L’analisi dei materiali ferromagnetoelastici richiede la comprensione approfondita delle leggi di bilancio integrale e differenziale, nonché delle relazioni costitutive che collegano deformazioni meccaniche e grandezze magnetiche. Nel contesto di questi materiali, il campo magnetico indotto, rappresentato dal vettore di induzione magnetica BM\mathbf{B}_M, genera un momento di corpo, o coppia magnetica, definita come cM=M×BM\mathbf{c}_M = \mathbf{M} \times \mathbf{B}_M, dove M\mathbf{M} è la magnetizzazione. Questo fenomeno è alla base degli effetti piezomagnetici e magnetostrittivi, attraverso i quali deformazioni meccaniche e variazioni del campo magnetico sono strettamente accoppiate.

Le leggi di bilancio vengono formulate sia in forma integrale che differenziale. Nella forma integrale, sono considerate le conservazioni di massa, quantità di moto lineare e angolare, ed energia, rispettivamente nelle forme:

∫Vρ dv=costante,\int_V \rho \, dv = \text{costante},
ddt∫Vρv dv=∫St ds+∫V(ρf+fM) dv,\frac{d}{dt} \int_V \rho \mathbf{v} \, dv = \int_S \mathbf{t} \, ds + \int_V (\rho \mathbf{f} + \mathbf{f}_M) \, dv,
ddt∫Vy×ρv dv=∫Sy×t ds+∫V[y×(ρf+fM)+cM] dv,\frac{d}{dt} \int_V \mathbf{y} \times \rho \mathbf{v} \, dv = \int_S \mathbf{y} \times \mathbf{t} \, ds + \int_V [\mathbf{y} \times (\rho \mathbf{f} + \mathbf{f}_M) + \mathbf{c}_M] \, dv,
ddt∫V(12ρv⋅v+ρε)dv=∫St⋅v ds+∫Vρf⋅v+wM dv,\frac{d}{dt} \int_V \left( \frac{1}{2} \rho \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} + \rho \varepsilon \right) dv = \int_S \mathbf{t} \cdot \mathbf{v} \, ds + \int_V \rho \mathbf{f} \cdot \mathbf{v} + w_M \, dv,

dove t\mathbf{t} è la trazione, f\mathbf{f} la forza per unità di massa, fM\mathbf{f}_M la forza magnetica, cM\mathbf{c}_M la coppia magnetica e wMw_M la potenza magnetica.

La trasformazione di queste leggi in forma differenziale conduce alle equazioni di continuità e alle equazioni di moto per il continuo ferromagnetoelastico:

∇⋅BM=0,\nabla \cdot \mathbf{B}_M = 0,
∇×H=0,\nabla \times \mathbf{H} = 0,
ρ0=ρJ,\rho_0 = \rho J,
∇⋅τ+ρf+fM=ρu¨,\nabla \cdot \boldsymbol{\tau} + \rho \mathbf{f} + \mathbf{f}_M = \rho \ddot{\mathbf{u}},
τ=τT,con∇×τ+cM=0,\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{\tau}^T, \quad \text{con} \quad \nabla \times \boldsymbol{\tau} + \mathbf{c}_M = 0,

dove τ\boldsymbol{\tau} è il tensore degli sforzi, H\mathbf{H} il campo magnetico e JJ il determinante del gradiente di deformazione.

Per descrivere il comportamento termodinamico del sistema si introduce la funzione di entalpia χ=ε+BM⋅μ\chi = \varepsilon + \mathbf{B}_M \cdot \boldsymbol{\mu}, dove μ\boldsymbol{\mu} è la magnetizzazione per unità di massa, con cui l’equazione dell’energia può essere riscritta, mostrando come le grandezze meccaniche e magnetiche siano interconnesse. Le relazioni costitutive sono derivate dall’entalpia come funzioni degli invarianti deformativi e magnetici, rispettando l’invarianza rotazionale. Si passa così da un modello generale a uno linearizzato per piccole deformazioni e deboli campi magnetici, ottenendo leggi lineari che includono costanti elastiche, anisotropiche, piezomagnetiche e magnetostrictive, rappresentate nei tensori cijkl,χkl,hklm,bklmnc_{ijkl}, \chi_{kl}, h_{klm}, b_{klmn}.

