Hoe Fractionele Gaussiaanse Ruis de Statistische Eigenschappen van Quasi-Hamiltoniaanse Systemen Beïnvloedt

Fractionele Gaussiaanse ruis verschilt aanzienlijk van witte ruis, wat van invloed is op de manier waarop we de statistische eigenschappen van systemen die ermee geïntroduceerd worden begrijpen. Het belangrijkste verschil is dat voor systemen die door fractionele Gaussiaanse ruis worden aangestoken, het niet noodzakelijk is om complexe correctietermen toe te passen bij de transformatie van het systeem naar een stochastische differentiaalvergelijking. Dit maakt de benadering van stochastisch middelen een krachtig hulpmiddel bij het bestuderen van systemen met zulke ruis.

In tegenstelling tot witte ruis, die meestal wordt behandeld via tijdsavers, kan fractionele Gaussiaanse ruis worden vervangen door ruimtelijke gemiddelden met betrekking tot snel veranderende processen. Deze benadering vereist een gemiddelde over de tijd, maar voor snel fluctuerende processen kan dat ook via ruimtelijke middelen. De transformatie van de waarschijnlijkheidsdichtheid van het gemiddelde systeem naar de oorspronkelijke systeemdichtheid blijft onveranderd, wat betekent dat er geen bijkomende correctie termen nodig zijn voor de stochastische differentiaalvergelijkingen die het systeem beschrijven.

De voornaamste eigenschap van de stochastische gemiddelde methode is de aanzienlijke besparing van computationele tijd in vergelijking met Monte Carlo-simulaties van het originele systeem, terwijl de resultaten verrassend dicht bij elkaar liggen. Dit maakt de techniek bijzonder nuttig voor het analyseren van complexe dynamische systemen die door ruis worden aangedreven, omdat de rekenkosten van Monte Carlo-simulaties vaak enorm kunnen zijn. Bovendien blijkt uit simulaties dat deze benadering effectief is voor een breed scala van Hurst-indices, wat betekent dat het een breed toepasbare methode is voor veel verschillende typen systemen.

De meeste werkelijke willekeurige opwindingen zijn gekleurde ruis, die zowel breedbandige als smalbandige karakteristieken kan vertonen. Dit betekent dat een gekleurde ruis in sommige frequentiebanden een breedbandig karakter kan vertonen, terwijl het in andere frequentiebanden smalbandig kan zijn. De ontwikkelde methoden voor stochastisch middelen van quasi-integrabele Hamiltoniaanse systemen in deel 1 van volume 2 van dit werk zijn ontworpen om zowel breedbandige als smalbandige ruis te hanteren. Deze technieken worden niet alleen toegepast op systemen die door fractionele Gaussiaanse ruis worden aangedreven, maar ook op systemen die door harmonische ruis en smalbandige ruis worden beïnvloed.

Wanneer het systeem wordt aangedreven door breedbandige ruis, zijn zowel stochastisch middelen als tijdsavers noodzakelijk. In gevallen van interne resonantie of niet-interne resonantie wordt het systeem behandeld door stochastisch middelen en tijdsavers om de afgeleide Itô-differentiaalvergelijkingen en de bijbehorende FPK-vergelijking te verkrijgen. Het resultaat is de stationaire waarschijnlijkheidsdichtheid van het systeem, die weer kan worden vergeleken met de oorspronkelijke systeemdichtheid.

Bij systemen die zowel door harmonische als breedbandige ruis worden aangedreven, is het mogelijk om het systeem te beschouwen als een narrowband-excitatie. Deze methode is ook toepasbaar op systemen die worden aangedreven door zowel harmonische als Gaussiaanse witte ruis. Het resultaat van deze benadering is een stochastisch proces, waarvan de dynamica vaak overeenkomt met de bifurcaties van de Duffing-oscillator.

In quasi-Hamiltoniaanse systemen is de herstellende kracht vaak niet-coupled met de dempingskracht. In de praktijk komen echter andere krachten voor, zoals hysterese, visco-elastische krachten, krachten van fractionele afgeleiden en tijdvertragingseffecten, die genetische effecten vertonen. Bij het toepassen van stochastische middelen op systemen met dergelijke krachten is het van essentieel belang om deze krachten te scheiden in elastische herstellende krachten en viskeuze dempingskrachten. Hiervoor wordt in hoofdstuk 2 van volume 2 een algemeen harmonisch balansprincipe gepresenteerd dat van toepassing is op hysterese en visco-elastische krachten. Het doel hiervan is om deze krachten te ontkoppelen en het systeem om te zetten in een equivalent quasi-integrabel systeem, waarbij de krachten afhankelijk zijn van amplitude of energie.

