Come comprendere la decomposizione di Morse globale e le sue applicazioni in campi multivettoriali combinatori

La decomposizione di Morse globale definisce una decomposizione di Morse dell’intero spazio $X$ invece che di un singolo insieme invariato isolato $S$. Secondo la definizione data nel [30], questa decomposizione è proposta sotto l’assunzione che $X$ sia invariato. Tuttavia, è possibile ottenere facilmente la definizione di decomposizione di Morse di un insieme invariato isolato $S$ sostituendo $X$ con $S$ e il campo multivettoriale $V$ con il campo multivettoriale indotto $V_S$ su $S$.

Gli insiemi invariati isolati possono essere definiti implicitamente come sottoinsiemi massimali invarianti in una data vicinanza. Questo fenomeno si verifica, in particolare, nelle applicazioni computazionali, dove è talvolta impossibile stabilire con certezza se una zona contenga o meno un insieme invariato non vuoto, a causa di limitazioni nei dati disponibili o nelle risorse computazionali. Per ovviare a tali difficoltà, si definiscono anche le matrici di connessione per decomposizioni a blocchi, un concetto che si estende e generalizza la decomposizione di Morse.

La decomposizione a blocchi è una famiglia indicizzata $M = (M_p)_{p \in P}$ di blocchi disgiunti mutuamente all'interno di un insieme invariato isolato $S$. Un blocco $M_p$ in $S$ è un sottoinsieme localmente chiuso e compatibile con il campo multivettoriale $V$. Si dice che la famiglia $M$ è una decomposizione a blocchi se soddisfa alcune proprietà fondamentali di ordinamento parziale, che garantiscono che le soluzioni essenziali all'interno di $S$ siano correttamente classificate in base ai blocchi.

Un altro aspetto importante da comprendere è che ogni decomposizione a blocchi condivide con una decomposizione di Morse la proprietà fondamentale di collegare ogni soluzione essenziale a blocchi distinti, come affermato dalla Proposizione 7.2.7. Questa proprietà di "collegamento" assicura che le soluzioni vengano correttamente classificate rispetto alla topologia dinamica del campo multivettoriale, stabilendo un legame tra la struttura dinamica e la decomposizione spaziale del sistema.

Nel contesto delle decomposizioni a blocchi, è possibile definire una partizione indotta $M^\perp$, che descrive un insieme di elementi disgiunti dai blocchi di $M$. La relazione definita tra gli indici di questa partizione ha una struttura di ordine parziale, come esemplificato dalla Proposizione 7.2.10. Questo tipo di ordinamento aiuta a comprendere la relazione di "vicinanza" tra i diversi blocchi all'interno della decomposizione, che a sua volta permette di dedurre proprietà importanti della dinamica del campo.

Oltre a quanto già descritto, è fondamentale che il lettore comprenda che la decomposizione a blocchi, pur essendo simile alla decomposizione di Morse, offre una visione più flessibile e adattabile, specialmente in contesti computazionali dove le soluzioni possono non essere facilmente determinate a causa della mancanza di dati o della complessità del sistema. La capacità di identificare blocchi e ordinarli correttamente in relazione alle soluzioni essenziali è cruciale per una completa comprensione della dinamica e per l'applicazione pratica di queste teorie nei modelli computazionali e matematici.

La matrice di connessione nel contesto dei campi vettoriali combinatori: un'analisi approfondita

Nel contesto della topologia combinatoria, un concetto fondamentale è quello di matrice di connessione associata a un complesso di Conley per una decomposizione di Morse {Mp, Mq} di un campo vettoriale. La matrice di connessione può essere vista come un oggetto che codifica le interazioni tra i vari complessi di Morse in una decomposizione. Questi complessi sono generalmente associati a strutture omologiche che, nel caso dei campi vettoriali combinatori, vengono trattate attraverso una combinazione di metodi di algebra omologica e teoria delle categorie.

