombinasjonen av de diskretiserte integralene en blokkstrukturert matrise, hvor komponentene M~\tilde{M} og M~N\tilde{M}_N representerer systemets dynamikk i diskret rom.

Skiftsegmentet behandles separat. I denne delen evalueres tilstandene x~1,i,k(2)\tilde{x}_{1,i,k}^{(2)} og y~1,i,k(2)\tilde{y}_{1,i,k}^{(2)} i tidligere intervaller basert på tidsforskyvninger. For i=2,…,Q−1i = 2, \ldots, Q-1, benyttes direkte overføring fra tidligere beregnede verdier ϕx,i−1,k(2)\phi_{x,i-1,k}^{(2)} og ϕy,i−1,k(2)\phi_{y,i-1,k}^{(2)}, mens det for i=Qi = Q kreves interpolasjon ettersom tidspunktet h+θM,Q,kh + \theta_{M,Q,k} ikke nødvendigvis samsvarer med forrige nodesett. Dette løses ved å benytte Lagrange-interpolasjon, hvor nye verdier beregnes som lineære kombinasjoner av basisverdier over tidligere intervaller.

Hele skiftsegmentet kan uttrykkes kompakt ved å bruke blokkmatriser UMnU_{Mn} og UMlU_{Ml}, som sammen med identitetsmatriser danner en strukturert tilnærming for hele tidsdomenet. Resultatet av denne d

Hvordan identifiseres de kritiske egenverdiene i store tidsforsinkede kraftsystemer med PIGD-PS-metoden?

I analysen av store tidsforsinkede kraftsystemer er presis beregning av de kritiske egenverdiene avgjørende for vurderingen av systemets stabilitet. PIGD-PS-metoden (Projected Implicit Gradient Descent with Pseudospectral discretization) viser seg å være effektiv i slike sammenhenger, spesielt når den kombineres med transformasjoner som Shift-Invert og Cayley-transformasjonen. Et sentralt poeng er at PIGD-PS er i stand til å fange opp de viktigste svingemodusene i systemet uten å introdusere instabilitet gjennom falske egenverdier.

Ved sammenligning med EIGD-metoden viser det seg at de to metodene gir nesten identiske resultater for de mest relevante egenverdiene på høyre side i det komplekse planet. For eksempel er feilmengdene til PIGD-PS og EIGD for egenverdien λ₄₂ = −46.818 + j705.831 henholdsvis 0.3965 og 0.2818. Dette viser en sterk overensstemmelse i de numerisk kritiske områdene.

Videre er det kjent at de eksakte egenverdiene i tidsforsinkede systemer konvergerer til en endelig kjede, og derfor kan de reduserte egenverdiene som PIGD-PS produserer i venstre halvplan anses som numeriske artefakter uten praktisk betydning for stabilitetsanalysen.

For å sikre at lavfrekvente oscillasjonsmodi i området [0.1, 2.0] Hz ikke overses, benyttes to skiftpunkter λₛ = j7 og j13 i kombinasjon med Shift-Invert-transformasjonen. Ved r = 50, 100 og 200 egenverdier rundt hvert skiftpunkt viser beregningene at PIGD-PS effektivt fanger opp klustre av egenverdier innenfor bestemte radier rundt skiftpunktene. I ett tilfelle identifiseres 117 distinkte egenverdier, som dekker alle 113 elektromekaniske oscillasjonsmodi i systemet – et resultat som bekrefter metodens nøyaktighet.

Et viktig aspekt ved effektiviteten er forholdet mellom dimensjonen til Krylov-underrommet og antallet egenverdier som skal beregnes. Økt antall fører til lengre beregningstid, men ikke nødvendigvis til flere IRA-iterasjoner. Konvergensraten til IRA-algoritmen avhenger av den relative plasseringen av egenverdiene i forhold til skiftpunktet, noe som uttrykkes ved modulsforholdet |λⱼ₊₁ − λₛ| / |λⱼ − λₛ|.

Når metoden utprøves på et system med 80577 tilstandsvariabler (System IV), holder den seg fortsatt effektiv. PIGD-PS bruker bare 53.851 sekunder for å beregne 50 egenverdier, sammenlignet med 52.330 sekunder ved bruk av tradisjonell egenverdianalyse på et tilsvarende forsinkelsesfritt system. Dette viser at metodens skalerbarhet til svært store systemer er høy, til tross for en liten økning i gjennomsnittlig tid per iterasjon.

Cayley-transformasjonen introduseres for å fokusere beregningen på de minst dempede egenverdiene, som ofte ligger nær det reelle aksen og derfor er mest kritiske for stabiliteten. PIGD-PS-Cayley transformerer problemet slik at disse egenverdiene fremtrer med maksimal modulus i det transformerte planet. Med parametre som s₁ = −s₂ = 5, 10, 20 og rotasjonsvinkel θ = 8.63°, brukes IRA-algoritmen til å finne r = 20, 50, 80 egenverdier. Resultatene viser at PIGD

Hvordan den ideelle gassloven beskriver gassers oppførsel under forskjellige forhold
Hvordan Nomineringen av Barry Goldwater i 1964 Endret Det Republikanske Partiet
Hvordan fungerer varsler og automatisert utrulling i SQL Server og Azure?
Hvordan kan trådløse sensornettverk (WSN) bidra til å bekjempe avskoging?