Het toepassen van stochastische middelen op systemen die worden aangedreven door zowel smalbandige als breedbandige ruis is een krachtig hulpmiddel om de dynamische eigenschappen en statistieken van dergelijke systemen te analyseren, maar het is belangrijk om de structuur van de krachten in het systeem goed te begrijpen. De scheiding van herstellende en dempende krachten speelt een cruciale rol in het verkrijgen van nauwkeurige en efficiënte resultaten. Evenzo is het essentieel om rekening te houden met de invloed van resonantie-effecten, zowel interne als externe resonanties, omdat deze een belangrijke invloed kunnen hebben op de respons van het systeem.

Daarnaast moet men zich ervan bewust zijn dat de stochastische middelenmethode bijzonder nuttig is voor systemen die sterke niet-lineaire effecten vertonen, zoals quasi-integrabele Hamiltoniaanse systemen. Deze systemen vertonen vaak complexe dynamica, zoals bifurcaties, die moeilijk te analyseren zijn met traditionele methoden. Stochastisch middelen biedt hier een manier om deze complexe systemen te vereenvoudigen zonder significante verlies van nauwkeurigheid, wat het een waardevol hulpmiddel maakt voor de analyse van fysische, ecologische en technologische systemen die door stochastische krachten worden aangedreven.

Hoe Stochastische Gemiddelden Werken bij Quasi-Hamiltoniaanse Systemen

In de studie van quasi-Hamiltoniaanse systemen is het vaak noodzakelijk om stochastische methoden toe te passen om het dynamisch gedrag van het systeem te begrijpen. De meeste van deze systemen vertonen complexe interacties tussen hun componenten, die moeilijk te modelleren zijn met standaard deterministische benaderingen. Stochastische gemiddelde methoden bieden hier een krachtig instrument door de tijdsafhankelijke systemen te vereenvoudigen en de dynamica van hun gemiddelde waarden te bestuderen.

Een essentieel concept in deze methoden is de gemeten tijdschaal $T$, die kan worden gedefinieerd als de tijdsafhankelijke gemiddelde waarde van de Hamiltoniaan $H$ van het systeem. Deze gemiddelde waarde helpt bij het begrijpen van de stochastische differentiaalvergelijkingen die de evolutie van het systeem bepalen. De procedure voor het verkrijgen van de gestandaardiseerde Itô-stochastische differentiaalvergelijkingen kan bijvoorbeeld worden uitgevoerd door het gemiddelde van de dynamica over de fasevariabelen $q$ en $p$ te nemen, zoals beschreven in de eerdere formules.

De stochastische gemiddelde methode wordt vaak gebruikt om de overgangsprobabiliteitsdichtheid (PDF) van het systeem te berekenen, die het waarschijnlijkheidsverloop van de verschillende systeemconfiguraties over de tijd beschrijft. Het resultaat van deze methode is een vereenvoudigd systeem van Itô-vergelijkingen, die in wezen de statistische eigenschappen van het oorspronkelijke systeem zonder de gedetailleerde fase-informatie kunnen weergeven. Deze gemiddelde beschrijvingen zijn vooral nuttig in systemen die zich gedragen zoals Markov-processen, waarbij de toekomstige toestand van het systeem alleen afhangt van de huidige toestand, en niet van de voorafgaande paden die het heeft gevolgd.

Bij het toepassen van deze technieken aan specifieke systemen, zoals de van der Pol-oscillator of de Duffing-oscillator, kunnen we complexere variabelen zoals de niet-lineaire demping en de invloed van ruismodelleert. Voor zulke gevallen wordt de Hamiltoniaan van het systeem gesplitst in twee subsystemen, die afzonderlijk kunnen worden geanalyseerd om de gedempte en geëxciteerde oscillaties te begrijpen. De stochastische effecten kunnen verder worden geanalyseerd door middel van kleine-parameter-aanpak zoals de Wong-Zakai-correctie, die kleine afwijkingen in de dynamica als gevolg van ruis integreert.

In meer complexe gevallen, zoals systemen met interne resonanties, worden de dynamische vergelijkingen moeilijker, maar kunnen ze nog steeds worden vereenvoudigd door gebruik te maken van de stochastische gemiddelde methoden. Hier worden de resonanties behandeld als zwakke interne relaties tussen de componenten van het systeem, wat leidt tot een systeem van gekoppelde stochastische vergelijkingen die de resonantie-effecten kunnen integreren.