La teoria dei campi vettoriali combinatori, sviluppata da Forman, permette di descrivere la dinamica di tali sistemi attraverso oggetti discreti, come i vettori combinatori. Questi vettori sono costruiti come multivettori con cardinalità al massimo pari a 2, e sono alla base della costruzione del campo vettoriale combinatorio. Una caratteristica centrale di questi vettori è che i vettori critici corrispondono esattamente ai singoletti, mentre i vettori regolari sono rappresentati dai doppioni, cioè da vettori di cardinalità due.

Il concetto di flusso combinatorio, anch'esso introdotto da Forman, descrive l’evoluzione di un campo vettoriale combinatorio nel tempo. La sua definizione è fondamentale per stabilire la connessione tra il flusso e la matrice di connessione che studiamo. Nella specifica situazione dei campi vettoriali combinatori gradienti, l'associazione della matrice di connessione è un processo che si può determinare in modo unico, come dimostrato da Forman. Questo si ottiene attraverso una serie di passaggi che portano a una comprensione più profonda della struttura di Morse e delle sue relazioni interne.

Nel caso di un campo vettoriale combinatorio su un complesso di Lefschetz, la costruzione della matrice di connessione avviene direttamente attraverso l'analisi delle relazioni di ordine sui singoletti e sui doppioni. La decomposizione di Morse, che si basa sulla collezione di vettori critici, offre una partizione aciclica del complesso di Lefschetz, e la matrice di connessione associata a questa partizione può essere determinata come matrice dell'operatore di bordo del complesso di Morse. Ciò implica che esiste una matrice di connessione unica per ogni decomposizione di Morse, che non dipende da altre strutture più complesse.

Uno degli aspetti più rilevanti di questa teoria è la comprensione delle proprietà geometriche e topologiche che emergono dalla dinamica del flusso combinatorio. Le celle che non sono né teste né code sono critiche e svolgono un ruolo fondamentale nella struttura globale del flusso. Le celle critiche, infatti, rappresentano punti di stazionarietà, mentre le teste e le code corrispondono a particolari direzioni lungo le quali il flusso si muove.

In particolare, una cella $x$ è definita come una testa se $x = x^+$ e non è uguale a $x^-$, mentre è una coda se $x = x^-$ e non è uguale a $x^+$. Questa distinzione è essenziale per comprendere come le celle si combinano tra loro per formare il flusso completo. La collezione di vettori critici, quindi, è data esattamente dalla raccolta dei singoletti, che corrispondono ai punti critici nel contesto del flusso combinatorio.

Nel caso di un campo vettoriale combinatorio gradiente su un complesso di Lefschetz, la struttura di Morse diventa particolarmente importante per determinare la matrice di connessione. La condizione di aciclicità della partizione è cruciale, poiché consente di associare un complesso filtrato alla matrice di connessione, che a sua volta rappresenta il comportamento dinamico del sistema. Questo processo di costruzione non dipende da teoremi precedenti, ma si sviluppa direttamente attraverso la comprensione delle relazioni di ordine sui vettori e la topologia del complesso di Lefschetz.

Nel contesto di questo capitolo, si desidera provare che la decomposizione di Morse ha una matrice di connessione unica, e che questa matrice coincide con quella dell'operatore di bordo del complesso di Morse associato. La dimostrazione di tale unicità è essenziale, poiché fornisce una comprensione chiara e precisa della dinamica dei campi vettoriali combinatori. La matrice di connessione, quindi, diventa uno strumento fondamentale per analizzare e comprendere la topologia e la geometria sottostante ai flussi combinatori.

Per il lettore, è importante comprendere che, oltre alla definizione e alle proprietà dei vettori combinatori e dei flussi, la struttura complessiva del campo vettoriale combinatorio dipende fortemente dalle relazioni di ordine e dalla decomposizione di Morse. La matrice di connessione non è solo un oggetto algebrico, ma un'entità che descrive la dinamica complessiva del sistema. In altre parole, essa sintetizza le interazioni tra i vari vettori critici e le celle del complesso, fornendo una visione globale delle dinamiche di trasformazione del sistema.

Come funziona il flusso combinatorio su un complesso di Lefschetz regolare?

