Hoe kunnen we de stijfheidsmatrix van elementstructuren samenstellen voor een efficiënte analyse van ruimte- en vlakke tralies?

In de systeematische benadering van de opbouw van stijfheidsmatrices voor de analyse van vlakke en ruimte tralies, is het nuttig om de elementstijfheidsvergelijkingen op zo'n manier aan te vullen dat de effecten van krachten en verplaatsingen in de dwarsrichtingen worden meegenomen. Dit zorgt ervoor dat de berekeningen nauwkeuriger worden door deze extra variabelen te integreren, die in sommige gevallen van groot belang kunnen zijn voor de algehele stabiliteit en respons van de structuur. Bijvoorbeeld, voor het vlakke tralie-element kan de verplaatsingsvector {u} en de krachtvector {f} als volgt worden uitgebreid:

$${u}^T = \langle u_a, v_a, u_b, v_b \rangle \quad \text{(2.98)}$$

$${f}^T = \langle F_{xa}, F_{ya}, F_{xb}, F_{yb} \rangle \quad \text{(2.99)}$$

Deze uitbreiding wordt visueel weergegeven in Figuur 2.6. De overeenkomstige stijfheidsmatrix [k] voor het tweedimensionale tralie kan worden uitgebreid door nullen toe te voegen aan de rijen en kolommen die betrekking hebben op de transversale vrijheidsgraden:

$$[k] =$$

\begin{pmatrix} \frac{EA}{L} & 0 & -\frac{EA}{L} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{EA}{L} & 0 & \frac{EA}{L} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Voor een ruimte-tralie-element wordt de verplaatsingsvector {u} en de krachtvector {f} uitgebreid met drie vrijheidsgraden per knooppunt van het element, wat noodzakelijk is om de driedimensionale krachten en verplaatsingen in de ruimte te beschrijven:

$${f}^T = \langle F_{xa}, F_{ya}, F_{za}, F_{xb}, F_{yb}, F_{zb} \rangle \quad \text{(2.102)}$$

De overeenkomstige uitgebreide stijfheidsmatrix [k] voor een ruimte-tralie is als volgt:

\begin{pmatrix} \frac{EA}{L} & 0 & 0 & -\frac{EA}{L} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\frac{EA}{L} & 0 & 0 & \frac{EA}{L} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}

Bij het samenstellen van de structurele vergelijkingen met behulp van de stijfheidsmethode moet men zich ook realiseren dat in de bovenstaande afleidingen aangenomen wordt dat alle toegepaste lasten geconcentreerd zijn op de knooppunten van de elementen. Deze aanname is gemaakt voor de eenvoud van de berekeningen, maar moet niet worden gezien als een beperking van de theorie. Alle lasten die niet direct op de knooppunten van een element worden aangebracht, kunnen eenvoudig worden omgezet naar equivalente knooppuntlasten door gebruik te maken van de concepten van lumped loads of equivalente knooppuntlasten.

Om de structurele vergelijkingen effectief op te stellen, moeten de lokale stijfheidsvergelijkingen van elk element worden getransformeerd naar het globale coördinatensysteem. De oriëntatie van elk element ten opzichte van het globale coördinatensysteem moet worden gedefinieerd. Dit vereist het toewijzen van een lokaal coördinatensysteem voor elk element, waarbij de x-as wordt bepaald door de richting van het element van knoop A naar knoop B, de y-as kan worden gekozen als de kleinere hoofdas van de doorsnede van het element, en de z-as wordt berekend als het kruisproduct van de x- en y-assen.

Zodra de oriëntatie van elk element in het globale coördinatensysteem is vastgesteld, kunnen de krachten en verplaatsingen van het element in lokale coördinaten worden getransformeerd naar de globale coördinaten. Het gebruik van de richtingcosinus van de hoeken tussen de lokale en globale assen maakt deze transformatie mogelijk. De stijfheidsmatrix kan dan worden getransformeerd door de rotatiematrix [γ], wat een orthogonale matrix is, die zorgt voor een correcte vertaling van de krachten en verplaatsingen.

Door de relatie tussen de lokale en globale coördinaten correct toe te passen, kan men de structuurvergelijkingen van de verschillende elementen samenstellen tot één globale structuurvergelijking. Dit proces maakt het mogelijk om de krachten en verplaatsingen van de gehele structuur te berekenen op basis van de stijfheidsvergelijkingen van de individuele elementen. Dit proces is van fundamenteel belang voor de analyse van complexe structuren die uit meerdere elementen bestaan, zoals in het geval van ruimte- en vlakke tralies.