Deze benaderingen hebben belangrijke implicaties voor het begrijpen van de stationaire oplossingen van het systeem. Wanneer het systeem zich in een stationaire toestand bevindt, kunnen de kansdichtheidsfuncties zoals de overgangs-PDF of de steady-state PDF worden afgeleid. De bijbehorende vergelijking voor de waarschijnlijkheid $p(h)$ van de systemische configuratie is fundamenteel voor het begrijpen van de langetermijngedragingen van het systeem en kan verder worden verfijnd door de afgeleiden van de Hamiltoniaan te analyseren.

Bij het modelleren van dergelijke systemen is het van cruciaal belang om de juiste randvoorwaarden in acht te nemen, die afhangen van de specifieke eigenschappen van de Hamiltoniaan en de opgelegde systeembeperkingen. Deze voorwaarden bepalen of het systeem stationair kan blijven, of dat er bepaalde kritische drempels zijn die de stabiliteit beïnvloeden.

De overgang van gedetailleerde fasebeschrijvingen naar gemiddelde stochastische modellen biedt aanzienlijke voordelen. Het grootste voordeel van de stochastische gemiddelde methode is dat de degeneratie in de oorspronkelijke Itô-vergelijking wordt opgelost. De gedegenereerde diffusiematrices van de oorspronkelijke vergelijking worden vervangen door niet-degenerate diffusiematrices in het gemiddelde systeem, waardoor de analyse eenvoudiger wordt en de klassieke oplossingen van de dynamische programmering vergelijkingen (HJB) beschikbaar komen.

Wanneer men echter deze gemodelleerde benaderingen toepast, moet men rekening houden met de beperkingen van de benaderingen. De vereenvoudigde vergelijkingen beschrijven vaak alleen de langetermijngedragingen van het systeem en kunnen de fijne details van de transiënten of kortetermijndynamica niet vastleggen. Dit is een belangrijk punt van overweging bij het gebruik van dergelijke stochastische technieken voor het modelleren van fysische systemen.

Ten slotte moeten we de krachtige kracht van numerieke simulaties zoals Monte Carlo-methoden erkennen, die kunnen helpen bij het valideren van de resultaten die uit de stochastische gemiddelde benaderingen worden verkregen. Deze simulaties kunnen een visueel begrip bieden van de dynamische eigenschappen van het systeem en bevestigen dat de resultaten van de stochastische gemiddelde methode overeenkomen met de werkelijke, gedetailleerde simulaties van het systeem.

Wat zijn de stochastische gemiddelde methoden voor quasi-Hamiltoniaanse systemen?

In de studie van quasi-Hamiltoniaanse systemen, vooral in de context van stochastische effecten, worden verschillende technieken gebruikt om de dynamica van systemen die verstoringen ervaren, te begrijpen en te voorspellen. Het belang van stochastisch gemiddelde ligt in het vermogen om complexiteit te verminderen door de gemiddelde waarden van een systeem over tijd of ruimte te berekenen, zonder de gedetailleerde microdynamica volledig te behouden. Dit is essentieel bij systemen die door kleine stochastische ruis worden beïnvloed, wat de oplossing aanzienlijk vereenvoudigt.

Bij het afleiden van de stochastische differentiaalvergelijking (SDE) voor de Hamiltoniaan, zoals weergegeven in de vergelijking (6.109), wordt de Di Paola en Falsone-regel toegepast. Het resultaat, de SDE voor de Hamiltoniaan, kan worden geschreven als:

Door de gemiddelde waarde in deze vergelijking te nemen en u gelijk te stellen aan 4, worden de benodigde truncaties en de gemiddelde SDE afgeleid. Dit resulteert in een gemiddelde Fokker-Planck-vergelijking (FPK), die een fundamentele rol speelt bij het begrijpen van de stationaire waarschijnlijkheidsverdelingen van de dynamica van het systeem.

De toepassing van deze stochastische methoden laat zien dat de gemiddelde oplossing vaak dicht bij de simulatieoplossingen ligt, vooral wanneer gebruik wordt gemaakt van Monte Carlo-methoden, zoals geïllustreerd in de simulaties van Zeng en Zhu (2011). Het is opmerkelijk dat de benadering die via stochastische gemiddelden wordt verkregen, vaak nauwkeuriger is dan de oplossing verkregen met behulp van de klassieke Gaussische benadering. Deze overeenstemming tussen de benaderingen benadrukt de effectiviteit van de stochastische gemiddelde techniek bij het modelleren van complexe systemen.

