In de theorie van de elasticiteit kunnen de niet-lineaire componenten van de vervormingen op een bepaald punt van een doorsnede worden gerelateerd aan de verplaatsingen ux,uy,uzu_x, u_y, u_z op hetzelfde punt. Dit wordt uitgedrukt door de formules:

ηxx=12(ux2+uy,x2+uz,x2)\eta_{xx} = \frac{1}{2}(u_x^2 + u_{y,x}^2 + u_{z,x}^2)
ηxy=ux,yux,x+uy,yuy,x+uz,yuz,x\eta_{xy} = u_{x,y} u_{x,x} + u_{y,y} u_{y,x} + u_{z,y} u_{z,x}
ηxz=ux,zux,x+uy,zuy,x+uz,zuz,x\eta_{xz} = u_{x,z} u_{x,x} + u_{y,z} u_{y,x} + u_{z,z} u_{z,x}

Door de verplaatsingen ux,uy,uzu_x, u_y, u_z in te vullen in deze vergelijkingen, ontstaat een uitdrukking voor de niet-lineaire vervormingen:

ηxx=12(ux2+v2+w2−2yu′v′′−2zu′w′′+2yzv′′w′′)\eta_{xx} = \frac{1}{2}(u_x^2 + v^2 + w^2 - 2yu'v'' - 2zu'w'' + 2yzv''w'')
ηxy=−u′v′+yv′′v′+zv′w′′+w′θx+yθxθx′\eta_{xy} = -u'v' + yv''v' + zv'w'' + w'\theta_x + y\theta_x \theta_x'
ηxz=−u′w′+yv′′w′+zw′w′′+v′θx+zθxθx′\eta_{xz} = -u'w' + yv''w' + zw'w'' + v'\theta_x + z\theta_x \theta_x'

In veel gevallen wordt de term voor de axiale verkorting ux,xu_x,x in de niet-lineaire vervorming ηxx\eta_{xx} als een hogere orde term beschouwd en dus geëlimineerd in de beamtheorie. Dit wordt de 'vereenvoudigde theorie' genoemd. Vanuit een wiskundig oogpunt is er echter geen enkel bezwaar om deze term wel in de afleiding van de beamtheorie op te nemen. In feite, voor computerprogramma's, wordt aanbevolen om alle niet-lineaire vervormingstermen op te nemen, aangezien dit slechts een marginale verhoging van de rekenkosten veroorzaakt, maar de algehele rationaliteit van het numerieke model aanzienlijk verbetert.

In dit hoofdstuk behandelen we nu de potentiële energie die voortkomt uit de initiële spanningen. De energie wordt berekend op basis van de spanningen die optreden door vervormingen van een driedimensionale balk. Dit geeft ons de mogelijkheid om de invloed van verschillende spanningscomponenten zoals de axiale stress τxx\tau_{xx}, de schuifspanningen τxy\tau_{xy} en τxz\tau_{xz}, en de torsionele vervorming te analyseren.

De potentiële energie van de axiale spanning τxx\tau_{xx} kan worden afgeleid met de volgende uitdrukking:

τxxδηxxdV=∫0L(Fx′δ(u+v′2+w′2)+IyzFz′δw+δv′′2+Kˉδθx′2)dx\tau_{xx} \delta \eta_{xx} dV = \int_0^L \left( F_x' \delta (u + v'^2 + w'^2) + I_y z F_z' \delta w + \delta v''^2 + \bar{K} \delta \theta_x'^2 \right) dx

In deze vergelijking komen termen voor die de bijdrage van de axiale krachten Fx′F_x', de momentafwijkingen My′M_y', en de torsionele vervormingen θx′\theta_x' bevatten. Door het toepassen van de Euler-Bernoulli theorie kunnen we verder de potentiële energie van schuifspanningen τxy\tau_{xy} en τxz\tau_{xz} bepalen:

τxyδηxydV+τxzδηxzdV=∫0L(Fyδ(w′θx−u′v′)−Fzδ(v′θx+u′w′))dx\tau_{xy} \delta \eta_{xy} dV + \tau_{xz} \delta \eta_{xz} dV = \int_0^L \left( F_y \delta (w' \theta_x - u'v') - F_z \delta (v' \theta_x + u'w') \right) dx

Door het gebruik van symmetrie en torsionale parameters, kunnen we deze expressies verder vereenvoudigen. Voor een bisymmetrische doorsnede, bijvoorbeeld, stellen we α=1/2\alpha = 1/2 in en krijgen we een gestroomlijnde formule:

