Het gebruik van niet-gemotoriseerd transport wordt vaak gezien als een praktische oplossing voor verkeers- en milieukwesties, maar het kan ook een krachtige manier zijn om culturele verschillen en gewoonten te begrijpen. Dit blijkt uit een kwalitatieve analyse van 31 studenten die betrokken waren bij een onderzoek waarin ze verschillende situaties onderzochten, waaronder het gebruik van fietsen in verschillende culturele contexten. De studenten moesten twee foto's vergelijken die verschillende fietssituaties in twee steden lieten zien, en daarbij stelden ze vragen en gaven ze observaties over de verschillen en overeenkomsten in de beelden.

Uit de analyse kwam naar voren dat een groot aantal van de studenten in hun observaties simpelweg feitelijke gegevens benoemden, zoals "Er zijn fietsen". Echter, een significant aantal studenten, 16% van de observaties, richtte zich expliciet op de verschillen en overeenkomsten tussen de twee foto’s, bijvoorbeeld het aantal fietsen, de details van de gebouwen, de bomen en struiken. Dit toont aan dat de studenten in staat waren om relevante verschillen te herkennen tussen de twee situaties, zelfs wanneer hen niet expliciet werd gevraagd om dit te doen.

De vragen die de studenten stelden, werden gecategoriseerd als cultureel of a-cultureel. Van de 87 gestelde vragen was 38% a-cultureel, gericht op het verduidelijken van objecten zoals gebouwen, fietsen of trottoirs. Voorbeelden hiervan zijn vragen zoals “Wat zijn de strepen in de muren?” Aan de andere kant was 40% van de vragen cultureel van aard, en richtten zich op waarom er verschillen tussen de foto’s waren, zoals "Waarom zijn er meer fietsen in Linköping?", "Waarom fietsen er zo weinig mensen naar school in Barcelona?", en "Waarom lijken de foto’s zo veel op elkaar?" Dit wijst erop dat de studenten in staat waren om culturele verschillen te identificeren, zelfs wanneer dit niet direct werd gevraagd.

De resultaten uit deze studie tonen aan dat er potentieel is voor studenten om culturele verschillen te herkennen, vooral als de activiteit in groepsverband wordt uitgevoerd. Dit vergroot de kans dat studenten voldoende ideeën ontwikkelen om culturele aspecten te begrijpen, zoals het gebruik van fietsen in verschillende gemeenschappen.

Een ander voorbeeld van het onderzoeken van culturele perspectieven komt uit een ander studieproject, de zogenaamde "The Teapot Problem". Deze taak werd opgezet om een typisch Turks sociaal-cultureel gedrag te onderzoeken: de thee drinkgewoonten van de Turken. In een universiteitsafdeling waar 45 mensen thee drinken, werd de vraag gesteld hoeveel glazen thee per week er in totaal gedronken worden en wat de optimale grootte van een theepot zou zijn om verspilling te minimaliseren. Bij het oplossen van deze vraag hielden de wiskundestudenten niet alleen rekening met realistische aspecten, zoals de hoeveelheid thee die mensen drinken, maar ook met culturele aannames. Een deel van de studenten baseerde hun schattingen van het aantal glazen thee per persoon per dag op hun eigen thee-gewoonten, die vaak werden gekarakteriseerd door de normatieve claim "Turken drinken graag thee." De schattingen waren over het algemeen hoog, waarbij sommige studenten zelfs 10 glazen thee per persoon per dag inschatten op basis van hun persoonlijke ervaringen.

De meeste studenten hanteerden twee benaderingen: de eerste strategie was om een schatting te maken van het aantal glazen thee dat iemand dagelijks drinkt, gebaseerd op de algemene gewoonten van de Turkse bevolking. De tweede strategie was om de bevolking in subgroepen op te splitsen (theeverslaafden, gewone drinkers, koffieliefhebbers, enz.) en vervolgens aparte schattingen te maken voor elke groep. Daarnaast hielden sommige studenten ook rekening met de hoeveelheid thee die aan bezoekers van de afdeling geserveerd zou moeten worden. Dit alles gebeurde vanuit de culturele normatieve veronderstelling dat thee drinken een gangbare praktijk is in de Turkse samenleving.