L’inclusione degli effetti termici e dissipativi modifica la legge di conservazione dell’energia, introducendo termini legati alla conduzione del calore, produzione di entropia e dissipazione. In particolare, la disuguaglianza di Clausius-Duhem impone vincoli sulla forma delle relazioni costitutive dissipative, distinguendo tra parti recuperabili e dissipative dello sforzo e dell’induzione magnetica, e vincolando le trasformazioni termodinamiche al rispetto del secondo principio della termodinamica.

La complessità di questa teoria si riduce nel caso dei ferromagneti rigidi e saturi, in cui le deformazioni possono essere trascurate e la magnetizzazione è fissata, semplificando le relazioni e facendo emergere naturalmente la nota teoria di Landau-Lifshitz-Gilbert per la dinamica magnetica.

È fondamentale comprendere come queste formulazioni consentano di modellare in modo coerente e rigoroso l’accoppiamento tra deformazioni meccaniche e fenomeni magnetici nei materiali ferromagnetoelastici, e come le leggi di bilancio e le relazioni costitutive si traducano in condizioni al contorno e salti su interfacce tra materiali differenti. La formulazione termodinamica assicura inoltre che le dissipazioni energetiche e gli effetti termici siano correttamente integrati nel modello, evitando formulazioni non fisiche.

Per una comprensione completa, è necessario che il lettore tenga conto dell’importanza delle simmetrie intrinseche dei materiali, in particolare l’invarianza rotazionale, e dell’interazione tra campo magnetico e campo di deformazione a livello microscopico, che si riflette nelle costanti piezomagnetiche e magnetostrictive. Inoltre, l’applicazione delle leggi di bilancio su superfici di discontinuità evidenzia l’importanza delle condizioni di continuità e delle forze di interfaccia, fondamentali in applicazioni pratiche quali dispositivi magnetoelettronici e sensori avanzati. Infine, la transizione dal modello generale ai modelli semplificati per casi speciali, come i ferromagneti rigidi, mostra la flessibilità del formalismo e la sua applicabilità a un ampio spettro di problemi ingegneristici e fisici.

Come si modellano i fasci elastici con magneti puntiformi e quali sono le implicazioni delle interazioni magnetoelastiche?

L’analisi dei fasci elastici dotati di magneti puntiformi, disposti alle estremità o all’interno della struttura, rappresenta un campo di grande interesse applicativo, soprattutto quando si considera l’interazione tra la deformazione meccanica e i fenomeni magnetici. L’approccio teorico che emerge da questa disciplina si basa su un modello a due continui, dove il magnete ferromagnetico è visto come un sistema composto da un reticolo rigido e da una componente di spin senza massa, che insieme descrivono sia le proprietà meccaniche che magnetiche del sistema.

Il magnete, caratterizzato da un volume V e da una densità di massa ρ, è modellato come un corpo rigido con una massa totale m e un vettore di magnetizzazione M calcolato come media spaziale su V. Il sistema di riferimento centrale (centroide) è usato per descrivere il moto traslazionale senza rotazioni, mentre le rotazioni del reticolo e del vettore magnetico di spin sono trattate come piccole perturbazioni angolari, rispettivamente δθ_l e δθ_s. La dinamica del sistema è governata dalle equazioni di quantità di moto lineare e angolare, in cui la coppia agente sul reticolo e sulla spin assume un ruolo fondamentale nella definizione delle interazioni magnetoelastiche.

