Hoe werk je met negaties, contra-examples en logica in Lean?

In Lean wordt de logica vaak gebruikt om wiskundige stellingen te bewijzen, waarbij negatieve en positieve uitspraken gecombineerd worden om nieuwe waarheden te formuleren. De methodes voor het omgaan met negaties, contra-examples en logica binnen Lean spelen hierbij een cruciale rol. Door middel van verschillende technieken, zoals de tactieken "by_contra" en "push_neg", kunnen gebruikers op een systematische manier conclusies trekken over de waarheidswaarde van stellingen.

Wanneer we werken met uitspraken die een negatie bevatten, zoals bijvoorbeeld "¬∃ x, P x" (wat betekent "er bestaat geen x waarvoor P geldt"), kunnen we vaak gebruik maken van de techniek van een "contradictie" of "beweis durch Widerspruch". Dit houdt in dat je de tegenhanger van een uitspraak aanneemt en dan een tegenstrijdigheid afleidt. In Lean wordt deze techniek vaak uitgevoerd door de tactiek by_contra. Dit maakt het mogelijk om een uitspraak te bewijzen door aan te nemen dat het tegenovergestelde waar is en vervolgens een tegenspraak te verkrijgen. Een voorbeeld hiervan is:

lean
Copy code
example (h : ¬∀ x, P x) : ∃ x, ¬P x := by 

  by_contra h' 
  apply h 
  intro x 
  show P x

Het idee hier is om te laten zien dat als we de negatie aannemen, we een tegenspraak bereiken, waardoor de originele uitspraak waar moet zijn.

Lean biedt ook de tactiek push_neg, die de negatie in een uitspraak naar binnen duwt om de logische structuur eenvoudiger te maken. Dit is een waardevolle hulpbron bij het vereenvoudigen van ingewikkelde wiskundige argumenten waarin negaties een belangrijke rol spelen. Het werkt door de negatie toe te passen op een complexere uitspraak en deze in een eenvoudiger vorm te herschrijven. Zo wordt bijvoorbeeld de uitspraak:

lean
Copy code
example (h : ¬∀ a, ∃ x, f x > a) : FnHasUb f := by 
  push_neg at h 
  exact h

Door het gebruik van push_neg kan de oorspronkelijke uitspraak eenvoudig omgevormd worden naar een meer beheersbare vorm, wat de bewijsvoering aanzienlijk versnelt.

In de context van Lean kunnen we ook gebruik maken van de "ex falso" principe, dat stelt dat uit een tegenspraak elke bewering volgt. Dit principe komt vaak voor wanneer we werken met bewijs door gevallen of wanneer we aantonen dat een bepaalde situatie onmogelijk is. Lean maakt gebruik van False.elim om dit principe te implementeren, wat betekent dat elke contradictie kan worden omgezet in de conclusie van een willekeurige bewering. Dit wordt vaak gebruikt bij het splitsen van gevallen of wanneer we een tegenspraak willen gebruiken om een conclusie te trekken.

Een voorbeeld hiervan is:

lean
Copy code
example (h : 0 < 0) : a > 37 := by 
  exfalso 
  apply lt_irrefl 0 h

Hier wordt de tegenspraak (0 < 0) gebruikt om de bewering dat "a > 37" te bewijzen, wat uiteindelijk triviaal is omdat de aannames zichzelf tegenspreken.

Naast de eerder genoemde technieken, zoals by_contra en push_neg, beschikt Lean over krachtige hulpmiddelen zoals rcases, rintro en have, die het mogelijk maken om complexere logische structuren te analyseren en op te lossen. Deze tactieken zijn bijzonder handig bij het werken met samengestelde uitspraken, zoals conjuncties (A ∧ B) en implicaties, en bieden meer flexibiliteit en efficiëntie in bewijsvoering.

Een voorbeeld van een toepassing van de rcases tactiek is het uitpakken van een conjunctie, waarbij we beide delen van de uitspraak kunnen gebruiken:

lean
Copy code
example {x y : R} (h : x ≤ y ∧ x ≠ y) : ¬y ≤ x := by 

  rcases h with ⟨h0, h1⟩ 
  contrapose! h1 
  exact le_antisymm h0 h1

In dit voorbeeld gebruiken we rcases om de conjunctie te ontleden en de logica te benutten om de gewenste uitspraak te bewijzen.

