Bij de analyse van een kolom die onder torsiebelasting staat, moet men rekening houden met zowel de krachten die rechtstreeks op de kolom worden uitgeoefend als de momentverdelingen die door de rotaties worden geïnduceerd. Dit type belasting heeft een direct effect op de stabiliteit van de kolom, waarbij buckling optreedt als gevolg van de samengevoegde effecten van axiale krachten en torsie.

De dynamica van een torsioneel belaste kolom kan wiskundig worden beschreven door middel van een stelsel van differentiaalvergelijkingen, die de geometrische en materiële eigenschappen van de kolom integreren. De belangrijkste vergelijking die hierbij van toepassing is, is de afgeleide vorm van de Euler-Bernoulli-buigingstheorie, aangepast voor de torsiebelasting. De vergelijkingen voor de verschuiving van de kolom bij torsie, gegeven door EIyw′′′′−Tv′′′=0EI_y w'''' - T v''' = 0 en EIzv′′′′+Tw′′′=0EIz v'''' + T w''' = 0, beschrijven de wisselwerking tussen de vervormingen van de kolom langs de y- en z-assen.

Het toegepaste koppel TT leidt tot extra momenten die de stabiliteit van de kolom beïnvloeden. Deze momenten worden geïnduceerd door de rotaties in de bucklingfase en worden bepaald door de relaties ΔMz=−12Tθy\Delta M_z = -\frac{1}{2} T \theta_y en ΔMy=12Tθz\Delta M_y = \frac{1}{2} T \theta_z, waarbij θy\theta_y en θz\theta_z de hoeken van rotatie van de kolom zijn. Bij het opstellen van de natuurlijke randvoorwaarden voor de vrije uiteinden van de kolom moet men dus rekening houden met deze geïnduceerde momenten.

In het geval van een kolom in buckling, worden de momenttoestand en de externe belastingen geanalyseerd door te kijken naar het vrije lichaam van het knooppunt BB van de kolom in zowel het xy-vlak als het xz-vlak. De momenten die aan de bovenkant van het knooppunt werken, worden extern gegenereerd door het koppelmechanisme in beide vlakken, terwijl de momenten aan de onderkant intern worden gegenereerd door de spanningsresultaten van de doorsnede.

De uiteindelijke balans van de momenten in deze context wordt beschreven door de formules:
−12EIyw′′+Tv′=Tv′bijx=L-\frac{1}{2} EI_y w'' + T v' = T v' \quad \text{bij} \quad x = L
en

12EIzv′′+Tw′=Tw′bijx=L.\frac{1}{2} EIz v'' + T w' = T w' \quad \text{bij} \quad x = L.

Deze evenwichtsvergelijkingen worden vervolgens gekoppeld aan de randvoorwaarden die de vervorming van de kolom aan de uiteinden bepalen, zoals v=0v = 0 en w=0w = 0 bij x=0x = 0, en de hogere afgeleiden van de verplaatsingen moeten voldoen aan bepaalde voorwaarden bij het andere uiteinde.

De oplossing van deze problemen leidt tot een karakteristieke vergelijking die de kritieke belasting van de kolom bepaalt. Deze kritieke belasting kan worden uitgedrukt als:

Tcr=±πEIyIzL,T_{\text{cr}} = \pm \frac{\pi E I_y I_z}{L},

waarbij de positieve en negatieve tekens aangeven dat het koppel zowel in de positieve als negatieve as van de kolom kan worden toegepast. Voor het geval van een circulaire kolom, waarbij de doorsnede symmetrisch is (d.w.z. Iy=Iz=II_y = I_z = I), kan de kritieke belasting worden vereenvoudigd tot:

Tcr=±πEIL.T_{\text{cr}} = \pm \frac{\pi E I}{L}.

Dit model kan verder worden uitgebreid naar andere soorten kolommen, met verschillende randvoorwaarden en onder invloed van verschillende koppeltypes, door dezelfde benaderingen te volgen. De methode is echter zo algemeen toepasbaar dat men er andere geavanceerde technieken voor het oplossen van bucklingproblemen in ruimtelijke frames aan kan koppelen.

De uitwerking van deze problemen vormt een fundamenteel onderdeel van het ontwerpen van structuren die onder torsiebelasting staan. De verworven resultaten uit de analyse van de kritieke belasting kunnen de basis vormen voor het verder onderzoeken van de stabiliteit van structuren onder complexe belastingen, waarbij niet alleen torsie, maar ook andere krachten, zoals axiale of buigmomenten, moeten worden meegenomen in het model.

De theorieën die hier gepresenteerd worden, kunnen ook worden toegepast op systemen die verder gaan dan een enkele kolom, en ze kunnen worden uitgebreid naar het ontwerp van ruimtelijke frames met meerdere leden. De analyse van de momenten en krachten die in zulke frames werken, moet zorgvuldig worden uitgevoerd, waarbij speciale aandacht wordt besteed aan de stabiliteitsvoorwaarden die zich voordoen wanneer de leden onder verschillende belastingstoestanden buigen of torsie ondergaan.