Deze twee voorbeelden, het Fietsprobleem en het Theepotprobleem, laten zien hoe wiskundige modellen kunnen worden gebruikt om culturele en interculturele aspecten te verkennen. Het laat zien hoe studenten, door middel van wiskunde, niet alleen praktische vaardigheden ontwikkelen, maar ook een dieper begrip krijgen van de culturele contexten waarin ze zich bevinden. Dit heeft niet alleen betrekking op het oplossen van specifieke wiskundige vraagstukken, maar ook op de bredere ontwikkeling van culturele en interculturele bewustwording.

Wiskundige modellen en vraagstukken uit het dagelijks leven kunnen dienen als een krachtig instrument voor het ontwikkelen van culturele gevoeligheid en interculturele bewustwording. Deze studie toont aan dat dergelijke probleemstellingen, hoewel ze wiskundige vaardigheden vereisen, ook dienen als een ingang om studenten bewust te maken van de culturele en sociale dimensies van de wereld om hen heen. Dit benadrukt het belang van wiskunde als een manier om de werkelijkheid te begrijpen, te beschrijven, en te verklaren, en hoe het kan bijdragen aan het ontwikkelen van een dieper inzicht in andere culturen.

Wanneer wiskundige vraagstukken zoals deze in onderwijsinstellingen worden gepresenteerd, kan dit niet alleen de wiskundige capaciteiten van studenten bevorderen, maar ook hun vermogen om culturele en sociale diversiteit te waarderen en te begrijpen. Dit zou een waardevolle stap kunnen zijn in het bevorderen van intercultureel begrip binnen het onderwijs.

Hoe biologische systemen het menselijke wiskundemodel beïnvloeden

Vandervert (2017) breidt de betekenis van neurowetenschappen uit naar andere, minder onderzochte hersengebieden die een belangrijke rol lijken te spelen in het menselijke wiskundemodelleren. Deze uitbreiding naar biologisch gebaseerde onderzoeken over wiskundemodelleren roept intrigerende nieuwe onderzoeksvragen op over hoe succesvol, bewust wiskundemodelleren bij mensen zich verhoudt tot succesvol biologisch wiskundemodelleren (inclusief intrinsieke berekeningen) die plaatsvinden in de onderliggende biologische subsystemen, van genetica op cellulair niveau tot de samenwerking van hersenorganellen. Geary (2021) betoogt bijvoorbeeld dat de efficiëntie van mitochondriale moleculaire dynamiek (een andere vorm van intrinsieke biologische berekeningen die verantwoordelijk is voor cellulair energiebeheer) uiteindelijk de menselijke capaciteiten voor cognitie bepaalt, wat wiskundemodelleren omvat: "Cognitie wordt beïnvloed door de werking van meerdere hersensystemen, waarvan de optimale werking afhankelijk is van de systemen daaronder. Cellulaire energie is de laagste gemeenschappelijke valuta voor alle biologische systemen en legt grenzen op aan alle andere systemen, waaronder cognitie" (p. 4).

Het idee dat menselijk wiskundemodelleren afhankelijk zou kunnen zijn van de efficiëntie van onderliggende bio-wiskundige modellen suggereert dat problemen met bewust wiskundemodelleren mogelijk voortkomen uit moeilijkheden of verschillen in onbewuste en/of niet-bewuste bio-wiskundige modellen. Onderzoek naar leerstoornissen en -verschillen in wiskunde is relatief nieuw en zeldzaam, althans vanuit een niet-medisch-perspectief (de Freitas & Sinclair, 2016), en nog zeldzamer in de context van wiskundemodelleren. Vandervert stelt bijvoorbeeld dat "de cerebro-cerebellaire oorsprong van ontwikkelingsdyscalculie [suggereert] dat moeilijkheden [met] dyscalculie het resultaat zijn van ontwikkelingsproblemen in verband met het leren van cerebellaire inverse dynamische modellen (die opereren onder het niveau van bewuste waarneming), die verband houden met de tweede laag" (Vandervert, 2017, p. 2, de nadruk in origineel) van cerebellaire abstractie.