τxyδηxydV+τxzδηxzdV=∫0L(Fyδ(w′θx−u′v′)−Fzδ(v′θx+u′w′))dx\tau_{xy} \delta \eta_{xy} dV + \tau_{xz} \delta \eta_{xz} dV = \int_0^L \left( F_y \delta (w' \theta_x - u'v') - F_z \delta (v' \theta_x + u'w') \right) dx

De gecombineerde potentiële energie voor alle spanningen wordt dan:

τxxδηxx+τxyδηxy+τxzδηxzdV=∫0L(Fxδ(u′2+v′2+w′2)+…)dx\tau_{xx} \delta \eta_{xx} + \tau_{xy} \delta \eta_{xy} + \tau_{xz} \delta \eta_{xz} dV = \int_0^L \left( F_x \delta (u'^2 + v'^2 + w'^2) + \ldots \right) dx

In dit stadium hebben we de potentiële energie die voortkomt uit de initiële spanningen van een driedimensionale balk afgeleid. Deze energie heeft een directe invloed op de stabiliteit van de structuur, aangezien alle spanningscomponenten – axiale krachten, schuifspanningen en torsie – zorgvuldig in de afgeleide formules worden meegenomen.

Het is belangrijk te benadrukken dat de invloed van de initiële spanningen niet slechts een theoretische overweging is, maar een praktisch essentieel aspect bij de modellering van ruimtelijke frames. In complexe structuren, waar niet-lineaire vervormingen prominent aanwezig zijn, kunnen kleine initiële spanningen een aanzienlijke invloed hebben op de uiteindelijke respons van het systeem. Dit maakt het noodzakelijk om deze invloeden op een nauwkeurige manier in de rekentechnieken op te nemen.

Het opnemen van de niet-lineaire vervormingstermen kan het rekensysteem complexer maken, maar deze extra rekenkosten zijn meestal marginaal in vergelijking met de verbetering in de nauwkeurigheid van de voorspellingen. Bovendien is het voor de ontwerppraktijk cruciaal om te begrijpen dat de dynamiek van een structureel systeem niet alleen wordt bepaald door de externe belasting, maar ook door de initiële spanningen die aanwezig zijn bij de constructie. Het is daarom niet voldoende om alleen naar de externe krachten te kijken; de interne spanningen kunnen soms de belangrijkste bepalende factor zijn voor het gedrag van het frame.

Hoe beïnvloeden torsionale belastingen de buigweerstand van frames?

Het onderwerp van torsionale belastingen op frameconstructies heeft in de technische literatuur aanzienlijke aandacht gekregen vanwege de invloed die torsie heeft op de stabiliteit van structuren. In veel gevallen wordt de sterkte van een frame beïnvloed door de manier waarop torsionale momenten worden toegepast. Dit kan leiden tot complexe buig- en torsiegedrag van de verschillende leden van het frame, wat cruciaal is voor het ontwerp van structurele elementen die onder verschillende soorten belastingen werken.

Wanneer we kijken naar een frame met leden die onder verschillende torsionele belastingstoestanden staan, kunnen we enkele belangrijke gevallen onderscheiden die de kritieke belasting beïnvloeden. De standaardbenadering om dergelijke systemen te analyseren is gebaseerd op de bekende formules voor kritieke torsiemomenten, zoals de volgende:

T0,cr=±πEIyEIzLT_{0,cr} = \pm \pi \sqrt{\frac{E I_y E I_z}{L}}

Dit komt overeen met de oplossing van Ziegler (1977) voor het speciale geval van cirkelvormige balken met Iy=IzI_y = I_z. Er zijn echter ook andere gevallen die het resultaat veranderen, afhankelijk van de geometrie van de secties en de toepassing van de belasting. Een belangrijk voorbeeld hiervan is het geval waarin de torsionele belasting wordt toegepast op een frame dat in de lengterichting is gefixeerd. Het kritieke moment in dit geval is:

T0,cr=±πEIyGJLT_{0,cr} = \pm \pi \sqrt{\frac{E I_y G J}{L}}

Dit is twee keer de waarde die wordt gegeven voor de QT-momenten (d.w.z. de momenten die zich langs de lengterichting van het frame bewegen).