De gemiddelde stochastische methoden kunnen verder worden geoptimaliseerd voor verschillende systemen door middel van de zogenaamde quasi-integrabele systemen, waarbij de Hamiltoniaan een volledig integreerbaar systeem is en actie-hoekvariabelen beschikbaar zijn. In dergelijke gevallen is het mogelijk om via transformaties van de systeemvariabelen en het gebruik van de stochastische jump-diffusie ketenregel de stochastische differentiaalvergelijkingen voor de actie- en hoekvariabelen af te leiden. De resulterende stochastische vergelijkingen bevatten de essentiële elementen van ruis en trillingseffecten die typisch zijn voor dergelijke systemen.

In niet-intern resonante gevallen, waarin de frequenties van het Hamiltoniaanse systeem geen interne resonantie vertonen, is het mogelijk om de gemiddelde stochastische differentiaalvergelijkingen te verkrijgen door tijdsafhankelijk te middelen over de variabelen van het systeem. Dit resulteert in een stochastisch proces waarvan de dynamica afhangt van de resonantiekenmerken van het systeem. De verkregen stochastische modellen kunnen verder worden geanalyseerd om de lange termijn gedragspatronen van de systemen te begrijpen, inclusief hun stationaire waarschijnlijkheidsverdelingen.

De berekeningen in deze systemen zijn cruciaal voor het ontwikkelen van betrouwbare modellen van fysische systemen die gevoelig zijn voor ruis en verstoringen. Dit heeft toepassingen in talloze gebieden, van klassieke mechanica en astrofysica tot financiële wiskunde en klimatologie.

Voor de lezer is het van belang niet alleen de formules en afgeleide vergelijkingen te begrijpen, maar ook de onderliggende concepten van stochastisch gedrag en de dynamische effecten van kleine verstoringen in gesloten systemen. De sleutel tot het gebruik van deze methoden ligt in het vermogen om systematische benaderingen te formuleren die de stochastische invloed van externe invloeden in een model kunnen integreren zonder de kernprincipes van het systeem te verliezen.

De toepassing van deze theorieën op praktische systemen, zoals trillings-impactsystemen, toont aan hoe dergelijke stochastische technieken kunnen worden gebruikt om de stationaire oplossingen en waarschijnlijkheidsverdelingen van complexe systemen te modelleren. De resultaten van deze technieken worden steeds meer waardevol in de voorspelling van systeemgedrag onder variabele externe invloeden.

Hoe de Gemiddelde Fractionele Stochastische Differentiaalvergelijking de Dynamica van Quasi-Integrabele Hamiltoniaanse Systemen Beïnvloedt

De dynamica van quasi-integrabele Hamiltoniaanse systemen kan complex zijn door de invloed van externe stochastische krachten en het niet-resonante gedrag van de componenten. Wanneer een Hamiltoniaans systeem wordt benaderd met behulp van de stochastische gemiddelde methode, worden de oorspronkelijke complexe differentiaalvergelijkingen vereenvoudigd zonder het verlies van essentiële dynamische eigenschappen. Deze benadering maakt gebruik van het concept van gemiddelde stochastische differentiaalvergelijkingen die de evolutionaire eigenschappen van het systeem nauwkeurig kunnen voorspellen, terwijl de rekenlast aanzienlijk wordt verminderd.

Laten we het systeem in overweging nemen dat wordt beschreven door de stochastische differentiaalvergelijkingen (SDEs) van de originele Hamiltoniaanse systemen (zoals beschreven in vergelijking 7.11), waarbij de stationsdichte functies en de bijbehorende gemiddelde kwadratische waarden van de variabelen kunnen worden berekend. De joint stationsdichte van het systeem, $p(q_1, q_2)$, kan worden bepaald door integratie van de oorspronkelijke probabilistische dichtheidsfunctie over de momenta $p_1$ en $p_2$. Dit levert ons de marginaal stationaire PDF's van de toestand $p(q)$ en de variabelen $E[Q^2_1]$ en $E[Q^2_2]$, die de gemiddelde energiewaarden van de bijbehorende subsystemen representeren.