Nieuw onderzoek zou kunnen onderzoeken hoe leerstoornissen en -verschillen in wiskunde, en meer specifiek in wiskundemodelleren, samenhangen met onderliggende verschillen in de capaciteiten van biologische subsystemen voor wiskundemodelleren. Dit zou niet alleen het begrijpen van leerproblemen in wiskunde kunnen verbeteren, maar ook nieuwe methoden kunnen bieden voor het aanpakken van deze problemen in de context van onderwijs en cognitieve ontwikkeling. Het idee dat een biologische basis voor wiskundemodelleren zo’n grote invloed heeft op cognitieve prestaties opent interessante mogelijkheden voor interdisciplinaire benaderingen van onderwijs en neurologie.

Bijvoorbeeld, de manier waarop de cerebellum betrokken is bij de ontwikkeling van wiskundige vaardigheden kan niet alleen licht werpen op dyscalculie, maar ook op andere leerproblemen die verder gaan dan de klassieke theorieën die enkel op cognitieve tekorten wijzen. Dit kan verklaren waarom sommige mensen moeite hebben met abstracte wiskundige concepten of wiskundemodellen, zelfs wanneer er geen zichtbare neurologische afwijkingen zijn. Het vraagt om een grondigere verkenning van de rol die de interactie van hersenorganen speelt in wiskundige denkprocessen en hoe deze processen kunnen worden geoptimaliseerd door aangepaste onderwijsmethoden die rekening houden met de biologische basis van het leren.

Daarnaast biedt de theorie van biologische computationele modellen een kader voor het begrijpen van de fundamentele werking van het brein als een geavanceerd rekenmodel. Dit is niet alleen een theorie over de hersenen, maar raakt ook aan de bredere vraag hoe levende systemen wiskundige processen creëren die verder gaan dan de menselijke cognitie. Van de intrinsieke berekeningen in mitochondriën tot de samenwerking van hersengebieden en het cerebellum, de basisprincipes van biologische systemen zijn verweven met wiskundige modellen die noodzakelijk zijn voor zowel overleving als leren.

De recente bevindingen in de biologie wijzen op de mogelijkheid dat de kracht van biologische computationele systemen in levende organismen kan bijdragen aan het ontwikkelen van een efficiënter model voor wiskundig denken. Wiskundemodelleren is niet enkel een kwestie van abstracte, symbolische representaties, maar ook van de fundamentele biologische processen die dit denkwerk mogelijk maken. Het begrijpen van de onderliggende biologie kan dan niet alleen de theorie verbeteren, maar ook praktische implicaties bieden voor het onderwijs, en vooral voor het aanpakken van leerproblemen zoals dyscalculie.

In toekomstige onderzoeken zou de verbinding tussen biologische computationele systemen en wiskundemodelleren verder onderzocht moeten worden, vooral in het geval van leerstoornissen. Dit zou kunnen bijdragen aan een beter begrip van hoe onderwijsstrategieën kunnen worden aangepast aan de biologische realiteit van het leren, waardoor leerproblemen effectiever kunnen worden aangepakt. De nadruk moet hierbij liggen op het verkennen van de fysiologische en neurologische basis van wiskundemodelleren, waarbij rekening wordt gehouden met de dynamiek van hersenorganen en de biologische systemen die deze processen ondersteunen. Het idee dat er een diepere biologische basis bestaat voor wiskundig denken vraagt om een vernieuwde kijk op de relatie tussen lichaam, brein en cognitie in de context van wiskundeonderwijs.

Wat is de rol van verschillende benaderingen in het ontwikkelen van modelleercompetentie?

Er zijn verschillende manieren om modelleercompetentie te benaderen, maar een fundamenteel verschil dat vaak naar voren komt, is de keuze tussen top-down en bottom-up benaderingen. Dit onderscheid heeft theoretische implicaties, maar het is belangrijk te begrijpen dat het niet altijd essentieel of doorslaggevend is in concrete onderwijssituaties. Het kiezen voor de ene of de andere benadering bepaalt niet noodzakelijkerwijs de specifieke aanpak van onderwijs en leren in het vakgebied van modelleren. Wat wel duidelijk is, is dat deze keuze invloed heeft op de manier waarop we onderwijsactiviteiten ontwerpen, orkestreren en uitvoeren om studenten te ondersteunen in hun modelleren.