In een situatie waarin de flexurale en torsionale stijven van de leden gelijk zijn, kan de oplossing worden vereenvoudigd. Wanneer de verhouding tussen de torsiestijfheid (GJGJ) en de buigstijfheid (EIzE I_z) gelijk is, kan de kritieke belasting worden bepaald als:

T0,cr=±πEIyEIz(1+β)LT_{0,cr} = \pm \pi \sqrt{\frac{E I_y E I_z}{(1 + \beta) L}}

Waarbij β\beta de lengteratio tussen de leden van het frame vertegenwoordigt. Dit maakt het mogelijk om een breed scala aan verschillende configuraties te analyseren en inzicht te krijgen in hoe de verhouding tussen de torsie- en buigstijfheid de algehele stabiliteit van de frameconstructie beïnvloedt.

Wanneer het frame wordt blootgesteld aan verschillende torsionele belastingen, zoals de zogenaamde ST- of QT-momenten, kan het gedrag aanzienlijk variëren. Voor frames met een lange ratio β\beta, bijvoorbeeld wanneer de leden van het frame aanzienlijk van lengte verschillen, zal de weerstand tegen torsionele belastingen afnemen. Dit betekent dat een langere buis of een langer lid minder bestand is tegen torsie dan een korter lid, wat van invloed kan zijn op de algehele prestaties van de structuur.

Het is belangrijk om te begrijpen dat, hoewel de kritieke waarden van de momenten voor ST- en QT-belastingen in bepaalde gevallen in wezen gelijk kunnen zijn, dit niet altijd het geval is, vooral als de geometrie van de sectie verandert. Dit werd bijvoorbeeld duidelijk in de tweede voorbeeldanalyse, waar de kritieke waarde voor het torsiemoment verandert naarmate de hoek α\alpha toeneemt. Dit kan worden toegeschreven aan het feit dat de leden van het frame worden gebogen rond de zwakkere of sterkere as, afhankelijk van de specifieke geometrie van de sectie, wat invloed heeft op het moment van instabiliteit.

Een ander belangrijk aspect van de analyse is dat de weerstand van het frame tegen torsionele belastingen afhangt van hoe de belasting wordt aangebracht. De manier waarop het moment op het frame wordt toegepast, heeft een directe invloed op de kritieke belasting en de stabiliteit van het frame. Bijvoorbeeld, in frames die worden blootgesteld aan kwadratische torsiemomenten of tangentiële momenten, kan het effect van de belasting variëren afhankelijk van de oriëntatie van de sectie.

De numerieke voorbeelden, die de kritieke torsiemomenten in verschillende scenario’s vergelijken, tonen aan hoe variaties in geometrie en belasting de algehele prestaties beïnvloeden. Frames die zijn geconstrueerd uit secties met verschillende stijven (zoals IyI_y en IzI_z) zullen verschillend reageren op torsie, afhankelijk van hoe de sectie in de ruimte is georiënteerd. Deze gevoeligheid benadrukt de noodzaak van een gedetailleerde en nauwkeurige analyse bij het ontwerpen van frames die moeten weerstaan tegen torsionele belasting.

Het is van belang dat ingenieurs zich bewust zijn van de complexe interacties die optreden tussen de verschillende belastingen die op een frame werken. Terwijl de bovenstaande formules nuttig zijn voor het berekenen van de kritieke belasting in eenvoudige gevallen, is het in praktijk vaak noodzakelijk om numerieke methoden toe te passen, vooral voor frames met complexe geometrieën of onregelmatige belastingstoestanden.

Bij het ontwerp van frames die onder torsionele belasting staan, is het van cruciaal belang om een gedegen begrip te hebben van de verschillende effecten die de belastingstoestand en de geometrie van de secties op de stabiliteit kunnen hebben. Een robuuste en flexibele ontwerpbenadering zal ervoor zorgen dat de structuur de torsionale belastingen effectief kan weerstaan, zonder onaanvaardbare vervormingen of instabiliteit.

Hoe de Duikzeebodemwinning en de Rechten van Inheemse Volken en Lokale Gemeenschappen met het UNCLOS Akkoord Samenhangen
Wat kunnen we leren van de grootste financiële schandalen en rampen in de geschiedenis?
Hoe creëer je de perfecte balans tussen textuur en smaak in een appeltaart met een krokante kaneelstruisellaag?
Wat is de potentie van zwermintelligentie in autonome systemen voor slimme verkeersbeheersing?
Hoe Kunnen Directe Vloeibare Brandstofcellen Duurzaam Worden?
Hoe een hub het netwerkverkeer doorstuurt en de beperkingen van hubs in netwerkarchitecturen