De statistische benadering van de dynamica in een dergelijk systeem wordt sterk vereenvoudigd door het gebruik van de Monte Carlo-simulatie om de stationaire verdeling van de snel variërende componenten te bepalen, wat vervolgens leidt tot een veel efficiëntere berekening van de stationsdichte van het systeem. In de simulaties die zijn uitgevoerd met de gemiddelde fractionele SDE's, zien we een opmerkelijke overeenstemming met de resultaten van de originele systemen. Het belangrijkste voordeel van de gemiddelde benadering is echter de reductie van de computationele tijd, die in veel gevallen aanzienlijk korter is dan bij het simuleren van het oorspronkelijke systeem.

Voor systemen die integrabel en niet-resonant zijn, kan het gebruik van de stochastische gemiddelde methode verder worden toegepast door de stochastische dynamica van de eerste integralen van het systeem te onderzoeken. Het idee van een gemengde benadering, waarbij de tijdgemiddelde processen worden vervangen door ruimtelijke gemiddelde technieken met betrekking tot de hoeken van de actie-hoek variabelen, maakt het mogelijk om de oplossing verder te vereenvoudigen zonder verlies van nauwkeurigheid. Het systeem van n vergelijkingen voor de actievariabelen en bijbehorende hoeken kan worden benaderd door middel van de stochastische regels voor fractionele differentiaalvergelijkingen, die een effectief middel bieden om de stationaire toestandsdichtheid van het systeem te verkrijgen.

Als we de actie-hoek variabelen $I_i$ en $\phi_i$ van een Hamiltoniaans systeem gebruiken, kunnen de overeenkomende fractionele stochastische differentiaalvergelijkingen worden afgeleid die het gedrag van de actie en de hoeken beschrijven. Voor systemen die niet-resonant en integraal zijn, zijn de actievariabelen langzaam variërend, terwijl de hoeken snel variëren. Het gemiddelde van deze variabelen kan leiden tot een verder vereenvoudigd model van het systeem, dat opnieuw kan worden benaderd door de methoden voor stochastische middelwaarde. Dit biedt niet alleen een efficiënte manier om de langetermijnstatistieken van het systeem te begrijpen, maar ook de mogelijkheid om de stochastische integratie over het systeem snel en accuraat uit te voeren.

Het is belangrijk te begrijpen dat de Monte Carlo-simulaties van dergelijke stochastische systemen essentieel zijn voor het verkrijgen van betrouwbare statistische resultaten, vooral wanneer het systeem complex is en de directe oplossing moeilijk te verkrijgen is. Deze simulaties zijn niet alleen noodzakelijk om de stationaire PDF te berekenen, maar bieden ook een diep inzicht in het dynamisch gedrag van het systeem, vooral als het gaat om variaties in de externe stochastische krachten en de invloed daarvan op de interne dynamica van het systeem. Het is van cruciaal belang dat de gebruiker van dergelijke modellen zich bewust is van de implicaties van het vereenvoudigen van de oorspronkelijke systemen en de daarbij behorende aannames die moeten worden gedaan om de stochastische gemiddelde benadering effectief toe te passen.

Bijvoorbeeld, in het geval van twee gekoppelde lineaire oscillatoren, kan de exacte Hamiltoniaanse dynamica van het systeem worden herschreven in termen van een quasi-Hamiltoniaans systeem, waarbij de externe stochastische invloeden de bewegingen van de oscillatoren beïnvloeden. Door de stochastische gemiddelde methode toe te passen op dit systeem, kan men de stationaire PDF verkrijgen die een beter inzicht biedt in de typische dynamische toestanden van het systeem. Dit kan bijzonder nuttig zijn voor het analyseren van systemen met externe excitatie die zich gedragen als fractionele Wiener-processen, waarbij de Hurst-index $H$ tussen 0.5 en 1 ligt.

Het is ook belangrijk op te merken dat, hoewel de stochastische gemiddelde benadering een krachtige tool biedt voor het vereenvoudigen van berekeningen en het verkrijgen van betrouwbare voorspellingen, het nooit volledig de dynamica van het oorspronkelijke systeem kan vervangen. De benadering moet altijd met zorg worden toegepast, rekening houdend met de specifieke aard van het systeem en de precisie die nodig is voor de betreffende toepassing.