Una peculiarità significativa è l’interazione magnetica locale rappresentata dal campo magnetico indotto BL, che agisce come un momento di ripristino rispetto alla posizione di equilibrio del vettore magnetico di spin. Questa forza di ripristino, proporzionale alla differenza angolare tra la rotazione dello spin e quella del reticolo (δθ_s - δθ_l), si traduce in un comportamento analogo a una molla angolare, con costante di materiale λ e magnetizzazione di saturazione M_s. L’equazione costitutiva BL = -λ δθ_s/l × M illustra come il campo magnetico locale dipenda direttamente dalla rotazione relativa tra spin e reticolo, indicando che l’elasticità magnetica è intrinsecamente legata a queste rotazioni relative.

Nel limite di λ nullo, non esiste alcuna coppia di ripristino, lasciando ogni asse come asse facile per la magnetizzazione. Al contrario, con λ tendente all’infinito, la spin è rigidamente vincolata al reticolo, eliminando qualsiasi rotazione relativa e quindi rendendo il magnete un sistema magnetomeccanico fortemente accoppiato.

L’estensione di questa teoria alle travi elastiche con sezione circolare consente la formulazione di modelli unidimensionali per la deformazione assiale, la flessione nei piani (x,y) e (x,z) e la torsione. Le variabili cinematiche — spostamenti assiali u, spostamenti flettenti v e w, e angolo di torsione ψ — sono definite in funzione della coordinata assiale x e del tempo t, e sono collegate alle deformazioni assiali e di taglio mediante relazioni differenziali classiche. Queste deformazioni inducono sollecitazioni, rispettivamente, normali e di taglio, proporzionali ai moduli elastici E e G, e generano forze interne e momenti che governano il comportamento dinamico della trave.

Le equazioni differenziali che descrivono il moto della trave sotto carichi distribuiti (forze Fx, Fy, Fz e momenti mx) si presentano come quattro equazioni uncoupled, corrispondenti alle modalità di estensione, torsione e flessione nelle due direzioni trasversali. L’ipotesi di omogeneità della trave, con proprietà geometriche e materiali uniformi, semplifica la trattazione ma conserva la complessità essenziale del sistema.

È fondamentale sottolineare come la presenza di magneti puntiformi modifichi sostanzialmente le condizioni al contorno e le interazioni interne del sistema. La magnetoelasticità introduce accoppiamenti tra i modi di vibrazione meccanica e le dinamiche magnetiche, amplificando fenomeni di risonanza e modificando le frequenze di taglio e torsione. L’aumento del campo magnetico esterno H0, per esempio, influenza la frequenza di cutoff delle onde di spin, intensificando gli accoppiamenti magnetoelastici e alterando la risposta dinamica complessiva.

Per una comprensione completa, è cruciale che il lettore riconosca come il modello non sia semplicemente una sovrapposizione di effetti meccanici e magnetici, ma un sistema in cui le due componenti sono strettamente intrecciate. Le rotazioni relative tra reticolo e spin non sono meri dettagli tecnici, bensì elementi fondamentali che determinano la rigidezza magnetoelastica e le condizioni di stabilità dinamica. Inoltre, il passaggio dal modello tridimensionale alle equazioni unidimensionali per travi non è un mero esercizio matematico, ma implica una serie di approssimazioni che mantengono l’essenza fisica del fenomeno pur semplificandone la trattabilità analitica e computazionale.

La conoscenza delle proprietà fisiche come la magnetizzazione di saturazione, la costante di accoppiamento magnetoelastico λ, e i moduli elastici E e G è indispensabile per applicare correttamente i modelli. Infine, l’interpretazione delle condizioni limite, la scelta delle coordinate e l’adeguamento dei modelli ai sistemi reali costituiscono la chiave per l’applicazione pratica delle teorie qui esposte, soprattutto nelle tecnologie emergenti in cui materiali ferromagnetoelastici e strutture con magneti puntiformi sono impiegati per sensori, attuatori e dispositivi di controllo dinamico.

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