Come determinare la continuità e la differenziabilità delle funzioni in vari punti: esercizi pratici

La funzione $f(x, y)$ in esame è un esempio utile di come si possano studiare la continuità e la differenziabilità di una funzione in punti specifici, attraverso l’uso di coordinate polari e l’analisi del comportamento della funzione lungo curve particolari. Questo processo è fondamentale per comprendere le proprietà locali di una funzione multivariata.

Consideriamo il caso di una funzione che presenta curve di livello che si avvicinano all'origine lungo la curva cubica $y = \alpha x^3$ , con $\alpha$ un numero reale fissato. Allontanandosi dall'origine, la funzione si stabilizza e diventa costante, vale a dire $f(x, y) = \frac{\alpha^2}{1 + \alpha^6}$ . L'analisi di queste curve di livello ci aiuta a determinare se la funzione è continua o meno in un dato punto, così come a calcolare la derivata parziale in direzioni specifiche.

In particolare, se si considera la funzione $f(x, y)$ restritta alla retta $x = 1$ (o ad altre rette $x = \text{costante}$ ), si osserva che la funzione non è differenziabile all'origine, poiché il numeratore della potenza frazionaria di $y$ implica che la funzione non ha una derivata definita in quel punto. Di conseguenza, la derivata parziale rispetto a $y$ in $(1, 0)$ non esiste. Tuttavia, se si considera la funzione lungo qualsiasi altra retta passante per l'origine, la funzione risulta differenziabile e la sua derivata è zero, confermando che la derivata direzionale in tutte le direzioni è positiva per ogni direzione all'origine.

Un altro caso interessante riguarda la funzione $f(x, y) = \frac{e^{xy} - 1}{x^2 + y^2}$ . Per determinare la continuità di questa funzione all'origine, è necessario osservare il comportamento dei suoi fattori. In particolare, si può ridurre la questione della continuità a quella della funzione $\frac{e^{xy} - 1}{xy}$ in coordinate polari, dove si dimostra che il limite tende a zero man mano che $(x, y)$ si avvicina all'origine. Pertanto, la funzione è continua all'origine, ma non è differenziabile in quel punto, poiché il limite della derivata parziale non è definito in tutte le direzioni.

Nel caso della funzione $f(x, y) = x^3 \sin(xy) + \frac{x^2 + y^2}{2}$ , si può affermare che la funzione è continua all'origine, poiché lungo l'asse delle $y$ , la funzione tende a zero e, fuori dall'asse, la funzione è una combinazione di termini che si annullano man mano che $(x, y)$ tende all'origine. Tuttavia, la funzione non è differenziabile all'origine, poiché il limite della derivata parziale rispetto a $x$ o $y$ non esiste uniformemente in tutte le direzioni. Il comportamento locale della funzione è simile a quello di una funzione che presenta angoli acuti, dove la continuità esiste ma la derivata non è definita.

In un altro esercizio, consideriamo la funzione $f(x, y) = \log(y^2 - x - 2y - 1)$ . L’analisi del dominio di questa funzione ci dice che la funzione è definita in un dominio limitato e la ricerca di una possibile estensione continua richiede di determinare i valori $a$ , $b$ e $c$ tali che il limite di una funzione polinomiale associata a $f(x, y)$ esista. In particolare, bisogna calcolare il limite della funzione lungo diverse direzioni per determinare se essa è differenziabile in punti specifici come $(-4, 0)$ .

Questi esempi mostrano che l'analisi della continuità e della differenziabilità delle funzioni multivariabili richiede una comprensione approfondita del comportamento locale della funzione, soprattutto vicino a punti critici come l'origine. È fondamentale osservare come la funzione si comporta lungo curve di livello e lungo rette particolari, utilizzando tecniche come le coordinate polari per semplificare i calcoli dei limiti. La comprensione di questi concetti è essenziale per affrontare problemi più complessi nella teoria delle derivate parziali e nel calcolo delle variazioni.

Inoltre, è importante notare che l’approccio alla differenziabilità deve tener conto di vari fattori, tra cui la forma della funzione nelle vicinanze di punti critici. La continuità di una funzione non implica necessariamente che essa sia differenziabile, specialmente quando la funzione presenta discontinuità angolari o curve di livello particolari che impediscono una derivata ben definita.

Quando una funzione ha derivate direzionali in ogni direzione ma non è differenziabile?

Una funzione che ha tutte le derivate direzionali in un punto ma non è differenziabile in quel punto rappresenta un caso interessante di analisi matematica, spesso incontrato in teoria della differenziazione. La differenziabilità in un punto implica non solo che esistano tutte le derivate parziali, ma che le derivate direzionali in ogni direzione debbano coincidere con la direzione del gradiente, che deve essere continuo. Quando queste condizioni non si verificano, emergono discrepanze che rivelano comportamenti particolari della funzione, come nel caso di funzioni razionali o di polinomi a più variabili.

Un esempio esemplare di tale comportamento si osserva analizzando il caso di una funzione $f(x, y)$ , definita come $f(x, y) = \max\{(y - x)(y - x^3), 0\}$ . L'analisi di questa funzione rivela che è continua in tutta $\mathbb{R}^2$ , ma non è differenziabile nel punto $(0,0)$ . In particolare, se osserviamo i vari comportamenti della funzione sulle curve $y = x$ e $y = x^3$ , notiamo che lungo queste curve la funzione presenta delle discontinuità nei suoi gradienti, pur essendo continua.

Per meglio comprendere come una funzione possa avere derivate direzionali ovunque senza essere differenziabile, occorre esaminare la relazione tra il gradiente e le derivate direzionali. Il gradiente di una funzione rappresenta il vettore che dà la direzione di crescita più ripida della funzione. Se il gradiente in un punto è nullo, come nel caso di $\nabla f(0, 0) = (0, 0)$ , la funzione non ha una direzione preferenziale di crescita, ma questo non implica necessariamente che la funzione sia differenziabile in quel punto.

La funzione $f$ nel nostro esempio ha derivate direzionali definite in tutte le direzioni, ma, come si vede dall'analisi del gradiente e delle derivate parziali, non è differenziabile in $(0, 0)$ a causa della struttura non lineare e della transizione brusca tra i vari rami della funzione lungo le curve di intersezione $y = x$ e $y = x^3$ . Sebbene il gradiente sia nullo, questo non è sufficiente per garantire la differenziabilità, poiché la presenza di derivate direzionali non nulle lungo certe direzioni dimostra che la funzione presenta una "pendenza" significativa lungo quelle direzioni, violando quindi la condizione necessaria per la differenziabilità.

Un altro esempio interessante riguarda la funzione definita da $f(x, y) = 1$ se $(x, y) \in \mathbb{Q}^2$ (con $\mathbb{Q}$ che denota i numeri razionali) e $f(x, y) = 0$ se $(x, y) \notin \mathbb{Q}^2$ . Questa funzione, pur avendo derivate parziali in ogni punto, non è continua in nessun punto, quindi non può essere differenziabile, anche se le derivate direzionali possono esistere in alcune direzioni.

In sintesi, quando si verifica che una funzione ha derivate direzionali ovunque in un punto ma non è differenziabile in quel punto, ciò indica che la funzione presenta una struttura geometrica complessa, con possibili discontinuità o cambiamenti improvvisi nella sua pendenza, che impediscono la continuità del gradiente e, di conseguenza, la differenziabilità. Un altro aspetto fondamentale da comprendere è che una funzione che ha un gradiente nullo in un punto non è necessariamente piatta in tutte le direzioni, e le sue derivate direzionali possono essere non nulle, indicando una variazione localizzata che contrasta con la nozione di differenziabilità.

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