Wanneer we kiezen voor een top-down benadering, richten we ons op het ontwikkelen van een overkoepelende modelleercompetentie, terwijl de bottom-up benadering gericht is op het ontwikkelen van verschillende afzonderlijke modelleercompetenties. De keuze tussen deze twee benaderingen heeft invloed op hoe de leeromgeving wordt vormgegeven en hoe we de studenten ondersteunen in hun leerproces.

Er is een parallel tussen de top-down en bottom-up benaderingen en de onderwijsmethoden die bekendstaan als holistische en atomistische benaderingen. In de holistische benadering werken studenten met volledige, ongestructureerde en vaak complexe modelleringstaken, waarbij ze alles moeten doen om de initiële vragen te beantwoorden. Deze benadering beslaat meestal de volledige modelleringcyclus. Daarentegen is de atomistische benadering meer gefocust, waarbij studenten werken met gedeeltelijk gestructureerde situaties die slechts één of enkele stadia van het modelleren betreffen. Dit kan meerdere keren gebeuren, waarbij elk stadium afzonderlijk wordt behandeld.

Het is echter belangrijk om te benadrukken dat de keuze voor top-down of bottom-up niet per se samenvalt met de keuze voor een holistische of atomistische onderwijsaanpak. Beide benaderingen kunnen namelijk in combinatie of afzonderlijk worden toegepast, afhankelijk van de context en de specifieke doelen van het onderwijs. Een holistische benadering kan bijdragen aan het ontwikkelen van een overkoepelende modelleercompetentie, terwijl een atomistische benadering juist nuttig is voor het ontwikkelen van specifieke modelleercompetenties. In de praktijk kan een evenwichtige combinatie van beide benaderingen veelbelovend zijn om zowel de algemene als de specifieke modelleercompetentie te bevorderen.

Onderzoek heeft aangetoond dat beide benaderingen sterke en zwakke punten hebben. In een studie uitgevoerd door Kaiser en Brand (2015) bij negendejaars leerlingen in Hamburg, bleek dat de atomistische groep grotere vooruitgangen boekte in de fasen van intra-wiskundig werk, terwijl de holistische groep meer voordeel had bij de interpretatie- en validatiefasen van de modelleringstaken. Bovendien bleek de atomistische benadering minder effectief voor mathematisch zwakkere studenten dan de holistische benadering.

Bij het ontwikkelen van modelleercompetentie is het ook belangrijk om de relatie tussen modelleercompetentie en andere wiskundige competenties te begrijpen. In het KOM-project van Niss en Jensen (2002) werd modelleercompetentie beschouwd als één van de acht wiskundige competenties. Deze competenties omvatten onder andere wiskundig denken, probleemoplossing, redeneren, representatie, symbolen en formalismen, communicatie, en het gebruik van hulpmiddelen. Deze competenties zijn onderling met elkaar verweven en beïnvloeden elkaar. In een modelleringstaak kan het nodig zijn om meerdere van deze competenties tegelijk in te zetten, afhankelijk van de specifieke context.

Het is duidelijk dat de modelleercompetentie niet op zichzelf staat, maar sterk afhankelijk is van andere wiskundige competenties. De vaardigheid om wiskundige modellen te construeren of te analyseren, vereist bijvoorbeeld sterke communicatieve vaardigheden, het vermogen om wiskundige representaties te gebruiken, en kennis van symbolen en formalisme. Het ontwikkelen van modelleercompetentie houdt in dat studenten in staat moeten zijn om verschillende wiskundige competenties tegelijkertijd toe te passen in een coherente manier, afhankelijk van de fase van het modelleerproces waarin ze zich bevinden.

Voor de praktische implementatie van dit alles in het onderwijs, is het van belang om de juiste balans te vinden tussen het aanbieden van holistische en atomistische modelleringservaringen. Alleen het aanbieden van holistische taken kan bijvoorbeeld de studenten overweldigen met te veel ongestructureerde informatie, terwijl een uitsluitend atomistische benadering hen kan beletten het grotere geheel van het modelleerproces te begrijpen. Het combineren van beide benaderingen kan ervoor zorgen dat studenten zowel specifieke vaardigheden ontwikkelen als in staat zijn om het volledige modelleerproces te begrijpen en toe te passen.

