L'Argomento dell'Indispensabilità Migliorato: Tra Generale e Specifico

Il passo cruciale nell'argomentazione che ci interessa in particolare è il passo (2). Come afferma Field (1989, p. 15): una delle ipotesi che appare in questa spiegazione è la rivendicazione S, e siamo abbastanza certi che non sia possibile una spiegazione dei fenomeni che non faccia riferimento a questa rivendicazione S. Nel caso in questione, il riferimento al teorema della teoria dei numeri nel passo (2) costituisce la rivendicazione S. Inoltre, si tratta di un "argomento indispensabile potenziato", secondo Baker (2005, p. 237), poiché il teorema della teoria dei numeri (2) ha un ruolo esplicativo genuino in relazione alla periodicità dei cicli vitali, in modo nettamente diverso, ad esempio, dagli oggetti concreti idealizzati.

Dopo aver discusso alcune difficoltà che i candidati potenziali devono affrontare (Sezione 2.3), è stato presentato un esempio concreto tratto dalla biologia (Sezione 2.4). Questo esempio sembra promettente, poiché non sembra soffrire di molte delle difficoltà che affliggevano i candidati precedenti. Tuttavia, come vedremo nei successivi Capitoli 3 e 4, possono essere sollevate altre obiezioni.

Le prime due obiezioni sono direttamente collegate ad alcuni degli argomenti trattati nei capitoli successivi. La Sezione 3.1.1 affronta una critica alla tesi frequentemente sostenuta dai sostenitori dell'EIA secondo cui le spiegazioni matematiche sono superiori alle loro controparti nominalistiche proprio per la loro maggiore generalità. La Sezione 3.2 discute la possibilità di spiegazioni compatibili e il problema che questo solleva per l'argomento di indispensabilità originale, e di conseguenza per la sua versione migliorata. Se infatti sono possibili diverse formulazioni matematiche di spiegazioni scientifiche, l'EIA non può adempiere alle sue promesse ontologiche.

Le altre due obiezioni sono di carattere più generale, ma comunque meritano di essere brevemente esplorate. La Sezione 3.3 discute l'argomento che la matematica non è esplicativa, ma piuttosto, per esempio, rappresentativa. Secondo tale argomentazione, ciò che porta il carico esplicativo sono i fatti fisici. Infine, la Sezione 3.4 menziona brevemente alcune obiezioni al principio di inferenza alla migliore spiegazione (IBE), poiché l'EIA fa uso essenziale di questo principio.

In un quadro naturalistico, dove l'obiettivo è spiegare fenomeni empirici specifici, la vastità della matematica può rivelarsi irrilevante o addirittura fuorviante. Per esempio, se un fenomeno biologico come il ciclo vitale delle cicale periodiche viene spiegato utilizzando la teoria dei numeri, la generalità della matematica che può trattare numeri infiniti rischia di non essere utile per la comprensione di un fenomeno specifico, che è limitato dal contesto evolutivo e biologico. Pertanto, la "generalità" in matematica, pur essendo una virtù formale, non si traduce sempre in una migliore spiegazione nel contesto empirico.

Infine, una questione di grande importanza è quella della compatibilità delle spiegazioni. Se infatti diverse formulazioni matematiche di spiegazioni scientifiche sono possibili, l'argomento di indispensabilità potrebbe non soddisfare le sue promesse ontologiche. Ciò implica che l'indispensabilità matematica, da sola, non è sufficiente a giustificare conclusioni ontologiche solide, se non accompagnata da un reale ruolo esplicativo nel contesto empirico.

La rilevanza delle contraddizioni nella teoria dei numeri: il caso di un controfattuale matematico

Nel contesto della teoria dei numeri, l'introduzione di contraddizioni derivanti dalla manipolazione di numeri specifici, come il 13, può sollevare domande su come trattare queste anomalie senza compromettere l'intera struttura matematica. In particolare, l'esempio che prende in considerazione il caso in cui 2 * 6 = 12 e 2 * 6 = 13, ma 12 ≠ 13, è fondamentale per esplorare i limiti della teoria e capire se, e come, tali contraddizioni possano essere contenute senza intaccare l'integrità della matematica come la conosciamo.