Het is belangrijk om te begrijpen dat de nauwkeurigheid van de stijfheidsanalyse niet alleen afhangt van de correcte opbouw van de stijfheidsmatrix, maar ook van de juiste keuze van de lokale coördinatensystemen voor elk element. De keuze van de oriëntatie van de assen kan grote invloed hebben op de eenvoud en efficiëntie van de berekeningen, evenals op de nauwkeurigheid van de uiteindelijke resultaten. Het correct toepassen van transformaties is essentieel voor het verkrijgen van betrouwbare en fysisch consistente oplossingen in de matrixstructuuranalyse.

Hoe Rotaties de Momenten in Structurele Elementen Beïnvloeden

In de klassieke theorie van buiging en torsie wordt een moment vaak gedefinieerd als een maat voor de kracht die op een object werkt in een bepaalde richting. Deze momenten kunnen zowel extern, door mechanische apparaten aangebracht, als intern, voortkomend uit de interne spanning op de dwarsdoorsnede van een element, zijn. De wiskundige representatie van deze momenten en hun veranderingen bij ruimtelijke rotaties is cruciaal voor het begrijpen van de respons van structuren onder belasting.

Een moment wordt als conservatief beschouwd wanneer de richting en de grootte ervan niet veranderen wanneer de structuur wordt verplaatst, mits de kracht of het moment in de verplaatste configuratie gelijk blijft aan de oorspronkelijke configuratie. Dit is echter niet het geval voor momenten die optreden bij drie-dimensionale rotaties. Zoals we in deze sectie zullen laten zien, veranderen de richting en de grootte van een conservatief moment doorgaans wanneer de structuur waarop het moment werkt, wordt onderworpen aan rotaties in drie dimensies. De vectoriële uitdrukking van dit moment in de verplaatste configuratie zal dus meestal verschillen van die in de oorspronkelijke configuratie.

Verschillende typen momenten, gegenereerd door uiteenlopende mechanismen, zijn eerder geïdentificeerd door Ziegler (1977). Elk type moment wordt gekarakteriseerd door de manier waarop de vector die het moment definieert, roteert naarmate het element waarop het moment werkt, zich deformeert. Het is mogelijk vier basistypen momenten te onderscheiden: axiaal, tangentiëel, semi-tangentiëel en quasitangentiëel van de eerste en tweede soort. Deze types momenten worden in het algemeen aangeduid afhankelijk van de manier waarop het moment zich gedraagt bij verschillende rotaties van de structuur.

Quasitangentiële momenten, van de eerste en tweede soort, vertonen een complexer gedrag waarbij slechts één extra moment wordt geïnduceerd rondom de assen die loodrecht staan op het initiële moment. Dit gedrag komt voor bij specifieke vormen van structurele belasting en wordt vaak geassocieerd met buig- en torsiemomenten.

Net zoals bij de buigmomenten, moeten we ook de effecten van torsie onderzoeken. Het St. Venant-torque, gedefinieerd in (5.56), is een goed voorbeeld van een moment dat door de schuifspanningen in de doorsnede wordt gegenereerd. Wanneer de doorsnede van het element roteert, ontstaan er extra momenten, zoals beschreven in de vergelijkingen (5.59) en (5.60). Deze inductiemomenten zijn cruciaal voor het begrijpen van de algehele rotatierespons van de structuur.

Hoewel de theorieën rond momentinductie complex kunnen lijken, is het essentieel om te begrijpen dat de structurele respons onder belasting vaak afhankelijk is van het type moment en de wijze waarop dit moment zich gedraagt tijdens rotaties. Het verschil tussen axiale, tangentiële, semi-tangentiële en quasitangentiële momenten heeft belangrijke implicaties voor de analyse van structurele systemen, vooral wanneer deze systemen onder niet-lineaire belastingen opereren.

Het begrip dat de richting en de grootte van een moment bij rotaties kunnen veranderen, is essentieel voor een juiste interpretatie van de dynamische en statische reacties van een systeem. Voor de ingenieur of wetenschapper is het van belang deze effecten in rekening te brengen bij het ontwerpen van structuren, zodat de veiligheid en stabiliteit van de constructie gewaarborgd blijven, zelfs onder complexe belastingstoestanden.