Endtext

Wat Zijn de Invloeden van Onderwijsinterventies op de Opvattingen van Toekomstige Leraren over Wiskundemodellering?

De veranderingen in de opvattingen van toekomstige leraren (PSTs) over wiskundemodellering na een onderwijscursus laten een opmerkelijke verschuiving zien van transmissieve naar constructivistische benaderingen. Dit biedt waardevolle inzichten voor het verbeteren van de wiskundemodellering in de lerarenopleiding, door de nadruk te leggen op de toepassing van modellering in het echte leven en het bevorderen van actieve leerstrategieën.

Uit de beschrijvende statistieken bleek dat de gemiddelde score van de post-assessment aanzienlijk hoger was dan die van de pre-assessment, wat een significant effect aantoont. De effectgrootte van 0,68, die volgens Cohen’s classificatie tussen gemiddeld en groot valt, duidt op een substantiële verbetering van de kennis van de PSTs over wiskundemodellering na de interventie. Dit betekent dat de PSTs, na de cursus, in staat waren om concepten van modellering beter toe te passen en een breder scala aan oplossingsstrategieën te begrijpen. De praktische implicatie van deze bevindingen is dat gerichte onderwijsmethoden toekomstige leraren niet alleen kunnen helpen de benodigde kennis op te bouwen, maar ook hun motivatie en zelfvertrouwen kunnen vergroten.

De veranderingen in de opvattingen van de PSTs over de toepassingen van wiskundemodellering waren het meest opvallend. Aanvankelijk gaven de PSTs aan dat ze modellering niet als een essentieel onderdeel van het wiskundeonderwijs beschouwden, met slechts 14,3% die modellering als nuttig voor probleemoplossing in de echte wereld erkenden. Na de interventie steeg dit percentage echter naar 25,93%. Deze verandering werd waarschijnlijk aangedreven door de betrokkenheid bij uitdagende en interessante opdrachten, zoals de ‘Giant shoes task’ (Blum & Ferri, 2009), die de PSTs in staat stelde de link tussen wiskunde, modellering en real-life vraagstukken te begrijpen. Dit wijst erop dat door actieve en relevante werkvormen aan te bieden, PSTs niet alleen hun kennis uitbreiden, maar ook hun vertrouwen krijgen in het integreren van modellering in hun toekomstige klassen.

Wat betreft de opvattingen over modellering in de klas, was de verandering het meest uitgesproken. In de pre-test was slechts 13,3% van de PSTs ervan overtuigd dat modellering de competentie van leerlingen in wiskunde en probleemoplossing bevorderde. Dit aantal steeg na de interventie naar 37,3%. De reflecties van de studenten na de cursus benadrukten het belang van modellering voor het ontwikkelen van kritische denkvaardigheden en het oplossen van complexe problemen. Een student merkte op: "Wiskundemodellering heeft me laten zien dat er veel manieren zijn om een vraag op te lossen, en het heeft me geholpen om nauwkeurige ideeën en aannames te ontwikkelen." Dit reflecteert een verschuiving van transmissief leren naar een meer constructivistische benadering, waarin de student zelf actief deelneemt aan het oplossen van wiskundige vraagstukken.

De constructivistische overtuigingen van de PSTs, die aanvankelijk een uitdaging vormden vanwege hun ervaring met traditionele onderwijsbenaderingen, vertoonden een duidelijke verschuiving na de interventie. Een student schreef: "Deze cursus heeft me geholpen mijn wiskundige vaardigheden te verbeteren en me ook aan te moedigen buiten de gebaande paden te denken bij het vinden van oplossingen." Dit benadrukt de waarde van het bevorderen van ‘out of the box’-denken, wat essentieel is bij het oplossen van wiskundemodelleringsproblemen, vooral wanneer ze verband houden met extra-wiskundige vraagstukken (Niss et al., 2007; Durandt et al., 2022). Het proces van leren door modellering stelde de studenten in staat om wiskunde meer betekenisvol te maken door het te verbinden met het dagelijks leven.

