Hoe Resonant Tunneling de Eigenschappen van Nanoschaal Halfgeleiders Beïnvloedt

waarbij m* de effectieve massa van het elektron is. Als m* = 0.067m0 en τ ~ 100 ps, dan kan uit de formule voor Lm worden afgeleid dat Lm = 30 μm.

De faserelexatielengte is gedefinieerd als de gemiddelde afstand die een elektron aflegt voordat de golf van het elektron zijn fase verliest. Net als bij de momentumrelaxatietijd τm heeft de faserelexatietijd τϕ de volgende relatie met de verstrooiingstijd τs:

$$\frac{1}{\tau_\phi} = \frac{1}{\alpha_\phi \tau_s}$$

waarbij αϕ eveneens een constante is tussen 0 en 1, die de effectiviteit van verschillende verstrooiingen voor de fasevernietiging aanduidt. Om het concept van fasevernietiging te begrijpen, stellen we ons een experiment voor met een Aharonov-Bohm (AB) ring. Het elektronstraal wordt bij het ene uiteinde van de ring opgesplitst, beweegt langs de twee armen van de ring en komt bij het andere uiteinde weer samen. Als de lengtes van beide armen gelijk zijn, zijn de fasen van de twee golven bij het ontmoetingspunt gelijk, en neemt de amplitude toe.

Wanneer er echter een onzuiverheid of defect in een van de armen is, zal dit de elektronengolf verstrooien. Omdat de verstrooiing elastisch is, verandert de energie van het elektron niet, maar wel de fase. Wanneer de twee golven elkaar weer ontmoeten, zijn de fasen ongelijk, wat leidt tot interferentie en een afname van de amplitude. Als een magnetisch veld loodrecht op de ring wordt aangelegd, wordt er aan de elektronen die de armen afleggen een fasenfactor toegevoegd die proportioneel is aan de magnetische flux door de ring.

Bij verstrooiing door vaste onzuiverheden verandert de amplitude van de uitgangsgolf niet bij nul magnetische flux, maar het verandert wanneer het magnetische veld sterk genoeg is om de fase-vernietiging door de vaste verstrooiers te compenseren. In deze situatie kunnen we stellen dat de faserelexatietijd τϕ oneindig is. Dit experiment toont aan dat elastische verstrooiers, zoals onzuiverheden of defecten, de faserelexatietijd niet beïnvloeden.

De belangrijkste factor die de faserelexatie beïnvloedt, zijn de inelastische verstrooiingen veroorzaakt door fononen. Een fonon is een kwantum van de roostertrilling en is geen vast punt zoals een onzuiverheid of defect. Zijn verstrooiing op elektronen is willekeurig en inelastisch, wat betekent dat de energie van het elektron tijdens elke verstrooiing verandert. Wanneer twee elektronen die door fononen verstrooid zijn elkaar ontmoeten, is de faseverhouding tussen de twee golven willekeurig, wat leidt tot een gemiddelde afname van de amplitude van de elektronengolf.

$$(\Delta \epsilon)^2 = (\omega)^2 \frac{\tau_\phi}{\tau_s}$$

Wanneer de schaal van een apparaat kleiner wordt dan 100 nm, kan een lage aangelegde spanning leiden tot zeer hoge elektrische velden, van de orde van 10.000 V/cm. Deze hoge velden veroorzaken een drift-snelheid van de elektronen van de orde van 10^7 cm/s. Aangezien er niet genoeg tijd is voor deze elektronen om energie uit te wisselen met hun omgeving, is hun gemiddelde energie hoger dan de thermische gemiddelde waarde kBT, en worden ze aangeduid als “hete elektronen”. Bij kleine elektrische velden is de drift-snelheid van elektronen recht evenredig met de elektrische veldsterkte:

$$v_d = \mu E$$

In situaties van niet-evenwichtstransport, waar het systeem uit zijn thermische evenwicht is, kunnen significante afwijkingen van de Ohm’s wet worden waargenomen, evenals een niet-lineaire afhankelijkheid van de drift-snelheid ten opzichte van de elektrische veldsterkte. Het is belangrijk te begrijpen dat in deze regime de elektronische en opto-elektronische eigenschappen van materialen fundamenteel verschillen van die in thermisch evenwicht, wat cruciaal is voor het ontwerp van nanostructuren en geavanceerde elektronische apparaten.