La manipolazione dei numeri, detta anche "twiddling", implica una modifica delle operazioni matematiche di base, come la moltiplicazione. Se prendiamo il caso di 2 * 6 = 13, la sfida diventa come spiegare questa discrepanza nel contesto di una struttura matematica coerente, come la teoria dei numeri. La proposta iniziale suggerisce che l'operazione di moltiplicazione potrebbe essere ridefinita in modo tale da includere l'eccezione per il caso particolare di 2 e 6, dove 2 * 6 risulti effettivamente uguale a 13. Tuttavia, una modifica di questo tipo pone la questione di come il resto della teoria dei numeri venga influenzato da questa nuova definizione.

Per esplorare le implicazioni, è utile fare riferimento all'aritmetica di Peano, che fornisce una base non circolare per la definizione dei numeri naturali. Le assiomi di Peano stabiliscono una serie di regole che definiscono l'insieme dei numeri naturali N e le operazioni di somma e moltiplicazione. L'aritmetica di Peano stabilisce che esiste un numero iniziale, indicato con 0, che non è il successore di nessun altro numero, e che i numeri successivi sono unici, come espresso dall'assioma 2. L'assioma di induzione matematica, che è fondamentale per la costruzione dei numeri naturali, è un altro elemento cruciale.

Quando applicato al caso in esame, il sistema aritmetico di Peano mostra chiaramente come una contraddizione come quella di 2 * 6 = 12 e 2 * 6 = 13 generi un conflitto con l'assioma 2, che afferma che ogni numero ha un successore unico. La definizione di moltiplicazione, che si basa su una funzione ricorsiva, porterebbe inevitabilmente alla contraddizione se modificata senza adeguamenti coerenti nelle altre operazioni. Per esempio, l'assioma di moltiplicazione stabilisce che 6 * 2 deve essere uguale a 12, ma nel nostro caso risulta essere 13, creando una discontinuità.

Una possibile soluzione proposta è quella di trattare questo caso come un'eccezione, dove 2 * 6 e 6 * 2 vengono trattati separatamente. Ciò comporta una modifica dell'assioma di moltiplicazione in modo tale che, per queste coppie specifiche di numeri, l'operazione restituisca il risultato desiderato, cioè 13. Tuttavia, una tale modifica avrebbe effetti su tutta la struttura della teoria dei numeri, richiedendo una revisione delle definizioni e delle proprietà delle operazioni matematiche di base, come la somma e la successione.

Se accettiamo che la moltiplicazione sia definita in questo modo "eccezionale", la necessità di adattare anche altre operazioni diventa inevitabile. Ad esempio, per evitare che 6 + (6 * 1) sia uguale a 12, dovremmo ridefinire l'operazione di somma in un modo che tenga conto delle modifiche apportate alla moltiplicazione. Un'altra possibile soluzione potrebbe essere quella di ridefinire l'operazione di somma come somma*, che non generi contraddizioni quando combinata con la nuova definizione di moltiplicazione.

In definitiva, l'approccio che tenta di contenere le contraddizioni derivanti dalla manipolazione di un numero come il 13 implica una serie di modifiche e adattamenti che vanno oltre la mera moltiplicazione e coinvolgono la revisione di altre operazioni matematiche fondamentali, come la somma e la successione. Anche se questo processo non fornisce una soluzione definitiva al problema, evidenzia l'importanza di considerare la teoria dei numeri come un sistema coerente in cui ogni cambiamento in una funzione può avere implicazioni su altre aree.

Pertanto, è essenziale che il lettore comprenda che le contraddizioni locali non sono mai isolate in un sistema matematico ben definito. Ogni modifica, anche se mirata a risolvere un caso specifico, può avere effetti a cascata che alterano l'intera struttura logica e matematica. Solo affrontando queste contraddizioni in modo sistematico, attraverso l'adattamento e la revisione delle regole fondamentali, è possibile mantenere la coerenza del sistema senza compromettere la sua validità.