De transmissieve overtuigingen daalden aanzienlijk van 67,4% in de pre-test tot 14,81% in de post-test, wat aantoont dat de interventie succesvol was in het verminderen van de nadruk op leraar-gecentreerd onderwijs en het bevorderen van meer constructivistische benaderingen. Dit resulteerde in een breder begrip van de waarde van modellering en het gebruik van diverse oplossingsstrategieën bij de PSTs.

De veranderingen in de opvattingen van de PSTs benadrukken het belang van het ontwikkelen van een onderwijsaanpak die de balans tussen de zelfstandigheid van de leerling en de strategische interventies van de leraar bevordert. De toepassing van wiskundemodellering biedt de ruimte voor de student om concepten te verkennen, terwijl de leraar de rol van facilitator vervult. Dit vraagt om een aanpak waarin de leraar niet enkel als informatiebron fungeert, maar ook als gids die het leerproces ondersteunt en aanstuurt op een manier die de autonomie van de leerling respecteert.

De impact van dergelijke onderwijsmethoden blijkt niet alleen cognitief, maar ook conatief, met sterke aanwijzingen voor positieve veranderingen in de overtuigingen van de PSTs over modellering. Deze bevindingen onderstrepen het belang van het integreren van actieve leerstrategieën en het aanbieden van uitdagende en authentieke contexten voor modellering in het onderwijs aan toekomstige leraren.

Wat Veranderingen in de Percepties van Leraren in Opleiding over Modelleren Onderwijs Kunnen Vertellen?

Het concept van modelleren in het wiskundeonderwijs heeft zich de laatste jaren steeds meer bewezen als een essentieel onderdeel van het onderwijsaanbod voor toekomstig wiskundeleraren. In een studie naar de veranderingen in de percepties van leraren in opleiding (PST's) na vier lessen modelleren, werden verschillende benaderingen geanalyseerd om het begrip en de toepassing van modelleren in het onderwijs te verdiepen. De bevindingen bieden een waardevol inzicht in hoe studenten de aard en de waarde van wiskundig modelleren beginnen te begrijpen, evenals de uitdagingen die daarbij komen kijken.

De studie richtte zich op het vak "Secundair Wiskunde Onderwijs 1" aan de universiteit van YNU, een inleidende cursus wiskunde voor tweedejaarsstudenten. Het doel van deze cursus was niet alleen om de basisprincipes van wiskundig modelleren over te dragen, maar ook om studenten bewust te maken van de verschillen tussen de abstracte wereld van pure wiskunde en de toegepaste wereld van modelleren. De studenten hadden eerder al enige kennismaking met modelleren gehad in hun eerste jaar, maar de vier lessen in dit vak boden hen een dieper inzicht.

Drie belangrijke doelen werden voor de PST's vastgesteld: de kenmerken van wiskundig modelleren, de redenen om modelleren te onderwijzen en de uitdagingen bij het onderwijzen van modelleren. Het eerste doel was om de rollen en kenmerken van wiskundig modelleren te begrijpen, zoals mathematizatie, interpretatie en validatie, die fundamenteel verschillen van de aanpak die men hanteert bij pure wiskundige probleemoplossing. Het tweede doel ging over het belang van modelleren in het onderwijs, waarbij de nadruk lag op de praktische nut van wiskunde, de ontwikkeling van modelleringscompetenties en de verbinding van wiskundige concepten met de echte wereld. Het derde doel richtte zich op het identificeren van de moeilijkheden die gepaard gaan met het onderwijzen van modelleren en het verkennen van hoe modelleringsonderwijs kan bijdragen aan het begrip van wiskundige concepten.

Om de percepties van de PST's over modelleren te evalueren, werd een analytisch hulpmiddel gebruikt dat verder ging dan de traditionele Likert-schaal. Hoewel deze schaal nuttig is voor het verkrijgen van kwantitatieve gegevens, biedt het onvoldoende inzicht in de specifieke veranderingen in de percepties van de studenten. Daarom werden de studenten gevraagd om hun antwoorden op vijf stellingen te reflecteren, zowel voor als na de vier lessen. Deze stellingen waren ontworpen om het begrip van de studenten over de aard van modelleren te toetsen, evenals hun mening over de waarde en de complexiteit van het onderwijzen van modelleren.