Hoe het kwantum Hall-effect zich manifesteert in open geleiders

Het kwantum Hall-effect is een fascinerend fenomeen dat zich voordoet wanneer een elektrische stroom door een twee-dimensionale geleider wordt gestuurd die zich in een sterk magnetisch veld bevindt. Dit effect wordt gekarakteriseerd door de quantisatie van de Hall-weerstand, die optreedt bij specifieke waarden van het magnetische veld. De verschillende aspecten van het kwantum Hall-effect kunnen zowel theoretisch als experimenteel worden onderzocht, met bijzondere nadruk op de rol van randtoestanden en de effecten van verstrooiing.

In de ideale situatie, zonder verstrooiing van de randtoestanden, kunnen de toestanden langs de randen van de geleider perfect functioneren als transmissiekanalen voor de elektrische ladingdragers. Dit leidt tot de quantisatie van de Hall-weerstand, een effect dat bijzonder duidelijk is in geleiders die in een sterk magnetisch veld staan. De Hall-weerstand $R_{13,42}$ kan worden uitgedrukt als een functie van de transmissiekansen $T_{ij}$, waarbij de transmissieprobabiliteit tussen verschillende randkanalen wordt gedefinieerd door $T_{ij} = |t_{ij}|^2$. In een ideaal scenario waar geen verstrooiing optreedt, is de transmissie tussen de verschillende kanalen perfect, wat resulteert in een quantisatie van de weerstand.

De verandering in de weerstand kan worden geanalyseerd door de transmissiekansen voor elke toestand te berekenen. Wanneer de transmissie tussen de verschillende toestanden wordt gemengd door de barrière, kunnen de nieuwe weerstandwaarden worden berekend door de transmissiekansen te evalueren met behulp van de Landauer-formule. Dit proces levert een nieuwe formule op voor de Hall-weerstand, die rekening houdt met de reflectie en transmissie van de randtoestanden.

Hoewel deze verstrooiing de Hall-weerstand beïnvloedt, zorgt het feit dat de verstrooiing niet volledig vernietigt dat de kwantisatie van het Hall-effect behouden blijft. De waarde van de Hall-weerstand kan variëren afhankelijk van de configuratie van de poort en de sterkte van het magnetische veld, maar de belangrijkste eigenschap blijft intact: de weerstand is nog steeds gekwantiseerd.

Het is belangrijk om te begrijpen dat de effecten van verstrooiing niet alleen afhankelijk zijn van de barrière zelf, maar ook van de externe omstandigheden, zoals de sterkte van het magnetische veld en de dichtheid van de randtoestanden. In gevallen waar de barrière zeer sterk is, kan de quantisatie van de Hall-weerstand zelfs verdwijnen, maar er is altijd een regio waarin de weerstand nog steeds quantized is. Dit maakt het kwantum Hall-effect een robuust fenomeen, zelfs in de aanwezigheid van verstrooiing.

Verder zijn er experimentele bevindingen die de effectiviteit van het kwantum Hall-effect in realistische systemen bevestigen. Bij het meten van de Hall-weerstand in systemen met verschillende magnetische velden en poortspanningen, kan men de veranderingen in de kwantisatie nauwkeurig volgen. Deze metingen tonen aan dat, zelfs wanneer de randtoestanden worden beïnvloed door verstrooiing, het effect van quantisatie in veel gevallen nog steeds opvalt.

In de praktijk biedt het kwantum Hall-effect waardevolle inzichten in de natuur van geleiding en verstrooiing in mesoscopische systemen. De experimenten laten zien dat, ondanks de verstoringen die in realistische systemen optreden, de kwantummechanische aard van de geleiding nog steeds domineert. Dit heeft niet alleen gevolgen voor de fundamentele natuurkunde, maar ook voor de ontwikkeling van nieuwe technologieën, zoals het gebruik van kwantum Hall-effecten in sensoren of andere elektronische toepassingen.

Wat maakt koolstofgebaseerde elektronica bijzonder?

Koolstofgebaseerde elektronische apparaten hebben zich gepositioneerd als een veelbelovende technologie, vooral door hun unieke elektrische en mechanische eigenschappen. Eén van de belangrijkste uitdagingen bij de ontwikkeling van koolstofgebaseerde apparaten is de integratie ervan in grote schakelingen, op dezelfde schaal als siliciumgebaseerde apparaten. Ondanks de voordelen die koolstof, zoals grafeen en koolstofnanobuizen, biedt, blijft het moeilijk om deze materialen op dezelfde manier te verwerken als traditionele halfgeleiders, wat een barrière vormt voor grootschalige integratie.