Het is ook mogelijk om de constructor tactiek te gebruiken, die het eenvoudiger maakt om samengestelde uitspraken te bewijzen door beide delen afzonderlijk te bewijzen. Dit maakt de bewijsvoering flexibeler, vooral in gevallen waar je te maken hebt met complexe wiskundige structuren die uit meerdere delen bestaan. De constructor tactiek kan in combinatie met andere technieken zoals intro en assumption worden gebruikt om snel vooruitgang te boeken in een bewijs.

lean
Copy code
example {x y : R} (h0 : x ≤ y) (h1 : ¬y ≤ x) : x ≤ y ∧ x ≠ y := by 
  constructor · assumption 
  intro h 
  apply h1 
  rw [h]

Het bewijsproces kan verder worden verfijnd door deze tactieken op slimme wijze te combineren, waardoor een efficiënte en systematische aanpak ontstaat die het mogelijk maakt om zelfs de meest complexe wiskundige stellingen in Lean te bewijzen.

Is de vierkantswortel van twee irrationaal?

De vierkantswortel van twee, vaak genoteerd als √2, is een getal dat niet kan worden uitgedrukt als een breuk van twee gehele getallen. Het bewijs van deze stelling is beroemd in de wiskunde en toont aan dat √2 irrationaal is. Dit betekent dat er geen twee gehele getallen bestaan waarvoor de verhouding hun vierkantswortel gelijk is aan √2. Dit is niet alleen een interessante eigenschap van √2, maar het legt ook de basis voor het begrip van irrationale getallen in het algemeen.

Om deze eigenschap van de vierkantswortel van twee formeel te bewijzen, moet men aannemen dat √2 gelijk zou zijn aan een breuk, bijvoorbeeld a/b, waarbij a en b gehele getallen zijn die geen gemeenschappelijke factoren hebben (dat wil zeggen, a/b is een zogenaamde "onvereenvoudigde breuk"). Het bewijs gebruikt vervolgens de eigenschappen van kwadraten en de eigenschappen van even en oneven getallen om aan te tonen dat zo'n aanname leidt tot een contradictie, waardoor de conclusie volgt dat √2 irrationaal is. Dit bewijs, hoewel eenvoudig, heeft belangrijke implicaties voor het begrijpen van getallen en hun structuur.

In moderne programmeertalen voor wiskunde, zoals Lean, worden de verschillende getallen verzamelingen (natuurlijke getallen, gehele getallen, rationale getallen, reële getallen en complexe getallen) vertegenwoordigd door verschillende datatypes. Dit maakt het mogelijk om met deze getallen te werken binnen strikte wiskundige kaders. In Lean bijvoorbeeld worden de natuurlijke getallen gedefinieerd door een inductieve datatypestructuur. Dit betekent dat elke natuurlijke getal is opgebouwd uit het nulgetal en de opvolger van elk natuurlijk getal. Dit biedt een robuuste manier om te werken met natuurlijke getallen, inclusief het gebruik van inductie, een belangrijke techniek in de wiskunde.

Inductie is een cruciaal hulpmiddel in de wiskunde. Het stelt ons in staat om uitspraken over natuurlijke getallen te bewijzen door eerst een basisgeval te verifiëren (bijvoorbeeld voor 0) en vervolgens te veronderstellen dat de uitspraak waar is voor een bepaald getal n, om zo te bewijzen dat het ook waar is voor n+1. Dit proces kan verder worden uitgebreid om beweringen over wiskundige structuren zoals de faculteit van een getal te bewijzen, een functie die bijvoorbeeld de vermenigvuldiging van alle positieve gehele getallen kleiner dan of gelijk aan een gegeven getal inhoudt.

Het begrijpen van de irrationele getallen, evenals het gebruik van inductie en recursie, is van fundamenteel belang voor het werken met wiskundige structuren en het ontwikkelen van complexe wiskundige argumenten. Dit vraagt om een diepgaande kennis van zowel de theorie als de praktische tools die ons in staat stellen om die theorie te manipuleren. Het gebruik van formele systemen zoals Lean helpt bij het versterken van deze kennis door wiskundige beweringen rigoureus en precies te verifiëren.