Un complesso di Lefschetz regolare è un oggetto topologico molto interessante, in particolare nel contesto dei campi vettoriali gradiente combinatori. Un campo vettoriale gradiente combinatorio su un complesso X è una struttura che consente di descrivere il comportamento delle celle e la loro interazione attraverso flussi e operatori di confine. Un aspetto cruciale di questi campi è l'operatore di flusso associato, che può essere visto come una mappa che descrive come evolvono le celle sotto il flusso del campo vettoriale.

L'operatore di flusso $\mathcal{F}_V$ ha la proprietà che il suo comportamento sui singoli elementi può essere descritta in modo dettagliato grazie all'uso delle matrici di connessione. In particolare, se consideriamo due celle $x$ e $y$ appartenenti al complesso $X$, si può osservare che la relazione tra queste due celle, in termini di connessioni e interazioni, è determinata dalla struttura combinatoria del campo vettoriale gradiente.

Il flusso associato a un campo vettoriale gradiente combinatorio può essere interpretato come una "evoluzione" delle celle nel complesso, simile a come un flusso liquido si muove attraverso un sistema di canali. Questa evoluzione dipende dalle connessioni tra le celle e dalle loro posizioni relative all'interno del complesso. L'importanza del flusso è che fornisce un metodo per tracciare come le celle di un complesso topologico possano essere "trasformate" o "spostate" attraverso il campo gradiente, mantenendo però le proprietà topologiche fondamentali.

Un aspetto interessante del flusso combinatorio è che può essere utilizzato per studiare le strutture locali e globali del complesso. Ad esempio, nel caso di un campo vettoriale gradiente definito su un complesso di Lefschetz, possiamo analizzare come le celle interagiscono tra loro, come si "raggiungono" o si "separano" nel contesto delle connessioni e dei confini. In alcuni casi, queste interazioni portano alla creazione di nuove celle, che vengono generate attraverso l'azione del flusso.

Per esempio, consideriamo il caso di un campo vettoriale gradiente combinatorio $V_1$ su un complesso simpliciale. Supponiamo che una cella $BD$ subisca l'azione di questo campo, ovvero che il flusso associato a $BD$ sia dato da $\mathcal{F}_{V_1}(BD) = BD + \partial (V_1(BD)) + V_1(\partial BD)$. In questo caso, possiamo calcolare l'immagine del flusso come $BD + AB + DE$, come mostrato nell'esempio. Questo esempio dimostra come il flusso evolva su una cella, generando nuove celle attraverso l'azione del campo gradiente.

È fondamentale comprendere che il flusso combinatorio non è solo un processo di trasformazione geometrica, ma una rappresentazione di come le relazioni topologiche tra le celle si evolvono e interagiscono. Questo tipo di flusso è particolarmente utile per studiare la topologia dei complessi simpliciali e può essere utilizzato per analizzare la loro omologia e altre proprietà strutturali. Inoltre, il concetto di compatibilità del flusso con sottogruppi e sottoinsiemi di celle diventa cruciale per costruire e analizzare modelli complessi, nonché per applicare il flusso a problemi pratici in vari ambiti della matematica e della fisica.

In definitiva, il flusso combinatorio è uno strumento potente per lo studio dei complessi di Lefschetz, che permette di esaminare e manipolare la struttura di questi complessi in modo molto più dettagliato, facilitando la comprensione e l'analisi delle loro proprietà topologiche.

Come i Sistemi Dinamici Combinatori e i Campi Multivettoriali Modellano la Dinamica Topologica

Questa topologia differisce significativamente dalla topologia metrica della realizzazione geometrica del complesso cellulare, soprattutto nelle proprietà di separazione, ma risulta equivalente in termini di gruppi di omotopia e omologia, come indicato nel teorema di McCord. Pertanto, per quanto riguarda gli invarianti topologici algebrici, queste topologie possono essere utilizzate in modo intercambiabile, con la topologia finita che offre il vantaggio di spiegare alcune peculiarità della dinamica combinatoria.