Grafeen, een twee-dimensionaal materiaal bestaande uit een enkele laag koolstofatomen, heeft de laatste jaren veel aandacht getrokken. Het werd voor het eerst ontdekt als een materiaal dat relatief eenvoudig geproduceerd kan worden door grafiet mechanisch af te schilferen of door SiC te verhitten. Het atomaire en elektronische structuur van grafeen is opmerkelijk: de koolstofatomen vormen een honingraatstructuur, en de elektronische bandstructuur vertoont een lineaire dispersie in de buurt van het ‘k’ punt in de Brillouin-zone. Deze lineaire dispersie betekent dat de elektronen in grafeen zich gedragen als relativistische deeltjes, wat ongebruikelijke eigenschappen teweegbrengt zoals het anomale kwantum-Hall-effect, dat zelfs bij kamertemperatuur waarneembaar is.

De koolstofnanobuizen (CNT’s), die ontstaan door het oprollen van een grafeenlint, vertonen op vergelijkbare wijze bijzondere eigenschappen. De specifieke structuur van een nanotube wordt gekarakteriseerd door twee integers (n,m), die de chirale vector beschrijven. De elektronentoevoer in deze nanobuizen is quantized, wat betekent dat het aantal toestanden in de nanobuis dat de elektrische stroom kan dragen, gediscretiseerd is. Deze quantisatie kan resulteren in zowel metalen als halfgeleiderachtige eigenschappen, afhankelijk van de afmetingen van de nanotube.

In de nanobuizen zelf, buiten de invloed van contactweerstanden, verloopt het elektrische transport op een bijna perfecte manier, zonder energieverlies of verstrooiing van de deeltjes. Het transport is ballistisch, wat betekent dat de elektronen zich voortbewegen zonder verstrooiing door andere deeltjes in het materiaal, zolang de buis niet te lang is en de temperatuur niet te hoog is. Zelfs bij langere nanotubes kan het transport ballistisch blijven, omdat de mobiliteit van de elektronen tot wel duizend keer hoger is dan die van silicium.

Bij lage temperaturen is de mobiliteit van de elektronen in een CNT extreem hoog, wat betekent dat er weinig energieverlies optreedt door de interactie van de elektronen met akoestische fononen. Dit gedrag verschilt van bulk materialen, waar de mobiliteit typisch afneemt bij lagere temperaturen. Bij hoge energieën kunnen echter inelastische processen optreden, zoals de impact-excitatie, waarbij de elektronen hun energie verliezen door het creëren van elektron-hole paren.

De koolstofnanobuis als kanaal in een transistor biedt daarnaast voordelen ten opzichte van traditionele metalen of siliciumtransistoren. Door de zeer kleine diameter van de nanotube is er een optimale koppeling tussen het kanaal en de poort van de transistor. Dit maakt het mogelijk om de dimensies van de transistor te verkleinen zonder de zogenaamde “short-channel effecten” die bij siliciumtransistoren vaak optreden. Bovendien is het oppervlak van de CNTs perfect, wat betekent dat er geen verstrooiing optreedt door onregelmatigheden in het oppervlak.

Het gebruik van koolstofnanobuizen in transistors, bekend als CNTFET’s (koolstofnanobuis veld-effect transistoren), is al in 1998 voor het eerst gerapporteerd. In deze transistors speelt de CNT het rol van het kanaal, en dit biedt tal van voordelen, zoals een hoge mobiliteit van de ladingdragers en een lage weerstand in het kanaal zelf. Het is een veelbelovende technologie voor de ontwikkeling van toekomstige elektronica, die mogelijk de beperkingen van traditionele siliciumgebaseerde systemen kan overwinnen. De fundamentele voordelen van CNTFET’s zijn hun extreem hoge mobiliteit, geringe energieverliezen en de mogelijkheid om op kleinere schaal te werken.

Naast deze technologische voordelen is het belangrijk te realiseren dat de integratie van koolstofgebaseerde materialen in elektronische apparaten niet zonder uitdagingen is. Er zijn verschillende technische barrières, zoals het moeilijk beheersbare fabricageproces van deze nanostructuren en de kosten van het massaal produceren van hoogwaardige koolstofmaterialen. Ook de lange-termijn stabiliteit van koolstofgebaseerde transistors onder verschillende operationele omstandigheden blijft een onderwerp van onderzoek.

De toekomstige ontwikkeling van koolstofgebaseerde elektronica vereist niet alleen geavanceerde technieken voor de fabricage van CNTs en grafeen, maar ook een beter begrip van de fysica achter deze materialen. De rol van de elektronische bandstructuur, de invloed van temperatuur en spanningsverschillen, evenals de effecten van vervuiling en defecten in het materiaal moeten verder worden onderzocht. Toch biedt de technologie, gezien de uitzonderlijke eigenschappen van de koolstofmaterialen, grote kansen voor het vervangen of verbeteren van siliciumgebaseerde apparaten op lange termijn.