Qual è la complessità di crescita dei problemi con decisioni multivalore?

Definiamo ora una funzione .Fdi ψ,U : ω → ω. Sia .n ∈ ω. Allora .Fdi ψ,U (n) = max{ψd Ul(z) : z ∈ Probl∞+ (U ), ψ i Ul(z) ≤ n}. La funzione .Fdi ψ,U descrive la crescita nel caso peggiore della complessità minima degli alberi di calcolo deterministici che risolvono problemi su .U con decisioni multivalore, in relazione alla crescita della complessità della descrizione del problema.

Per una struttura 1-predicato .U, e per una misura di complessità limitata ψ su .U, la funzione .Fdi ψ,U è una funzione non decrescente che è definita ovunque, e soddisfa la disuguaglianza .Fdi ψ,U (n) ≤ n per ogni .n ∈ ω. In aggiunta, una delle seguenti affermazioni è vera:

(a) Se le funzioni .Sψ e .N sono limitate superiormente sull'insieme .Probl∞+ (U ), allora esiste una costante positiva .c0 tale che .Fdi ψ,U (n) ≤ c0 per ogni .n ∈ ω.

(b) Se la funzione .Sψ è limitata superiormente sull'insieme .Probl∞+ (U ) e la funzione .N non è limitata superiormente su questo insieme, allora esistono costanti positive .c1, .c2, .c3, .c4 tali che .c1 log2 n − c2 ≤ Fdi ψ,U (n) ≤ c3 log2 n + c4 per ogni .n ∈ ω \ {0}.

(c) Se la funzione .Sψ non è limitata superiormente sull'insieme .Probl∞+ (U ), allora esiste un sottoinsieme infinito .D dell'insieme ω tale che .HD(n) ≤ Fdi ψ,U (n) per ogni .n ∈ ω.

Per la misura di complessità limitata .h, il limite dalla dichiarazione (c) del Teorema 2.3 può essere migliorato. Il Teorema 2.4 stabilisce che se .U è una struttura 1-predicato per la quale la funzione .Sh non è limitata superiormente, allora .Fdi h,U (n) = n per ogni .n ∈ ω.

Procediamo ora con la funzione .Fai ψ,U : ω → ω. Sia .n ∈ ω. Allora .Fai ψ,U (n) = max{ψa Ul(z) : z ∈ Probl∞+ (U ), ψ i Ul(z) ≤ n}. Questa funzione descrive la crescita nel caso peggiore della complessità minima degli alberi di calcolo non deterministici che risolvono problemi su .U con decisioni multivalore, in relazione alla crescita della complessità della descrizione del problema.

Il Teorema 2.5 stabilisce che, come nel caso di .Fdi ψ,U, la funzione .Fai ψ,U è una funzione non decrescente, definita ovunque, tale che .Fai ψ,U (n) ≤ n per ogni .n ∈ ω. Anche in questo caso, una delle seguenti affermazioni è vera:

(a) Se la funzione .Sψ è limitata superiormente sull'insieme .Probl∞+ (U ), allora esiste una costante positiva .c tale che .Fai ψ,U (n) ≤ c per ogni .n ∈ ω.

(b) Se la funzione .Sψ non è limitata superiormente sull'insieme .Probl∞+ (U ), allora esiste un sottoinsieme infinito .D dell'insieme ω tale che .HD(n) ≤ Fai ψ,U (n) per ogni .n ∈ ω.

In relazione ai comportamenti congiunti delle funzioni .Fdi ψ,U e .Fai ψ,U, si osserva che ci sono tre tipi possibili di comportamento congiunto, come descritto nei Teoremi 2.3 e 2.5:

Se le funzioni .Sψ e .N sono limitate superiormente sull'insieme .Probl∞+ (U ), allora sia .Fdi ψ,U (n) che .Fai ψ,U (n) sono O(1).
Se la funzione .Sψ è limitata superiormente sull'insieme .Probl∞+ (U ) e la funzione .N non lo è, allora .Fdi ψ,U (n) = Θ(log n) e .Fai ψ,U (n) = O(1).
Se la funzione .Sψ non è limitata superiormente sull'insieme .Probl∞+ (U ), allora esistono sottoinsiemi infiniti .D1 e .D2 dell'insieme ω tali che .HD1(n) ≤ Fdi ψ,U (n) ≤ n e .HD2(n) ≤ Fai ψ,U (n) ≤ n per ogni .n ∈ ω.

Tali comportamenti sono realizzabili per la misura di complessità limitata .h.

Esaminiamo ora tre strutture 1-predicato .U1 = (ω, P1), .U2 = (ω, P2) e .U3 = (ω, P3). Ogni struttura ha un comportamento distinto delle funzioni .Sψ e .N, il che impone diversi scenari di complessità computazionale per le funzioni .Fdi ψ,U e .Fai ψ,U, come esemplificato nel testo.