Hoe de Symmetrische en Antisymmetrische Momentmatrices van Ruimteframe-elementen de Structuurberekeningen Beïnvloeden

De momentmatrix die wordt geïnduceerd aan het uiteinde van een ruimteframe-element kan eenvoudig worden uitgebreid naar het andere uiteinde van het element. Overweeg het uiteinde B van het ruimteframe-element. De geïnduceerde momentmatrix [ki]b[k_i]_b voor dit uiteinde kan worden gedecomposeerd in een symmetrisch deel [s]b[s]_b en een antisymmetrisch deel [a]b[a]_b, zoals gegeven in vergelijking (6.59), met:

[ki]b=[s]b+[a]b[k_i]_b = [s]_b + [a]_b

waarbij [s]b[s]_b en [a]b[a]_b respectievelijk als volgt worden gedefinieerd:

[s]b=[10−M1zbM1yb−M1zb00M1yb00][s]_b = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -M_{1zb} & M_{1yb} \\ -M_{1zb} & 0 & 0 \\ M_{1yb} & 0 & 0 \end{bmatrix} [a]b=[M1yb000−M1zbM1xb0M1zb−M1xb][a]_b = \begin{bmatrix} M_{1yb} & 0 & 0 \\ 0 & -M_{1zb} & M_{1xb} \\ 0 & M_{1zb} & -M_{1xb} \end{bmatrix}

De antisymmetrische matrix [a]b[a]_b kan verder worden uitgedrukt met behulp van de permutatiesymbool eijke_{ijk}, zoals:

aij=12eijkMka_{ij} = \frac{1}{2} e_{ijk} M_k

waarbij het symbool eijke_{ijk} de permutatie van de indices aangeeft en de momentcomponenten M1,M2,M3M_1, M_2, M_3 respectievelijk de momentvectoren zijn langs de xx-, yy- en zz-assen.

Om het afgeleide model te vereenvoudigen, kan de onderliggende transformatiematrix [Φ][Φ] van lokale naar globale coördinaten worden geïntroduceerd. De relatie tussen de lokale en globale momenten wordt gegeven door de transformatie:

{Mˉ}=[Φ]{M}\{M̄\} = [Φ]\{M\}

waarbij de momentvector in de globale coördinaten wordt verkregen door toepassing van de transformatie van lokale naar globale coördinaten. De antisymmetrische matrix [a][a] kan ook worden getransformeerd naar de globale coördinaten via:

[aˉ]=[Φ][a][Φ]T[ā] = [Φ][a][Φ]^T

Met deze transformatie kan de antisymmetrische matrix in de globale coördinaten worden weergegeven als:

aˉpq=epqrΦrkMkā_{pq} = e_{pqr} Φ_{rk} M_k

De som van de antisymmetrische matrices over de gezamenlijke elementen van een knooppunt leidt tot een nulmatrix, wat betekent dat de symmetrische component van de momentmatrix, die overeenkomt met het gezamenlijke momentmatrix [s][s], na het samenstellen van de elementen behouden blijft.

Dit betekent dat, om de evenwichtscondities voor het knooppunt in de vervormde configuratie te waarborgen, alleen het symmetrische gedeelte van de momentmatrix behouden blijft. Dit symmetrische gedeelte wordt vaak aangeduid als de gezamenlijke momentmatrix [kj][k_j], zoals in de vergelijking:

[kj]=[[0][s]a[0][s]b][k_j] = \begin{bmatrix} [0] & [s]_a \\ [0] & [s]_b \end{bmatrix}

waarbij de submatrix [s]a[s]_a voor het uiteinde A van het element wordt afgeleid door de evenwichtsvoorwaarden voor de bijbehorende knooppunten van alle verbonden leden in overweging te nemen. Deze matrix is van belang omdat deze de onderlinge compatibiliteit tussen de verbonden elementen voor de structuur als geheel weerspiegelt.

Het element met de gezamenlijke momentmatrix [kj][k_j] wordt beschouwd als klaar voor verbinding met andere elementen, omdat het de evenwichtscondities voor beide uiteinden van het element in de vervormde configuratie vervult. De stijfheidsvergelijking voor de verbonden elementen wordt dan als volgt geschreven:

[ke]{u}+([kg]+[kj]){u}={2f}−{1f}[k_e]\{u\} + ([k_g] + [k_j])\{u\} = \{2f\} - \{1f\}

waarbij de oorspronkelijke geïnduceerde momentmatrix [ki][k_i] is vervangen door de gezamenlijke momentmatrix [kj][k_j] om te zorgen voor de compatibiliteit met de naburige elementen.

Wat belangrijk is om te begrijpen, is dat de symmetrische geïnduceerde momentmatrix [s][s] vaak wordt aangeduid als de correctiematrix. Dit komt doordat deze matrix wordt gegenereerd door de knooppuntbuigmomenten zo te forceren dat ze zich op een semitangentiële manier gedragen, in plaats van op de oorspronkelijke quasitangentiële manier. Dit zorgt voor de evenwichtscondities in de vervormde configuratie van de structuur, wat van essentieel belang is voor de correcte simulatie van het gedrag van het ruimteframe-element in een structurele analyse.

Verder is het belangrijk om de rol van de antisymmetrische componenten in de momentmatrices te begrijpen. Deze componenten worden meestal geassocieerd met interne rotaties en vormen de basis voor het behoud van de structurele integriteit bij de interactie tussen verschillende elementen. De antisymmetrische matrix zorgt ervoor dat het systeem de vereiste rotaties en vervormingen door de aangrenzende elementen effectief verwerkt.

Hoe het Radicalisme de Amerikaanse Politiek Vormde: De Opkomst van Ronald Reagan en de John Birch Society
Hoe beïnvloeden persoonlijke conflicten en dubieuze praktijken de loopbaan van een profvoetballer?
Wat zijn de implicaties van de Perron-Frobenius theorie voor dynamische systemen?
Hoe de Bloch-oscillaties en Wannier–Stark-staten de elektrische geleiding in superroosters beïnvloeden
De waarde van de bijdrage in tijden van crisis: Edmund Burke en de Franse Revolutie