De vier activiteiten die in de cursus werden uitgevoerd, waren gericht op het verkennen van deze doelen. In de eerste activiteit werd een historisch probleem uit een Japans wiskundeboek gepresenteerd, en werd de PST's gevraagd te reflecteren op de verschillen tussen deze oude en moderne benaderingen van wiskundige problemen. De tweede activiteit betrof drie problemen die studenten moesten oplossen, variërend van het meten van een hellingshoek tot het verdelen van een taxi kost eerlijk tussen drie mensen. De derde activiteit had betrekking op het gebruik van de A4-papierformaat om een formule af te leiden die de werkelijke dimensies van het papier kon beschrijven, en de vierde activiteit moedigde de studenten aan om na te denken over verkeerde antwoorden van een hypothetische leerling, waarbij het belang van veronderstellingen en de rol van misverstanden in het leerproces werd benadrukt.

Het leren van modelleren blijkt in wezen een brug te slaan tussen de abstracte wereld van wiskundige theorieën en de praktische toepassingen in de echte wereld. Bij modelleren gaat het niet alleen om het vinden van de juiste oplossing, maar om het begrijpen van de onderliggende processen en aannames. Het kan studenten helpen om de waarde van wiskunde te zien, niet als een academische oefening, maar als een krachtig instrument voor het oplossen van echte problemen. Tegelijkertijd biedt het onderwijs in modelleren unieke uitdagingen. Het vereist dat leraren niet alleen wiskundige kennis overdragen, maar ook het vermogen ontwikkelen om studenten te begeleiden bij het vormen van hun eigen wiskundige inzichten in complexe en vaak onvoorspelbare situaties.

Bij de evaluatie van de percepties van de PST's na deze lessen werd duidelijk dat ze niet alleen hun begrip van modelleren hadden verdiept, maar ook hun ideeën over de manier waarop wiskunde kan worden onderwezen, significant waren veranderd. De stellingen gaven waardevolle informatie over hoe studenten de relatie tussen abstractie en praktische toepassing beginnen te begrijpen. Bijvoorbeeld, veel studenten begrepen na de lessen dat modelleren niet altijd leidt tot een enkel juist antwoord, maar dat het afhangt van de context en de aannames die aan het probleem ten grondslag liggen. De perceptie dat modelleren moeilijker is dan pure wiskundige probleemoplossing werd ook versterkt, aangezien het werken met real-world problemen meer variatie en onzekerheid met zich meebrengt.

Naast de eerder genoemde observaties, blijkt uit de antwoorden van de PST’s dat het essentieel is om ze te laten reflecteren op hun eigen leerproces. Reflectie maakt het mogelijk om de verschillende dimensies van modelleren te begrijpen: van het herkennen van een probleem tot het ontwikkelen van een model en het valideren van de oplossing. Het kan ook de ontwikkeling van modelleercompetenties bevorderen door studenten te laten zien hoe wiskunde hen kan helpen bij het vinden van antwoorden op alledaagse vragen en uitdagingen.

Het is ook belangrijk dat het onderwijs in modelleren de studenten niet alleen voorbereidt op de abstracte wiskunde van de toekomst, maar hen ook helpt de complexe dynamiek van het werken met onvolledige informatie en onzekere omstandigheden te begrijpen. In de echte wereld zijn de wiskundige problemen die zich voordoen vaak niet netjes gedefinieerd en kunnen ze verschillende benaderingen vereisen, afhankelijk van de context. Het vermogen om deze flexibiliteit te ontwikkelen is een essentieel aspect van het modelleren, dat niet altijd eenvoudig te onderwijzen is.

Wat is waarheid in het post-truth tijdperk?
Wat is de prijs van verraad en vernietiging?
Hoe lost Arietta het mysterie op in het Wilde Westen?
Hoe pas je je presentatie aan op de behoeften van je klant bij de verkoop van zonnepanelen?