In de wiskunde is het belangrijk te realiseren dat deze concepten niet alleen betrekking hebben op de abstracte theorie, maar ook op de manieren waarop we wiskundige structuren kunnen bouwen en ermee kunnen werken in verschillende contexten. Wiskundige formalisme biedt een solide basis voor het begrijpen van zowel de basisprincipes van getallen als hun geavanceerdere toepassingen in bijvoorbeeld algebra, analyse en de studie van getallenverzamelingen.

Hoe filters werken in wiskundige analyse en de structuur van convergentie

In de wiskundige analyse komt de structuur van filters vaak voor wanneer we de convergentie van functies en reeksen willen bestuderen. Filters kunnen worden gezien als een manier om de "grootte" of "dichtheid" van verzamelingen te definiëren, wat essentieel is voor het begrijpen van limieten in zowel discrete als continue gevallen. Filters zijn verzamelingstructuren die drie hoofdkenmerken hebben, die bijdragen aan hun gebruik in de analyse.

De eerste eigenschap van een filter is dat het de universele verzameling bevat. Dit betekent dat de filter altijd de gehele ruimte van een type omvat. De tweede eigenschap stelt dat als een verzameling behoort tot de filter, dan zal elke verzameling die deze verzameling bevat ook tot de filter behoren. Dit garandeert dat de filter "gesloten" is onder het nemen van supersets. De derde eigenschap van een filter is dat deze gesloten is onder eindige doorsneden, wat betekent dat de doorsnede van twee verzamelingen die tot de filter behoren, ook tot de filter behoort.

In veel gevallen wordt de filter zelf gedefinieerd als een structuur die de verzameling van deze subsets bevat, en worden de bovengenoemde eigenschappen als impliciet verondersteld. In de context van de wiskundige bibliotheek Mathlib wordt een filter gedefinieerd als een structuur die een verzameling van verzamelingen en drie eigenschappen omvat. Dit maakt filters een krachtig hulpmiddel voor het modelleren van convergentie en limieten, zonder dat we expliciet hoeven te werken met de verzamelingen zelf.

Een manier om een filter te begrijpen, is door te denken aan filters als een abstracte manier om het concept van "zeer grote" verzamelingen te definiëren. De eerste eigenschap zegt bijvoorbeeld dat de universele verzameling "zeer groot" is, de tweede zegt dat elke verzameling die een "zeer grote" verzameling bevat, ook "zeer groot" is, en de derde eigenschap benadrukt dat de doorsnede van twee "zeer grote" verzamelingen zelf ook "zeer groot" is.

In de praktijk worden filters vaak gebruikt om de convergentie van functies te definiëren. Als we bijvoorbeeld een functie $f : X \to Y$ hebben en filters $F$ op $X$ en $G$ op $Y$, kunnen we het gedrag van de functie beschrijven door te zeggen dat $f$ convergeert naar een filter $G$ op $Y$ langs een filter $F$ op $X$. Dit gebeurt precies wanneer de afbeelding van de elementen in de filter $F$ door de functie $f$ uiteindelijk in de filter $G$ terechtkomt.

Deze benadering heeft een aanzienlijke abstractie vergeleken met de klassieke definitie van convergentie van reeksen of functies, waarbij expliciete opsommingen van de elementen of limieten worden gebruikt. In plaats daarvan werkt het met verzamelingen die steeds grotere "dichtheden" van punten omvatten. Dit maakt filters bijzonder geschikt voor het omgaan met complexe situaties waarin klassieke limietdefinities moeilijk of omslachtig zijn.

Filters bieden ook krachtige algebraïsche hulpmiddelen zoals de pushforward- en pullback-operaties, die filters tussen verschillende ruimten kunnen transporteren. De pushforward-operatie $f_*$, die een filter op $X$ afbeeldt naar een filter op $Y$ via een functie $f : X \to Y$, maakt het mogelijk om limieten te bestuderen zonder dat expliciete kwantifiers nodig zijn. Dit maakt filters tot een handig middel om de convergentie in verschillende contexten, zoals topologie of functionaalanalyse, te formuleren.

De structuur van filters is dus cruciaal voor het begrijpen van limieten en convergentie op een meer abstracte manier dan traditionele benaderingen toestaan. Het stelt ons in staat om flexibel te werken met convergentie, zowel in de context van reeksen als functies, en biedt een krachtig hulpmiddel voor het onderzoeken van de topologische en algebraïsche eigenschappen van functies en verzamelingen.