In un sistema dinamico combinatorio F, definiamo una soluzione come una mappa γ: I → X definita su un sottoinsieme I ⊆ Z di numeri interi, tale che γ(i + 1) ∈ F(γ(i)) per ogni i, i+1 ∈ I. La soluzione γ è chiamata completa se I = Z, e rappresenta un cammino se I è l'intersezione di Z con un intervallo compatto di R. Nella rappresentazione del grafo diretto, una soluzione può essere vista come un cammino finito o infinito attraverso il grafo.

Un sottoinsieme A ⊆ X è definito invariato se, per ogni punto a ∈ A, esiste una soluzione completa γ: Z → A che passa per il punto a, ovvero una soluzione tale che γ(0) = a.

Questo libro si concentra su una classe di sistemi dinamici combinatori indotti da campi vettoriali e multivettoriali combinatori. Un campo multivettoriale combinatorio V è una partizione di uno spazio topologico finito X in multivettori, dove ogni multivettore è un insieme localmente chiuso, cioè un insieme che è la differenza di due insiemi chiusi. Un multivettore è chiamato vettore se la sua cardinalità è uno o due. Se un campo multivettoriale combinatorio contiene solo vettori, allora lo chiamiamo campo vettoriale combinatorio, un concetto introdotto da Forman.

In applicazioni pratiche, la partizione del campo multivettoriale indica la risoluzione al di sotto della quale non ci sono dati sufficienti per analizzare la dinamica, o a causa di una quantità insufficiente di dati, o per la mancanza di potenza computazionale. I risultati di questo libro richiedono che il campo multivettoriale combinatorio sia definito su uno spazio topologico finito speciale, noto come complesso di Lefschetz, un concetto introdotto da Lefschetz e studiato in altri lavori. Un complesso di Lefschetz è semplicemente una base X di un complesso di catene libero finito (C, d), con enfasi sulla base X. Questo significa che X è il complesso di Lefschetz, e (C, d), denotato C(X), è il complesso di catene associato al complesso di Lefschetz. Un esempio tipico di complesso di Lefschetz è l'insieme di celle di un complesso cellulare o i simplici di un complesso simpliciale. Questi simplici o celle costituiscono una base naturale per il complesso di catene associato. Inoltre, ogni sottoinsieme localmente chiuso di un complesso di Lefschetz è anch'esso un complesso di Lefschetz, una caratteristica che facilita, in particolare, la costruzione di esempi concisi.

Per quanto riguarda l'omologia di un complesso di Lefschetz X, intendiamo l'omologia del complesso di catene associato C(X). Per visualizzare un complesso di Lefschetz come uno spazio topologico finito, si applica il teorema di Alexandrov, che richiede una relazione di faccia ben definita, data dalla chiusura transitiva della relazione di faccia, dove un elemento x ∈ X è detto faccia di y ∈ X se x appare con coefficiente diverso da zero nel confine d(y).

Un esempio di campo multivettoriale è mostrato nella Figura 2.1. In questo caso, il campo multivettoriale combinatorio è definito su un complesso simpliciale che consiste in due triangoli ABC e BCD, cinque spigoli AB, AC, BC, BD, CD, e quattro vertici A, B, C, D, costituendo uno spazio topologico finito di 11 elementi. Il campo multivettoriale in questione è composto da tre celle critiche, marcate con punti rossi, due vettori sugli spigoli inferiori e sinistro, e un multivettore costituito dal triangolo destro BCD, insieme ai suoi spigoli BC, BD e al vertice B.

Anche per un campo multivettoriale semplice come quello mostrato nella figura, il sistema dinamico combinatorio indotto risulta piuttosto complesso. Se interpretato come un grafo diretto, ha 11 vertici (uno per ogni simplicio) e 42 archi diretti. Tuttavia, anziché disegnare un grafo diretto completo, è più utile rappresentarlo come un grafo con vertici nei centri di massa dei simplici e solo un numero minimo di archi diretti che non possono essere dedotti dalla definizione di FV. Ogni arco che collega simplici all'interno dello stesso multivettore forma un "clique" nel grafo diretto, e si segnalano solo alcuni archi che collegano ciascun simplicio con i suoi cofacce di dimensione massima all'interno dello stesso multivettore.