Infine, si presenta la funzione .Fda ψ,U, che descrive la crescita nel caso peggiore della complessità minima degli alberi di calcolo deterministici che risolvono problemi su .U con decisioni multivalore, in relazione alla complessità degli alberi non deterministici che risolvono gli stessi problemi. La funzione è parzialmente definita e il Teorema 2.7 stabilisce che .Fda ψ,U è definita ovunque se e solo se la funzione .Lψ,U è definita ovunque. Inoltre, il Teorema 2.8 descrive il comportamento della funzione quando è definita ovunque, confermando che .Fda ψ,U è una funzione non decrescente.

In sintesi, lo studio delle funzioni legate alla complessità degli alberi di calcolo deterministici e non deterministici rivela la profonda interazione tra la complessità delle decisioni, la struttura del problema e la misura di complessità utilizzata. Comprendere il comportamento di queste funzioni permette di meglio affrontare e risolvere i problemi complessi, sia in contesti deterministici che non deterministici, in presenza di decisioni multivalore.

Come viene definita la complessità di un albero di computazione?

La funzione $\psi$ è definita come una funzione di peso per una firma $\sigma$ . La funzione $\psi$ viene estesa al set $\sigma^*$ nel modo seguente: $\psi(\alpha) = 0$ se $\alpha = \lambda$ e $\psi(\alpha) = \sum_{j=1}^m \psi(q_{ij})$ se $\alpha = q_{i1} \cdots q_{im}$ . Questa funzione è chiamata "profondità ponderata". Se $\psi(q_i) = 1$ per ogni $q_i \in \sigma$ , allora la funzione $\psi$ è definita come la profondità e viene denotata da $h$ . La profondità e ogni profondità ponderata computabile sono misure di complessità strettamente limitate.

Se $\psi$ è una misura di complessità sulla firma $\sigma$ , la estendiamo ai set $\text{Probl}(\sigma)$ e $\text{Tree}(\sigma)$ . Sia $\beta$ una sequenza finita di espressioni di funzione e predicato della firma $\sigma$ che non contiene l'uguaglianza. A questa sequenza $\beta$ corrisponde una parola $\text{word}(\beta)$ da $\sigma^*$ . Se la lunghezza di $\beta$ è pari a 0, allora $\text{word}(\beta) = \lambda$ . Se $\beta = \beta_1, \dots, \beta_m$ , allora $\text{word}(\beta) = q_{i1} \dots q_{im}$ , dove per ogni $j = 1, \dots, m$ , $q_{ij}$ è il simbolo della firma $\sigma$ associato all'espressione $\beta_j$ .

Sia $s = (n, \nu, \beta_1, \dots, \beta_m)$ uno schema di problema appartenente al set $\text{Probl}(\sigma)$ . Allora $\psi(s) = \psi(\text{word}(\beta_1, \dots, \beta_m))$ . Sia $S = (n, G)$ uno schema di albero di computazione appartenente al set $\text{Tree}(\sigma)$ , e $\tau = w_1, d_1, w_2, d_2, \dots, w_m, d_m, w_{m+1}$ un percorso completo dello schema $S$ . Denotiamo $\beta_\tau = \beta_1, \dots, \beta_m$ la sequenza di espressioni di funzione e predicato legata ai nodi $w_1, \dots, w_m$ . Allora, $\psi(S) = \max \{\psi(\text{word}(\beta_\tau)) : \tau \in \text{Path}(S)\}$ , dove $\text{Path}(S)$ è l'insieme dei percorsi completi dello schema $S$ . Il valore $\psi(S)$ viene chiamato la $\psi$ -complessità dello schema dell'albero di computazione $S$ . Denotiamo con $h(S)$ la profondità dello schema dell'albero di computazione $S$ . Con $\sigma(S)$ , denotiamo l'insieme di simboli della firma $\sigma$ utilizzati nelle espressioni di funzione e predicato nello schema $S$ .

Lemma 5.1 Se $\psi$ è una misura di complessità strettamente limitata sulla firma $\sigma$ e $S$ è uno schema di albero di computazione appartenente al set $\text{Tree}(\sigma)$ , allora le seguenti affermazioni sono vere:

(a) $\psi(S) \geq h(S)$ .

(b)

\psi(S) \geq \max \{\psi(q_j) : q_j \in \sigma(S)\}

La prova di questo lemma si basa sul fatto che $\psi(\alpha) \geq |\alpha|$ per ogni $\alpha \in \sigma^*$ , e su relazioni che dimostrano che $\psi(\alpha) \geq \psi(q_j)$ per ogni lettera $q_j$ della parola $\alpha$ .

Ricordiamo che $H(\sigma)$ è l

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