Hoe Stochastische Averaging Methodes Werken in Quasi-Integrale Hamiltoniaanse Systemen met Externe Excitatie

In dynamische systemen waar oscillatoren met verschillende frequenties gekoppeld zijn, zoals in het geval van twee niet-resonerende oscillatoren, kan het gebruik van stochastische methoden helpen om het systeem te vereenvoudigen en de eigenschappen van de beweging beter te begrijpen. Wanneer de frequenties van twee oscillatoren niet in een zwakke resonantieve relatie staan, zoals gespecificeerd door de relatie $k_1\omega_1 + k_2\omega_2 = O(\epsilon)$, waar $k_1$ en $k_2$ gehele getallen zijn, spreken we van een quasi-integrabel systeem. Dit soort systemen heeft de eigenschap dat, hoewel ze niet volledig integrabel zijn, ze toch gedrag vertonen dat sterk afhankelijk is van de energie en in sommige gevallen een benaderende oplossing kan worden gevonden door het gebruik van de stochastische averaging methode.

Deze methode, die in sectie 7.3.1 gedetailleerd wordt beschreven, leidt tot de afgeleide, geaverageerde stochastische differentiaalvergelijkingen (SDEs) die de beweging van het systeem kunnen beschrijven. Voor twee gekoppelde oscillatoren kunnen de volgende geaverageerde stochastische vergelijkingen worden verkregen:

waar de coëfficiënten $m_1$ en $m_2$ afhankelijk zijn van de eigenschappen van de oscillatoren en de gekoppelde dynamiek. De ruistermen worden gemodelleerd door de standaard Wiener-processen $B_{H_l}(t)$, en de coëfficiënten van de stochastische vergelijking kunnen worden berekend met de formules:

Bij gebruik van Monte Carlo-simulaties van deze geaverageerde SDE's kunnen de stationaire waarschijnlijkheidsdichtheden van de subsystemen worden berekend. Dit resulteert in de joint stationaire PDF van de verplaatsingen $p(q_1, q_2)$ en de kwadratische momenten zoals $E[Q_1^2]$ en $E[Q_2^2]$, die ons inzicht geven in de langetermijngedrag van het systeem.

Het belangrijk om te realiseren is dat de stochastische averaging methode bijzonder nuttig is wanneer het systeem in een regime werkt waarin de correlatietijd van de ruis, zoals gefractioneerde Gaussische ruis (fGn), kort is in vergelijking met de karakteristieke tijd van het systeem. Echter, wanneer de Hurst-index $H$ van de ruis dichter bij 1 komt, neemt de correlatietijd van de ruis toe, wat leidt tot grotere fouten in de benadering van de geaverageerde vergelijking. Dit effect ontstaat omdat de correlatietijd van de ruis langer wordt, terwijl de ontspanningstijd van het systeem constant blijft. Dit maakt de toepassing van de stochastische averaging methode minder geschikt naarmate de Hurst-index groter wordt, wat kan leiden tot minder accurate voorspellingen van het systeemgedrag.

Monte Carlo simulaties van het geaverageerde stochastische systeem (7.30) en de oorspronkelijke gekoppelde oscillator systemen zoals de van der Pol en Duffing oscillatoren, tonen aan dat voor een Hurst-index dicht bij 1/2, de resultaten van de geaverageerde en de oorspronkelijke systemen goed overeenkomen. Wanneer de Hurst-index echter groter wordt, beginnen de resultaten significant van elkaar te verschillen, wat een indicatie is van de afnemende effectiviteit van de stochastische averaging methode.

Bijvoorbeeld, in systemen met gekoppelde van der Pol en Duffing oscillatoren, beschreven door de vergelijkingen:

waar de ruis wordt gemodelleerd door onafhankelijke gefractioneerde Gaussische ruisprocessen $W_{H1}(t)$ en $W_{H2}(t)$, kunnen de bijbehorende stochastische vergelijkingen worden herschreven in de vorm van quasi-Hamiltoniaanse systemen met gefractioneerde ruis:

In deze herformulering blijkt dat de beweging van de subsystemen (1 en 2) periodiek is, wat typerend is voor integrabele Hamiltoniaanse systemen. De stationaire kansdichtheid voor de verplaatsingen en snelheden kan vervolgens worden berekend door de integratie van de respectieve formules voor $p(q_1, q_2)$, $E[Q_1^2]$ en $E[Q_2^2]$, waarbij men zowel de geaverageerde als de oorspronkelijke systemen simuleert.

Bij het toepassen van Monte Carlo-simulaties op de stochastische differentiaalvergelijkingen die de dynamica van deze gekoppelde oscillatoren beschrijven, wordt aangetoond dat de geaverageerde benaderingen steeds accurater zijn naarmate de Hurst-index afneemt, en dat ze minder geschikt zijn wanneer de index dichter bij 1 komt.